1、基本初等函数第4讲4.1 二次函数 知识点睛1二次函数的定义 形如的函数叫做二次函数，其定义域是 上式叫做二次函数的一般式； 二次函数的顶点式： 二次函数两根式：，其中是方程的两根两根式的特点决定了它只能表示那些与轴有交点的二次函数，不能表示所有的二次函数2二次函数的性质 二次函数的判别式： 当时，二次函数与轴有两个不同交点 当时，二次函数与轴有一个交点当时，二次函数与轴没有交点 韦达定理 当时，记二次函数与轴交点的横坐标为，则 ；注意韦达定理适用的前提条件：与轴有交点的二次函数 闭区间上二次函数的最值问题：二次函数在闭区间上必定可以取到最值，并且最值只能在区间端点或顶点处取到可以分为三类情形
2、来研究： 轴定区间定：由对称轴和区间端点结合二次函数图象直接得出最值；轴动区间定：结合草图，对对称轴和区间的相对位置进行讨论；轴定区间动：结合草图，对区间和对称轴的相对位置进行讨论经典精讲考点：二次函数性质尖子班学案1【铺1】 函数，的图象关于直线对称，则的值为_【解析】由对称性知，函数的对称轴为，所以，解得所以【例1】 已知关于的方程：， 若方程有两个不等实根，求实数的范围； 若方程有两个不等实根，且两根都在区间内，求实数的范围； 设函数，记此函数的最大值为，最小值为，求、的解析式【解析】 方程有两个不等实根，则，即，解得或； 设方程的两根为，则依题意，有，即满足，又，所以得，解得； 当，即
3、时，函数在区间上单调递增，则，；当，即时， ；当，即时，当，即时，函数在区间上单调递减，则，；综上所述，【备选】 设函数（，为实数）， 若且对任意实数均有成立，求表达式； 在的条件下，若，在区间上是单调函数，则实数的取值范围； 在的条件下，当时，求的值域；【解析】 由得，又对任意实数均有，即，则，则，所以 由有，则， 要求在区间上单调，则只需满足或 即或； 依题意，有， 当时，有单调递增， 当时，有，最大值为，最小值为，所以的值域为4.2分数指数幂与对数运算知识点睛1分数指数幂定义：（，都是正整数，且为既约分数）； 正数的正次方根叫做的次算术根； 不一定等于运算律：； ； （其中，对任意实数，
4、）对于无理指数幂，可以从有理指数幂进行推广，用无理指数的不足或过剩近似值来计算幂值进行逼近；一般来说，当时，对任意实数，都是有意义的，可以证明上述运算律对于任意实数都成立高中阶段实际涉及到的计算都是有理指数幂2对数 定义：一般地，如果，且，那么数叫做以为底的对数，记作，其中叫做对数的底数，叫做真数关系式指数式底数指数幂（值）对数式底数对数真数由于，故，因此对数符号（且）只有时才有意义，例如：，无意义 对数（且）的性质与特殊对数 对数恒等式：； 零和负数没有对数，即； 1的对数为零，即； 底的对数等于1，即； 常用对数：当时，叫做常用对数，记做； 自然对数：当时，叫做自然对数，记做为无理数， 对
5、数的运算性质：如果，且，那么： ；（积的对数等于对数的和）推广 ；（商的对数等于对数的差） （正数幂的对数，等于幂指数乘以同一底数幂的底数的对数） 以性质为例进行证明如下：已知，（、），求设，根据对数的定义，可得，由性质可以在讲完换底公式之后再证明 换底公式：（） 证明：法一：根据指数的运算性质推导设，则两边取以为底的对数，得，所以，即法二：根据对数恒等式及对数的运算性质推导由对数恒等式得：，所以有 换底公式的意义：把以一个数为底的对数换成以另一个大于且不等于的数为底的对数，以达到计算、化简或证明的目的 ()经典精讲考点：分数指数幂与对数运算【例2】 将化成分数指数幂的形式是_； 化简(，)的
6、结果为_； 方程的根为_ 已知，则_；_；_（用表示） 计算：_；_；_【解析】 原式 原方程变形为，即，则 ； 因为，所以两边同时取以为底的对数，得，所以，则； 原式； 原式 原式 原式 尖子班学案2【拓1】 已知：，求的值 若，则的值为_【解析】 利用换底公式，有，所以，即目标班学案1【拓2】 已知关于的方程的两根是，求的值【解析】 把看成一个整体，则此方程可以看成是关于的二次方程，因为是原方程的两根，所以可以看作是关于的二次方程的两根，由韦达定理，则，即，则【备选】 已知，则_【解析】 , 4.3指数函数与对数函数知识点睛1指数函数定义：一般地，函数(，)叫做指数函数指数函数的图象及性质
7、：图象定义域值域性质过定点在上是减函数在上是增函数当时，当时，当时，当时， 设，在轴右方，“底大图高”，即若，则；指数函数的底越大，函数图象在轴右方部分越靠上侧，如图所示2对数函数 定义：我们把函数(且)叫做对数函数对数函数的定义域是，值域为实数集 对数函数的图象和性质图象定义域值域性质过定点在上是减函数在上是增函数当时，；当时，当时，；当时，设，其中，（或，），在轴上方，当时，“底大图低”，即若，则；当时，“底大图高”，即若，则对数函数的底越大，函数图象在轴上方部分越偏居右侧，如图所示3对数函数与指数函数的关系 对数函数，指数形式为可以看成是把指数函数的数值对调位置而得到的在同一直角坐标系中
8、，它们的图象关于直线对称 反函数：当一个函数是一一映射时，可以把一个函数的因变量作为一个新函数的自变量，而这个函数的自变量作为新的函数的因变量，我们称这两个函数互为反函数 函数的反函数通常用表示 原函数的定义域为反函数的值域，原函数的值域为反函数的定义域；原函数过点，则反函数过点 对数函数与指数函数互为反函数，它们的图象关于直线对称经典精讲考点：指数函数与对数函数图象性质的应用【例3】 在同一坐标系中，函数与的图象之间的关系是（ ）；A关于轴对称B关于轴对称C关于原点对称D关于直线对称 已知函数的图象不经过第二象限，则的取值范围是 ； 已知函数过定点求点的坐标；解关于的不等式【解析】 A 因为
9、函数图象不过第二象限，则由指数函数图象性质可知底数 因为函数过定点，则，即 根据指数函数图象性质可知， 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为尖子班学案3【拓1】 若函数的图象经过第二、三、四象限，则一定有（ ）A且 B且 C且 D且【解析】 C因为函数图象经过二、三、四象限，由指数函数的图象性质，则有，且，即目标班学案2【拓2】 已知指数函数（，且）自变量与函数值的部分对应值如下表：0221则 ；若函数，则满足条件的的集合为 【解析】 ；，所以或，解得【例4】 函数的图象过定点_； 定义在区间内的函数满足，则的取值范围是_； 满足的实数的取值范围是_；满足的实数的取值范围为_ 函数在区
10、间上的最大值与最小值之差为，则值为_；函数在区间上的最大值与最小值之差为，则的值为_【解析】 当真数为时，对数值恒为；所以当，即时，函数值恒为 ，则，要求，则需满足，即 ； ，所以 ，则 ；或 对于函数，最大值为，最小值为，所以，即对于函数，当时，有，解得，当时，有，解得目标班学案3【拓2】 若函数的图象过两点和，则_，_ 已知，函数，则使的的取值范围是_【解析】 ；当真数值为时，对数值为，所以，即底数的对数为，所以，即 由，且，知，即，因为，所以有，而，所以【备选】 若，且，则_【解析】 或依题意可得，即，即，解得或，即或【备选】 解关于的不等式【解析】 定义域为，且，当时，原不等式化为，恒
11、成立，所以此时解集为；当时，原不等式化为，等价于，即，所以或所以，当时，或；当时，或【例5】 设，则，从小到大的顺序是 ； 若，是任意非零实数，且，则（ ）；ABCD 设，则，的大小顺序是_； 设，若，则由小到大的排列是 【解析】 ，所以 B ，所以 因为，则，所以【备选】 比较，的大小【解析】 法一：因为，则有：又有，则，又因为，则，所以，即，所以法二：，而由对数函数性质可知：，即【备选】 设，且，试比较与的大小【解析】 因为，所以，所以，则有，又，所以，因为，且，所以即4.4幂函数 知识点睛1定义：一般地，形如的函数称为幂函数，其中为常数2性质：所有的幂函数在都有定义，并且图象都通过点；如
12、果，则幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数；如果，则幂函数在区间上是减函数在第一象限内，当从右边趋向于原点时，图象在轴右方无限地逼近轴当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴3当分别为，时，幂函数图象如右：经典精讲考点：幂函数的图象性质应用【例6】 已知函数在上单调递增，求的解析式，并解不等式【解析】 由题意得，整理得，解得，或2当或2时，；当时若，则在上为增函数，或若，则的定义域为，且在上为增函数，或综上，当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为【例7】 将下列各数从小到大排列起来：，【解析】 首先，在这个数中，负数有：，两个，且；正数有：，；其中大于小于的有，两个，且；大于的有，四个
13、，而综上所述，这个数从小到大顺序排列为：已知关于的方程有解，求实数的取值范围【解析】 令，则由指数函数的性质，有，则原方程变为，若原方程有解，则此方程有正根，记此方程两根为，又，所以此方程只能有一个正根，一个负根，所以，即【点评】本题容易忽略的取值范围，换元之后直接由判别式得出实战演练 【演练1】 计算：_【解析】 ；原式【演练2】 已知，则_【解析】 ；由对数运算的性质，知，即，所以则【演练3】 设，下列不等式中不正确的是（ ）A BC D【解析】 D分别利用幂函数，对数函数，指数函数的图象性质，可知A，B，C均正确【演练4】 函数在上有最大值，最小值，求的值【解析】 的对称轴为，在上函数的最值只能在端点处取到，或解得或【演练5】 已知；当时，有，则、的大小关系是_【解析】由对数函数图象性质，在第一象限，底数越大，图象越靠近轴，所以得大千世界 （2009年全国高中数学联赛辽宁省初赛试题）函数的最大值与最小值的乘积是_【解析】 ；不妨设，则，于是有，则于是有15第4讲尖子-目标教师版
