1、第51b节 带电粒子在磁场中的圆周运动（下）1.2017年新课标卷P18.如图，虚线所示的圆形区域内存在一垂直于纸面的匀强磁场，P为磁场边界上的一点，大量相同的带电粒子以相同的速率经过P点，在纸面内沿不同的方向射入磁场，若粒子射入的速度为，这些粒子在磁场边界的出射点分布在六分之一圆周上；若粒子射入速度为，相应的出射点分布在三分之一圆周上，不计重力及带电粒子之间的相互作用，则为（ C ）A. B. C. D. 【解析】当粒子在磁场中运动半个圆周时，打到圆形磁场的位置最远，则当粒子射入的速度为，由几何知识可知，粒子运动的轨道半径为；若粒子射入的速度为，由几何知识可知，粒子运动的轨道半径为；根据，则
2、 ，故选C.2.2017年新课标卷24（12分）xyO B0B0v0如图，空间存在方向垂直于纸面（xOy平面）向里的磁场。在x0区域，磁感应强度的大小为B0；x0区域，磁感应强度的大小为B0（常数1）。一质量为m、电荷量为q（q0）的带电粒子以速度v0从坐标原点O沿x轴正向射入磁场，此时开始计时，当粒子的速度方向再次沿x轴正向时，求（不计重力）（1）粒子运动的时间；（2）粒子与O点间的距离。答：（1）；（2）解析：粒子的运动轨迹如图所示：带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的向心力由洛伦兹力提供，所以在x0区域有： ；在x0区域运动时间 ；在x0）的粒子从左侧平行于x轴射入磁场，入射点为M。粒子
3、在磁场中运动的轨道半径为R。粒子离开磁场后的运动轨迹与x轴交于P点（图中未画出）且。不计重力。求M点到O点的距离和粒子在磁场中运动的时间。解：根据题意，带电粒子进入磁场后做圆周运动，运动轨迹交虚线OL于A点，圆心为y轴上的C点，AC与y轴的夹角为a；粒子从A点射出后，运动轨迹交x轴于P点，与x轴的夹角为，如图所示。有 +yxOMLA60PBChD周期为 由此得 过A点作x、y轴的垂线，垂足分别为B、D，由图中几何关系得 +yxOMLBP由以上五式和题给条件得 解得 或设M点到O点的距离为h根据几何关系利用以上两式和得 解得 (=30)(=90)当=30时，粒子在磁场中运动的时间为当=90时，粒
4、子在磁场中运动的时间为 5. 2012年理综山东卷23(18分)如图甲所示，相隔一定距离的竖直边界两侧为相同的匀强磁场区，磁场方向垂直纸面向里，在边界上固定两长为L的平行金属极板MN和PQ，两极板中心各有一小孔S1、S2，两极板间电压的变化规律如图乙所示，正反向电压的大小均为U0，周期为T0。在t=0时刻将一个质量为m、电量为-q（q0）的粒子由S1静止图乙0uU0-U0t图甲QPNLS1S2BM释放，粒子在电场力的作用下向右运动，在时刻通过S2垂直于边界进入右侧磁场区。（不计粒子重力，不考虑极板外的电场）（1）求粒子到达S2时的速度大小v和极板间距d（2）为使粒子不与极板相撞，求磁感应强度的
5、大小应满足的条件。（3）若已保证了粒子未与极板相撞，为使粒子在t=3T0时刻再次到达S2，且速度恰好为零，求该过程中粒子在磁场内运动的时间和磁感强度的大小解：（1）粒子由S1至S2的过程中，根据动能定理得 由式得 设粒子的加速度大小为a，由牛顿第二定律得 由运动学公式得 联立式得 (2)设磁感应强度大小为B，粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为R，由牛顿第二定律得 要使粒子在磁场中运动时不与极板相撞，须满足 联立式得 （3）设粒子在两边界之间无场区向左匀速运动的过程用时为t1，有d=vt1 联立式得 若粒子再次达到S2时速度恰好为零，粒子回到极板间应做匀减速运动，设匀减速运动的时间为t2，根据运
6、动学公式得 联立式得 设粒子在磁场中运动的时间为t 联立式得 设粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的周期为T，由式结合运动学公式得 由题意得T=t 联立式得 6. 2011年理综福建卷22（20分）如图甲，在x 0的空间中存在沿y轴负方向的匀强电场和垂直于xOy平面向里的匀强磁场，电场强度大小为E，磁感应强度大小为B。一质量为m，带电量为q（q0）的粒子从坐标原点O处，以初速度v0沿x轴正方向射入，粒子的运动轨迹见图甲，不计粒子的重力。求该粒子运动到y=h时的速度大小v；现只改变入射粒子初速度的大小，发现初速度大小不同的粒子虽然运动轨迹（y-x曲线）不同，但具有相同的空间周期性，如图乙所示；同时，
7、这些粒子在y轴方向上的运动（y-t关系）是简谐运动，且都有相同的周期。求粒子在一个周期T内，沿x轴方向前进的距离s；当入射粒子的初速度大小为v0时，其y-t图像如图丙所示，求该粒子在y轴方向上做简谐运动的振幅Ay，并写出y-t的函数表达式。yxOhBEv0yxOSSOyt甲乙丙【解析】（1）由于洛仑兹力不做功，只有电场力做功，由动能定理有由式解得v = （2）由图乙可知，所有粒子在一个周期T内沿x轴方向前进的距离相同，即都等于恰好沿x轴方向匀速运动的粒子在T时间内前进的距离。设粒子恰好沿x轴方向匀速运动的速度大小为v1，则qv1B = qE 又s = v1T 式中T = 解得s = 设粒子在y
8、方向上的最大位移为ym（图丙曲线的最高处），对应的粒子运动速度大小为v2（沿x轴），因为粒子在y方向上的运动为简谐运动，因而在y = 0和y = ym处粒子所受的合外力大小相等，方向相反，则由动能定理有 又Ay = 由式解得Ay =可写出图丙曲线满足的简谐运动y-t函数表达式为y = 7. 2011年理综广东卷35（18分）如图19(a)所示，在以O为圆心，内外半径分别为R1和R2的圆环区域内，存在辐射状电场和垂直纸面的匀强磁场，内外圆间的电势差U为常量，R1=R0，R2=3R0，一电荷量为+q，质量为m的粒子从内圆上的A点进入该区域，不计重力。已知粒子从外圆上以速度v1射出，求粒子在A点的初
9、速度v0的大小。若撤去电场，如图19(b)，已知粒子从OA延长线与外圆的交点C以速度v2射出，方向与OA延长线成45角，求磁感应强度的大小及粒子在磁场中运动的时间。在图19(b)中，若粒子从A点进入磁场，速度大小为v3，方向不确定，要使粒子一定能够从外圆射出，磁感应强度应小于多少？解析：根据动能定理，所以 OAR1R2Cv2450如图所示，设粒子在磁场中作匀速圆周运动的半径为R，由几何知识可知R2+ R2=(R2- R1)2，解得：。根据洛仑兹力公式，解得：。根据公式 OAR1R2C解得： 考虑临界情况，如图所示，解得：，解得：，综合得：8. 2011年理综山东卷25（18分）扭摆器是同步辐射
10、装置中的插入件，能使粒子的运动轨迹发生扭摆。其简化模型如图：、两处的条形匀强磁场区边界竖直，相距为L，磁场方向相反且垂直纸面。一质量为m、电量为-q、重力不计的粒子，从靠近平行板电容器MN板处由静止释放，极板间电压为U，粒子经电场加速后平行于纸面射入区，射入时速度与水平方向夹角=30，当区宽度L1=L、磁感应强度大小B1=B0时，粒子从区右边界射出时速度与水平方向夹角也为30，求B0及粒子在区运动的时间t。L1LL2B1B2m-qMNQP若区宽度L2=L1=L、磁感应强度大小B2=B1=B0，求粒子在区的最高点与区的最低点之间的高度差h。若L2=L1=L、B1=B0，为使粒子能返回区，求B2应
11、满足的条件。若B1B2，L1L2，且已保证了粒子能从区右边界射出。为使粒子从区右边界射出的方向与从区左边界射出的方向总相同，求B1、B2、L1、L2之间应满足的关系式。解析：（1）如图1所示，设粒子射入磁场I区的速度为v，在磁场I区做圆周运动半径为R1，由动能定理和牛顿第二定律得 图1B1B2L1L2L 由几何关系得 R1= L2 = L 联立得 设粒子在I区做圆周运动周期为T，运动时间为t， 联立式解得 （2）设粒子在磁场II区做圆周运动半径为R2，由牛顿第二定律得 图2B1B2L1L2LIII 由几何知识得 联立式解得 （3）如图2所示，为使粒子能再次返回到I区应满足 联立式解得 （4）如
12、图3（或图4）所示，设粒子射出磁场I区时速度与水平方向的夹角为a，由几何知识可得 联立式解得 B1L1=B2L2 图3B1B2L1L2Laaa图4B1B2L1L2L9. 2011年理综四川卷CDWZYXlhBA25（20分）如图所示，正方形绝缘光滑水平台面WXYZ边长l=1.8m，距地面h=0.8m。平行板电容器的极板CD间距d=0.1m且垂直放置于台面。C板位于边界WX上，D板与边界WZ相交处有一小孔。电容器外的台面区域内有磁感应强度B=1T，方向竖直向上的匀强磁场。电荷量q=510-13C的微粒静止于W处，在CD间加上恒定电压U=2.5V，板间微粒经电场加速后由D板所开小孔进入磁场（微粒始
13、终不与极板接触），然后由XY边界离开台面。在微粒离开台面瞬时，静止于X正下方水平地面上A点的滑块获得一水平速度，在微粒落地时恰好与之相遇。假定微粒在真空中运动、极板间电场视为匀强电场，滑块视为质点。滑块与地面间的动摩擦因数=0.2，取g=10m/s2。求微粒在极板间所受电场力的大小并说明两板的极性；求由XY边界离开台面的微粒的质量范围；若微粒质量m0=110-13kg，求滑块开始运动所获得的速度。 解析：（1）微粒在极板间所受电场力大小为F，代入数据：F1.251011NO1O2R1R2DS由微粒在磁场中的运动可判断微粒带正电荷，微粒由极板间电场加速，故C板为正极，D板为负极。（2）若微粒的质
14、量为m，刚进入磁场时的速度大小为v，由动能定理：Uqmv2微粒在磁场中做匀速圆周运动，洛仑兹力充当向心力，若圆周运动半径为R，有：qvBm微粒要从XY边界离开台面，则圆周运动的边缘轨迹如图所示，半径的极小值与极大值分别为R1，R2ld，联立代入数据有 8.11014kgm 2.891013kgQhRWOBLXPAsYdk（3）如图，微粒在台面以速度v做以O点为圆心，R为半径的圆周运动，从台面边缘P点沿与XY边界成角飞出做平抛运动，落地点Q，水平位移s，下落时间t。设滑块质量为M，滑块获得速度v0后在t内沿与平台前侧面成角方向，以加速度a做匀减速直线运动到Q，经过位移为k。由几何关系，可得cos
15、， 根据平抛运动，t，svt对于滑块，由牛顿定律及运动学方程，有MgMa，kv0tat2再由余弦定理：k2s2(dRsin)22s(dRsin)cos及正弦定理：联立并代入数据解得：v04.15m/s，arcsin0.8（或53）10. 2011年理综重庆卷+MM NN AB磁场区域电场区域s3sdPP 25（19分）某仪器用电场和磁场来控制电子在材料表面上方的运动。如图所示，材料表面上方矩形区域PPNN充满竖直向下的匀强电场，宽为d；矩形区域NNMM充满垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，长为3s，宽为s；NN为磁场与电场之间的薄隔离层。一个电荷量为e、质量为m、初速为零的电子，从P点开
16、始被电场加速经隔离层垂直进入磁场，电子每次穿越隔离层，运动方向不变，其动能损失是每次穿越前动能的10%，最后电子仅能从磁场边界MN飞出。不计电子所受重力。求电子第二次与第一次圆周运动半径之比；求电场强度的取值范围；A是MN的中点，若要使电子在A、M 间垂直于AM 飞出，求电子在磁场区域中运动的时间。解析：（1）设圆周运动的半径为分别为、，第一次和第二次圆周运动的速率分别为、，动能分别为、，解得设电场强度为，第一次达到隔离层前速度为， 解得又由， 得 所以设电子在磁场中圆周运动的周期为T，运动的半圆周个数为n，总运动时间为t,由题意有 得又由 得11. 2011年江苏卷15（16分）某种加速器的
17、理想模型如图1所示：两块相距很近的平行小极板中间各开有一小孔a、b，两极板间电压uab的变化图象如图2所示，电压的最大值为U0、周期为T0，在两极板外有垂直纸面向里的匀强磁场。若将一质量为m0、电荷量为q的带正电的粒子从板内a孔处静止释放，经电场加速后进入磁场，在磁场中运动时间T0后恰能再次从a 孔进入电场加速。现该粒子的质量增加了。(粒子在两极板间的运动时间不计，两极板外无电场，不考虑粒子所受的重力)若在t=0时刻将该粒子从板内a孔处静止释放，求其第二次加速后从b孔射出时的动能；现要利用一根长为L的磁屏蔽管（磁屏蔽管置于磁场中时管内无磁场，忽略其对管外磁场的影响），使图1中实线轨迹（圆心为O
18、）上运动的粒子从a孔正下方相距L处的c孔水平射出，请在答题卡图上的相应位置处画出磁屏蔽管；若将电压uab的频率提高为原来的2倍，该粒子应何时由板内a孔处静止开始加速，才能经多次加速后获得最大动能？最大动能是多少？OuabU0-U0T02T03T0t图2LL磁屏蔽管图1abc答：(1) (2)如图 (3) 【解析】(1) 质量为m0的粒子在磁场中作匀速圆周运动， 则当粒子的质量增加了，其周期增加abcO根据题图可知，粒子第一次的加速电压u1=U0粒子第二次的加速电压粒子射出时的动能 解得（2）磁屏蔽管的位置如图所示（3）在uab0时，粒子被加速，则最多连续被加速的次数，得N=25分析可得，粒子在
19、连续被加速的次数最多，且u=U0时也被加速的情况时，最终获得的动能最大。粒子由静止开始被加速的时刻 (n=0,1,2,)最大动能 解得 .12. 2014年物理江苏卷14 (16 分) 某装置用磁场控制带电粒子的运动，工作原理如图所示。 装置的长为 L，上下两个相同的矩形区域内存在匀强磁场，磁感应强度大小均为 B、方向与纸面垂直且相反，两磁场的间距为 d. 装置右端有一收集板，M、N、P 为板上的三点，M 位于轴线 OO上，N、P 分别位于下方磁场的上、下边界上。 在纸面内，质量为 m、电荷量为-q 的粒子以某一速度从装置左端的中点射入，方向与轴线成 30 角，经过上方的磁场区域一次，恰好到达
20、 P 点. 改变粒子入射速度的大小，可以控制粒子到达收集板上的位置。 不计粒子的重力.Ld收集板OOm, -q30BBPMN（1） 求磁场区域的宽度 h; （2） 欲使粒子到达收集板的位置从 P 点移到 N 点，求粒子入射速度的最小变化量v;（3） 欲使粒子到达 M 点，求粒子入射速度大小的可能值.【答案】（1） （2） （3）【解析】（1）设粒子在磁场中的的轨道半径为r根据题意 且解得（2）改变入射速度后粒子在磁场中的轨道半径为，由题意可知 解得（3）设粒子经过上方磁场n次由题意可知且 ，解得13. 2014年理综山东卷24、（20分）如图甲所示，间距为d垂直于纸面的两平行板P、Q间存在匀强
21、磁场。取垂直于纸面向里为磁场的正方向，磁感应强度随时间的变化规律如图乙所示。t=0时刻，一质量为m、带电量为+q的粒子（不计重力），以初速度v0由Q板左端靠近板面的位置，沿垂直于磁场且平行于板面的方向射入磁场区。当B0和TB取某些特定值时，可使t=0时刻图乙Bt-B0B00入射的粒子经时间恰能垂直打在P板上（不考虑粒子反弹）。上述m、q、d、v0为已知量。图甲v0PQd（1）若，求B0；（2）若，求粒子在磁场中运动时加速度的大小；（3）若，为使粒子仍能垂直打在P板上，求TB。【解析】（1）设粒子做圆周运动的半径为R1，由牛顿第二定律得 据题意由几何关系得 联立式得 （2）若，垂直打在P板上,如
22、图示。设粒子做圆周运动的半径为R2，加速度大小为a，由圆周运动公式得：d 据题意由几何关系得 联立式得 （3）设粒子做圆周运动的半径为R，周期为T，由圆周运动公式得 由牛顿第二定律得 由题意知，代入式得 粒子运动轨迹如图所示，O1、O2为圆心，O1O2连线与水平方向夹角为，在第个TB内，只有A、B两个位置才有可能垂直击中P板，且均要求，由题意可知 设经历整个完整TB的个数为n（n=0、1、2、3）若在A点击中P板，据题意由几何关系得 当n=0时，无解 当n=1时，联立式得 联立式得 当时，不满足的要求 若在B点击中P板，据题意由几何关系得 当n=0时，无解 当n=1时，联立式得 联立式得 当时
23、，不满足的要求 14.2014年理综广东卷36.(18分)S1S2B0mNMA1A2+q6LLLdP图25如图25 所示，足够大的平行挡板A1、A2竖直放置，间距6L.两板间存在两个方向相反的匀强磁场区域和，以水平面MN为理想分界面，区的磁感应强度为B0，方向垂直纸面向外. A1、A2上各有位置正对的小孔S1、S2，两孔与分界面MN的距离均为L.质量为m、电量为+q的粒子经宽度为d的匀强电场由静止加速后，沿水平方向从S1进入区，并直接偏转到MN上的P点，再进入区，P点与A1板的距离是L的k倍，不计重力，碰到挡板的粒子不予考虑.(1)若k=1，求匀强电场的电场强度E；(2)若2k3，且粒子沿水平
24、方向从S2射出，求出粒子在磁场中的速度大小v与k的关系式和区的磁感应强度B与k的关系式.【解析】（1）粒子在电场中，由动能定理有 粒子在区洛伦兹力提供向心力 当k=1时，由几何关系得 r=L 由解得 （2）由于2k3时，由题意可知粒子在区只能发生一次偏转，由几何关系可知 解得 由解得 粒子在区洛伦兹力提供向心力 由对称性及几何关系可知 解得 由解得 15. 2014年理综浙江卷25.（22分）离子推进器是太空飞行器常用的动力系统，某种推进器设计的简化原理如图1所示，截面半径为R的圆柱腔分为两个工作区。I为电离区，将氙气电离获得1价正离子，II为加速区，长度为L，两端加有电压，形成轴向的匀强电场
25、。I区产生的正离子以接近0的初速度进入II区，被加速后以速度vM从右侧喷出。 I区内有轴向的匀强磁场，磁感应强度大小为B，在离轴线R/2处的C点持续射出一定速率范围的电子。假设射出的电子仅在垂直于轴线的截面上运动，截面如图2所示（从左向右看）。电子的初速度方向与中心O点和C点的连线成a角（0 a 90）。推进器工作时，向I区注入稀薄的氙气。电子使氙气电离的最小速度为v0，电子在I区内不与器壁相碰且能到达的区域越大，电离效果越好。已知离子质量为M；电子质量为m，电量为e。（电子碰到器壁即被吸收，不考虑电子间的碰撞）。（1） 求II区的加速电压及离子的加速度大小；LRB右左III第25题图1OCv
26、a第25题图2（2） 为取得好的电离效果，请判断I区中的磁场方向（按图2说明是“垂直纸面向里”或“垂直纸面向外”）；（3） a为90时，要取得好的电离效果，求射出的电子速率v的范围；（4） 要取得好的电离效果，求射出的电子最大速率vmax与a的关系。【解析】 （1）由动能定理得 （2）垂直纸面向外 （3）如答图1所示，设电子运动的最大半径为rROCv答图1 . 所以有 要使式有解，磁感应强度OCva答图2Arr . （4）如答图2所示，OARr， OC， ACr根据几何关系得 由式得 16.2015年江苏卷LLOU0MPNQB15. (16 分)一台质谱仪的工作原理如图所示，电荷量均为+q、质
27、量不同的离子飘入电压为 U0的加速电场，其初速度几乎为零。 这些离子经加速后通过狭缝 O 沿着与磁场垂直的方向进入磁感应强度为 B 的匀强磁场，最后打在底片上。 已知放置底片的区域 MN = L，且 OM = L。某次测量发现 MN 中左侧 区域 MQ 损坏，检测不到离子，但右侧 区域 QN 仍能正常检测到离子. 在适当调节加速电压后，原本打在 MQ 的离子即可在 QN 检测到。(1)求原本打在 MN 中点P的离子质量 m；(2)为使原本打在 P 的离子能打在 QN 区域，求加速电压 U 的调节范围；(3)为了在 QN 区域将原本打在 MQ 区域的所有离子检测完整，求需要调节 U 的最少次数.
28、 (取 lg2 = 0. 301，lg3 = 0. 477，lg5 = 0. 699)答案：（1） （2） （3）3次解析：（1）离子在电场中加速：在磁场中做匀速圆周运动：解得： 代入，解得 （2）由（1）知， 离子打在Q点，离子打在N点，则电压的范围 （3）由（1）知，由题意知，第1次调节电压到U1，使原本Q点的离子打在N点，此时，原本半径为r1的打在Q1的离子打在Q上解得第2次调节电压到U2，使原本Q1点的离子打在N点，原本半径为r2的打在Q2的离子打在Q上，则 ， 解得同理第n次调节电压，有 ，检测完整，有，解得最少次数为3次。17.2015年理综山东卷dHOGv24（20分）如图所示，
29、直径分别为D和2D的同心圆处于同一竖直面内，O为圆心，GH为大圆的水平直径。两圆之间的环形区域（区）和小圆内部（区）均存在垂直圆面向里的匀强磁场。间距为d的两平行金属极板间有一匀强电场，上极板开有一小孔。一质量为m电量为+q的粒子由小孔下方d/2处静止释放，加速后粒子以竖直向上的速度v射出电场，由H点紧靠大圆内侧射入磁场。不计粒子的重力。（1）求极板间电场强度的大小；（2）若粒子运动轨迹与小圆相切，求区磁感应强度的大小； （3）若区、区磁感应强度的大小分别为、，粒子运动一段时间后再次经过H点，求这段时间粒子运动的路程。【答案】（1） （2）或 （3）5.5D解析：（1）粒子在电场中，由动能定理
30、，解得（2）若粒子的运动轨迹与小圆相切，如图甲示，则当内切时，半径为，图丙图乙图甲由解得，当外切时，半径为，由解得（3）若区域的磁感应强度为，则粒子运动的半径为；区域的磁感应强度为，则粒子运动的半径为；设粒子在区和区做圆周运动的周期分别为T1、T2，由运动公式可得：；据题意分析，粒子两次与大圆相切的时间间隔内，运动轨迹如图乙所示，根据对称性可知，区两段圆弧所对的圆心角相同，设为，区内圆弧所对圆心角为，圆弧和大圆的两个切点与圆心O连线间的夹角设为，由几何关系可得：；粒子重复上述交替运动回到H点，轨迹如图丙所示，设粒子在区和区做圆周运动的时间分别为t1、t2，可得：；设粒子运动的路程为s，由运动公式可知：s=v(t1+t2)联立上述各式可得：s=5.5D
