1、【题型综述】导数研究方程的根或不等式的解集利用导数探讨方程解的存在性，通常可将方程转化为，通过确认函数或的值域，从而确定参数或变量的范围；类似的，对于不等式，也可仿效此法来源:Zxxk.Com【典例指引】例1已知函数（1）若关于的方程在上有解，求实数的最大值；（2）是否存在，使得成立？若存在，求出，若不存在，说明理由；【思路引导】（1）方程在上有解，等价于有解，只需求的最大值即可；（2）假设存在，可推导出矛盾，即可证明不存在来源:学。科。网Z。X。X。K例2已知函数的最大值为， 的图象关于轴对称()求实数的值；来源:Z*xx*k.Com()设，是否存在区间，使得函数在区间上的值域为？若存在，求
2、实数的取值范围；若不存在，请说明理由【思路引导】 () 由题意得，可得在上单调递增，在上单调递减，可得的最大值为，可得。由的图象关于轴对称，可得。 ()由题知，则，从而可得在上递增。假设存在区间，使得函数在上的值域是，则，将问题转化为关于的方程在区间上是否存在两个不相等实根的问题，即在区间上是否存在两个不相等实根，令，可得在区间上单调递增，不存在两个不等实根。 问题转化为关于的方程在区间上是否存在两个不相等实根，即方程在区间上是否存在两个不相等实根，令， ，则,设, 则， ，故在上递增，学&科网故，所以，故在区间上单调递增，故方程在区间上不存在两个不相等实根，综上，不存在区间使得函数在区间上的
3、值域是点睛：（1）解决导数综合题时，函数的单调性、极值是解题的基础，在得到单调性的基础上经过分析可使得问题得以解决。（2）对于探索性问题，在求解的过程中可先假设结论成立，然后在此基础上进行推理，看能否得到矛盾，若得到矛盾，则说明假设不成立；若无矛盾出现，则说明假设成立，从而说明所证明题成立。例3已知函数为常数 （1）当在处取得极值时，若关于x的方程 在上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围；（2）若对任意的，总存在，使不等式 成立，求实数 的取值范围【思路引导】（1）对函数，令，可得的值，利用导数研究的单调性，然后求得的最值，即可得到的取值范围；（2）利用导数求出在上的最大值，则问题等价
4、于对对任意，不等式成立，然后构造新函数，再对求导，然后讨论，得出的单调性，即可求出的取值范围当时，所以在区间上单调递减，此时所以不可能使恒成立，故必有，因为若，可知在区间上单调递增，在此区间上有满足要求若，可知在区间上递减，在此区间上有，与恒成立相矛盾，所以实数的取值范围是学&科网点睛：本题主要考查函数的单调性及恒成立问题，涉及函数不等式的证明，综合性强，难度较大，属于难题在处理导数大题时，注意分层得分的原则，一般涉及求函数单调性时，比较容易入手，求导后含参数的问题注意分类讨论，对于恒成立的问题，一般要构造新函数，再利用导数求出函数单调性及最值，涉及到的技巧较多，需多加体会【新题展示】1【20
5、19山东枣庄上学期期末】已知 （I）求函数的极值；（II）若方程仅有一个实数解，求的取值范围【思路引导】（I）先根据题意，求出，再求出，然后对a进行讨论，求得的单调性，然后取得极值.（II）仅有一个实数解,即有唯一零点，然后求得，再对a进行讨论，讨论单调性，求得的最小值，再利用零点存在性定理，最后求得a的取值.【解析】（I）, 当 ， ，在上是增函数，所以，函数没有极值.（II）仅有一个实数解,即有唯一零点. 当，此时在R上递增，因为，所以在递减；在递增，当x=0取等号，所以满足题意；当时， 所以在递减，上递增；令此时当上，递增；当上，递减；来源:Zxxk.Com当且紧当取等号，所以（1）当，
6、且 因为（利用：当时， ），所以 由零点存在性定理，可得存在唯一使得，注意（）于是，当递增；当递减；当递增；于是 来源:Z,xx,k.Com且当 由零点存在性定理：必然存在一个使得 此时，存在两个零点，可见不满足题意；（3）当时，则此时在R上递增，且，所以此时有唯一一个零点所以满足题意综上，a的取值范围为2【2019广西柳州毕业班1月模拟】已知函数， （1）当时，求函数的单调区间；（2）定义：对于函数，若存在，使成立，则称为函数的不动点.如果函数存在不动点，求实数的取值范围.【思路引导】（1）将代入，结合导函数，判定单调区间，即可。（2）用x表示a，构造函数，求导，判定原函数的单调性，计算最值
7、，计算a的范围，即可。【解析】（2） 存在不动点，方程有实数根.即有解.令 令，.当时， ，递减；当时，递增；来源:学.科.网当时，有不动点，范围3【2019山东济南上学期期末】已知函数.（1）若曲线在点处切线的斜率为1，求实数的值；（2）当时，恒成立，求实数的取值范围.【思路引导】(1)求出，令x=1,即可解出实数的值；（2）时，恒成立转化为求函数最小值大于零即可.【解析】（）当时，在上恒成立，所以在上恒成立，所以在上是增函数，所以，所以在上恒成立，所以在上是增函数，所以在上恒成立，符合题意；（）当时，所以，使得，当时，所以，所以在上是减函数，所以在上是减函数，所以，所以在上是减函数，所以，
8、不符合题意；综上所述：.4【2019江西南昌二中上学期期末】已知函数 在处取到极值2.（1）求的解析式；（2）若ae，函数，若对任意的，总存在（为自然对数的底数），使得，求实数的取值范围.【思路引导】(1)先对函数求导，再由函数在处取到极值2，可列出方程组，解方程组即可得出解析式;(2)由(1)可得函数的定义域为R，且函数为奇函数，进而求出的值域，从而可求出的最小值，因此可将函数，若对任意的，总存在（为自然对数的底数），使得的问题转化为在上成立的问题，用导数的方法研究函数的单调性和最值即可求出结果.【解析】(2)由(1)知的定义域为R，且，所以函数为奇函数，时，当且仅当时，取等号；故函数的值域
9、为，从而，依题意有，函数的定义域为，当时，函数在区间上单调的证，其最小值为,符合题意；5【2019江苏苏州上学期期末】已知函数(a，bR)（1）当ab1时，求的单调增区间；（2）当a0时，若函数恰有两个不同的零点，求的值；（3）当a0时，若的解集为(m，n)，且(m，n)中有且仅有一个整数，求实数b的取值范围【思路引导】（1）当ab1时，求得函数的导数，即可求解函数的单调区间；（2）法一：求得，令，得或，由函数f（x）有两个不同的零点，求得的方程，即可求解；法二：由得，设，利用导数求得函数的单调区间和极值，进而可得函数的零点。（3）当时，可得，设，利用导数得到函数的单调区间和极值，转化为要使有
10、解，和的解集（m,n）中只有一个整数，分别列出不等式组，即可求解。【解析】（1）当ab1时，令，解得或所以f（x）的单调增区间是和（2）法一：，令，得或，因为函数f（x）有两个不同的零点，所以或，当时，得a0，不合题意，舍去：当时，代入得即，所以.（3）当时，因为，所以设，则，当时，因为，所以在上递增，且，所以在上，不合题意：当时，令，得，所以在递增，在递减，所以，要使有解，首先要满足，解得. 又因为，要使的解集（m,n）中只有一个整数，则即解得. 【同步训练】1设函数， ，已知曲线在点处的切线与直线平行（1）求的值；（2）是否存在自然数，使得方程在内存在唯一的根？如果存在，求出；如果不存在，
11、请说明理由【思路引导】（1）求出的导数，求得切线的斜率，由两直线平行的条件：斜率相等，解方程可得；（2）求出、的导数和单调区间，最值，由零点存在定理，即可判断存在k=1又，所以存在，使因为，所以当时， ，当时， ，学&科网所以当时， 单调递增，所以时，方程在内存在唯一的根点睛：本题考查函数的单调性、极值，同时考查零点存在定理和分段函数的最值，考查运算能力，涉及函数不等式的证明，综合性强，难度大，属于难题处理导数大题时，注意分层得分的原则，力争第一二问答对，第三问争取能写点，一般涉及求函数单调性及极值时，比较容易入手，求导后注意分类讨论，对于恒成立问题一般要分离参数，然后利用函数导数求函数的最大
12、值或最小值，对于含有不等式的函数问题，一般要构造函数，利用函数的单调性来解决，但涉及技巧比较多，需要多加体会2已知函数（1）若函数在其定义域内为增函数，求实数的取值范围；（3）设函数，若在上至少存在一点，使得成立，求实数的取值范围【思路引导】（1）由题意得导函数在其定义域内恒非负，再根据二次方程恒成立条件得实数的取值范围；（2）将不等式有解问题，利用参变分离法转化为对应函数最值问题，再利用导数求对应函数最值，即得实数的取值范围则原问题转化为在上至少存在一点，使得，即时， ， ， ，则，不符合条件；时， ，由，可知，学&科网则在单调递增， ，整理得综上所述， 点睛：对于求不等式成立时的参数范围问
13、题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法3已知函数，其中（）求的单调区间；（）若在上存在，使得成立，求的取值范围【思路引导】（1）函数的单调区间与导数的符号相关，而函数的导数为，故可以根据的符号讨论导数的符号，从而得到函数的单调区间（2）若不等式 在 上有解，那么在上， 但在上的单调性不确定，故需分 三种情况讨论（2）若在上存在，使得成立，则在上的最小值小于当，即时，由
14、（1）可知在上单调递增， 在上的最小值为，由，可得，当，即时，由（1）可知在上单调递减， 在上的最小值为，由，可得 ；学&科网当，即时，由（1）可知在上单调递减，在上单调递增， 在上的最小值为，因为，所以，即，即，不满足题意，舍去综上所述，实数的取值范围为点睛：函数的单调性往往需要考虑导数的符号，通常情况下，我们需要把导函数变形，找出能决定导数正负的核心代数式，然后就参数的取值范围分类讨论又不等式的恒成立问题和有解问题也常常转化为函数的最值讨论，比如：“在 上有解”可以转化为“在 上，有”，而“在恒成立”可以转化为“在 上，有”4已知函数（1）若在上递增，求的取值范围；（2）若，与至少一个成立
15、，求的取值范围（参考数据： ）【思路引导】（1）由题意可得在， 上递增，又在上递增，故或，解得或，即为所求。（2）结合（1）中结论及条件可得， 。分，和两种情况可求得或（2）由（1）知， 在上单调递减，在上单调递增，又， ，当，即时，显然成立；学&科网当，即时，可得或，点睛：已知函数单调性求参数取值范围的方法（1）若函数的单调区间容易求出，可转化为集合间的包含关系，在此基础上得到关于参数的不等式（组）求解。（2）若函数的单调区间不易求出，可利用在所给区间上恒成立解决，解题时可根据分离参数的方法求解出参数的范围。5已知函数若，求函数的极值；设函数，求函数的单调区间；若在区间上不存在，使得成立，求
16、实数的取值范围【思路引导】（1）先求导数，再求导函数零点，列表分析导数符号，确定极值（2）先求导数，求导函数零点，讨论与零大小，最后根据导数符号确定函数单调性（3）正难则反，先求存在一点,使得成立时实数的取值范围，由存在性问题转化为对应函数最值问题，结合（2）单调性可得实数的取值范围，最后取补集得结果 ，；当时， 在上递减，在上递增令，则在递减， ， 无解，即无解；学&科网综上：存在一点,使得成立，实数的取值范围为： 或所以不存在一点，使得成立，实数的取值范围为点睛：函数单调性问题，往往转化为导函数符号是否变号或怎样变号问题，即转化为方程或不等式解的问题（有解，恒成立，无解等），而不等式有解或
17、恒成立问题，又可通过适当的变量分离转化为对应函数最值问题来源:Z.xx.k.Com6已知函数(为实常数)(1)若,求曲线在处的切线方程;(2)讨论函数在上的单调性;(3)若存在,使得成立,求实数的取值范围【思路引导】(1)求出切线的斜率， ，即可得出切线方程；(2) 1,e，分、三种情况讨论导数的符号，即可得出结论；(3)分、三种情况讨论函数的单调性并求出最值,则易得结论当时, 在上单调增, 的最小值为当时, 在上单调减,在上单调增,的最小值为来源:学,科,网Z,X,X,K因为学&科网当时, 在上单调减,的最小值为,学&科网来源:Z_xx_k.Com，综上, 7已知，其中（1）求函数的极大值点
18、；（2）当时，若在上至少存在一点，使成立，求的取值范围【思路引导】（1）求导，对进行四类讨论，得到极大值的情况；（2）在上至少存在一点，使成立，等价于当时， ，结合（1）的单调性情况，求，得到的取值范围 8已知函数（）（1）若，求的极值；（2）若存在，使得成立，求实数的取值范围【思路引导】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；（2）问题转化为， 成立，设，根据函数的单调性求出a的范围即可试题解析：（2）存在，使得成立，等价于，（ ）成立设则令，解得： （舍），；当， 在递减令，解得： 学&科网当时， 在递减，在递增与矛盾综上， 9已知函数，（1
19、）求函数的单调区间；（2）若关于的方程有实数根，求实数的取值范围【思路引导】（1）函数求导，从而得单调区间；（2）方程有实数根，即函数存在零点，分类讨论函数的单调性，从而得有零点时参数的范围（2）由题得， 依题意，方程有实数根，即函数存在零点又令，得当时，即函数在区间上单调递减，而， 所以函数存在零点；点睛：已知函数有零点求参数常用的方法和思路：（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成函数的值域问题解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一个平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后数形结合求解10已知函数，且直线是函数的一条切线（1）求的值；（2）对任意的，都存在，使得，求的取值范围；（3）已知方程有两个根，若，求证: 【思路引导】（1）对函数求导， ，设直线与函数相切与点，根据导数的几何意义可得， ，解得，求出；（2）对任意的 ，都存在，使得，只需要的值域是值域的子集，利用导数的方法分别求、的值域，即可求出的取值范围；（3）根据题意得,两式相减得， ，所以，令，则，则，令，对求导，判断的单调，证明 (2) 由（1）得，所以，当， 时， ，所以在上单调递减，所以当， 时， ， ，当时， ，所以在上单调递增，所以当时， ，依题意得 ，所以，解得(3) 依题意得,两式相减得，所以，方程可转化为
