1、【题型综述】圆锥曲线的切线问题有两种处理思路：思路1，导数法，将圆锥曲线方程化为函数，利用导数法求出函数在点处的切线方程，特别是焦点在轴上常用此法求切线；思路2，根据题中条件设出切线方程，将切线方程代入圆锥切线方程，化为关于（或y）的一元二次方程，利用切线与圆锥曲线相切的充要条件为判别式，即可解出切线方程，注意关于（或y）的一元二次方程的二次项系数不为0这一条件，圆锥曲线的切线问题要根据曲线不同，选择不同的方法.【典例指引】类型一 导数法求抛物线切线例1 【2017课表1，文20】设A，B为曲线C：y=上两点，A与B的横坐标之和为4（1）求直线AB的斜率；（2）设M为曲线C上一点，C在M处的切
2、线与直线AB平行，且AMBM，求直线AB的方程类型二 椭圆的切线问题例2（2014广东20）（14分）已知椭圆的一个焦点为，离心率为.（1）求椭圆C的标准方程；（2）若动点为椭圆外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程.类型三 直线与椭圆的一个交点例3.【2013年高考安徽卷】已知椭圆的焦距为4，且过点.（）求椭圆C的方程；（）设为椭圆上一点，过点作轴的垂线，垂足为.取点,连接，过点作的垂线交轴于点.点是点关于轴的对称点，作直线，问这样作出的直线是否与椭圆C一定有唯一的公共点？并说明理由.【解析】（1）因为椭圆过点 且 学*科网 椭圆C的方程是（2）由题意，各点的坐标如上图所
3、示，则的直线方程：化简得又，学*科网所以带入求得最后所以直线与椭圆只有一个公共点.类型四 待定系数求抛物线的切线问题例4 【2013年高考广东卷】已知抛物线的顶点为原点，其焦点到直线的距离为设为直线上的点，过点作抛物线的两条切线，其中为切点(1) 求抛物线的方程；(2) 当点为直线上的定点时，求直线的方程；(3) 当点在直线上移动时，求的最小值（3）由抛物线的定义可知，所以联立，消去得， 当时，取得最小值为学*科网【扩展链接】1. 椭圆的切线方程：椭圆上一点处的切线方程是；椭圆外一点所引两条切线方程是.2. 双曲线的切线方程：双曲线上一点处的切线方程是；双曲线上一点所引两条切线方程是.3. 抛
4、物线的切线方程：抛物线上一点处的切线方程是；抛物线上一点所引两条切线方程是.4.设抛物线的焦点为，若过点的直线分别与抛物线相切于两点，则.5.设椭圆:的焦点为，若过点的直线分别与椭圆相切于两点，则.6.设双曲线:的焦点为，若过点的直线分别与椭圆相切于两点，则.【新题展示】1【2019福建龙岩质检】已知椭圆的两焦点为、，抛物线：（）的焦点为，为等腰直角三角形（）求的值；（）已知过点的直线与抛物线交于两点，又过作抛物线的切线，使得，问这样的直线是否存在？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由【思路引导】（）先写出、的坐标，利用为等腰直角三角形，求得p即可（）依题意，直线l的斜率必存在，设直线l
5、的方程为yk（x+2），可得切线l1，l2的斜率分别为，x1x24再将直线与抛物线联立，结合韦达定理解得k即可【解析】（）椭圆，两焦点为，为等腰直角三角形， 来源:Z+xx+k.Com（）过点的直线与抛物线交于两点，的斜率必存在，设直线的方程为， 由得，或 抛物线方程得为所以切线的斜率分别为， 当时，即 又，解得合题意，所以存在直线的方程是，即2【2019河南九师联盟2月质检】已知点是抛物线：的焦点，点是抛物线上的定点，且（1）求抛物线的方程；（2）直线与抛物线交于不同两点，且（为常数），直线与平行，且与抛物线相切，切点为，试问的面积是否是定值若是，求出这个定值；若不是，请说明理由【思路引导】
6、（1）先设出点M的坐标，表示出，求得M坐标，带入抛物线方程，求得p的值，得出结果（2）先设直线AB的方程，联立求解得AB中点Q的坐标为，再设切线方程，联立得切点的坐标为，再利用面积公式和已知条件，进行计算化简可得结果【解析】（1）设，由题知，所以所以，即代入中得，解得所以抛物线的方程为（2）由题意知，直线的斜率存在，设其方程为由，消去，整理得，则，设的中点为，则点的坐标为由条件设切线方程为，由，消去整理得直线与抛物线相切，切点的坐标为轴，又 为常数，的面积为定值，且定值为3【2019东北师大附中、重庆一中、吉大附中、长春十一中联考】已知椭圆的离心率为，右焦点为，且椭圆过点（I）求椭圆的方程；（
7、II）若点分别为椭圆的左右顶点，点是椭圆上不同于的动点，直线与直线x=a交于点，证明：以线段为直径的圆与直线相切【思路引导】（I）设椭圆的焦距为，依题意，列出方程组，求得的值，即可求解椭圆的标准方程；（II）方法一 设点的坐标为，当时，得到直线的方程，求得点的坐标， 进而求得线段的中点为，利用点到直线的距离等于半径，即可证明；又由可得点Q的坐标，求得线段中点的坐标，利用圆心到直线的距离等于半径，可作出证明方法二：依题意，直线的斜率存在，设直线的方程为，联立方程组，利用根与系数的关系，求得点P的坐标，进而求得以为直径的圆的圆心坐标为，半径为，再由直线与圆的位置关系的判定，即可得到结论【解析】（I
8、）设椭圆的焦距为，依题意，解得，故椭圆C的标准方程为（II）方法一设点的坐标为，因为在椭圆上，由两点的坐标为，直线的方程为：，当时，则点的坐标为，设线段的中点为，则点的坐标为，有，直线的方程为：，整理为，由，则点到直线的距离为，来源:Zxxk.Com由，故以为直径的圆与直线相切若时，则点的坐标为或，直线的方程为，直线的方程为或将代入直线的方程得点的坐标为或，线段中点的坐标为或，所以又点到直线的距离由，故以为直径的圆与直线相切方法二：由（I）知依题意，直线的斜率存在，设直线的方程为，设点的坐标为，由，消去得，的坐标为因为直线与交点为，的坐标为，所以以为直径的圆的圆心坐标为，半径为当直线的斜率存在
9、，即，时，直线的方程为，即，整理得设圆心到直线的距离为，则所以以为直径的圆与直线相切当直线的斜率不存在即时，此时直线的方程为圆心坐标为，圆的半径为，此时以为直径的圆与直线相切4【2019河南洛阳一模】已知圆，圆心在抛物线上，圆过原点且与的准线相切（1）求抛物线的方程；（2）点，点（与不重合）在直线上运动，过点作抛物线的两条切线，切点分别为，求证：【思路引导】(1)根据圆和抛物线的位置关系，以及圆和准线相切这一条件得到方程，从而得到结果；（2）求出两条切线方程，再抽出方程，其两根为切点的横坐标，通过韦达定理得到结果即可【解析】（1）圆与抛物线准线相切，又圆过和原点，解得抛物线的方程为（2）设，方
10、程为，抛物线在点处的切线的斜率，切线的方程为，即，化简得：，又因过点，故可得，即同理可得：为方程的两根，5【2019江苏如皋调研（三)】在平面直角坐标系中，已知定点，点在轴上运动，点在轴上运动，点为坐标平面内的动点，且满足，（1）求动点的轨迹的方程；（2）过曲线第一象限上一点（其中）作切线交直线于点，连结并延长交直线于点，求当面积取最大值时切点的横坐标【思路引导】（1）设，因为，所以，得（2）切线：，将代入得，直线：，将代入得，所以，由，得，设，求取最小值时，的取值即为所求【解析】（1）设，因为，所以，所以（2）切线：，将代入得，直线：，将代入得，因为在抛物线上且在第一象限，所以，所以，设，【
11、同步训练】1已知椭圆与抛物线y2=2px（p0）共焦点F2，抛物线上的点M到y轴的距离等于|MF2|1，且椭圆与抛物线的交点Q满足|QF2|=（1）求抛物线的方程和椭圆的方程；（2）过抛物线上的点P作抛物线的切线y=kx+m交椭圆于A、B两点，求此切线在x轴上的截距的取值范围【思路点拨】（1）由抛物线的性质，求得x=1是抛物线y2=2px的准线，则，求得p的值，求得焦点坐标，代入抛物线方程求得Q点坐标，利用椭圆的定义，即可求得a的值，由b2=a2c2=8，即可求得椭圆方程；（2）将直线分别代入抛物线，由=0，求得km=1，将直线方程代入椭圆方程，求得0，代入即可求得m的取值范围，切线在x轴上的
12、截距为，又，即可求得切线在x轴上的截距的取值范围（ 2）显然k0，m0，由，消去x，得ky24y+4m=0，由题意知1=1616km=0，得km=1，（7分）由，消去y，得（9k2+8）x2+18kmx+9m272=0，其中（9k2+8）（9m272）0，化简得9k2m2+80，（9分）又，得m48m290，解得0m29，（10分）切线在x轴上的截距为，又，学*科网切线在x轴上的截距的取值范围是（9，0）（12分）2.（2017鸡泽县校级模拟）已知椭圆C：+=1（ab0）的离心率为，其中一个顶点是双曲线=1的焦点（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点P（0，3）的直线l与椭圆C相交于不同的两点A
13、，B，过点A，B分别作椭圆的两条切线，求其交点的轨迹方程【思路点拨】（1）由椭圆的离心率为，其中一个顶点是双曲线=1的焦点，旬出方程组求出a，b，c，由此能求出椭圆C的标准方程（2）当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+3，设A（x1，y1），B（x2，y2），求出椭圆在点A处的切线方程为=1，椭圆在点B处的切线方程为=1，联立，得y=，求出交点的轨迹方程为y=当直线l的斜率不存在时，无交点由此能过求出过点A，B所作椭圆的两条切线的交点的轨迹方程（2）当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+3，设A（x1，y1），B（x2，y2），设在A（x1，y1）处切线方程为yy1=k1
14、（xx1），与椭圆C：=1联立，消去y，得（）x2+8k1（k1x1+y1）x+4（k1x1+y1）275=0，由=0，得8k1（k1x1+y1）24（4+3）4（k1x1+y1）275=0，化简，得（），学*科网由，得4x12100=，4y1275=3x12，上式化为=0， 3.设椭圆C：+=1（ab0），定义椭圆的“伴随圆”方程为x2+y2=a2+b2；若抛物线x2=4y的焦点与椭圆C的一个短轴重合，且椭圆C的离心率为（1）求椭圆C的方程和“伴随圆”E的方程；（2）过“伴随圆”E上任意一点P作椭圆C的两条切线PA，PB，A，B为切点，延长PA与“伴随圆”E交于点Q，O为坐标原点证明：PAP
15、B；若直线OP，OQ的斜率存在，设其分别为k1，k2，试判断k1k2是否为定值，若是，求出该值；若不是，请说明理由【思路点拨】（1）由抛物线的方程，求得b的值，利用离心率公式，即可求得a的值，求得椭圆方程；（2）设直线y=kx+m，代入椭圆方程，利用韦达定理及直线的斜率公式，即可求得kPAkPB=1，即可证明PAPB；将直线方程代入圆方程，利用韦达定理及直线的斜率公式求得k1k2=，代入即可求得k1k2=当切线的斜率不存在或等于零结论显然成立，PAPB，当直线PQ的斜率存在时，由可知直线PQ的方程为y=kx+m，整理得：（k2+1）x2+2kmx+m24=0，则=4k2m24（k2+1）（m2
16、4），将m2=3k2+1，代入整理=4k2+120，设P（x1，y1），Q（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=，k1k2=，=，学*科网将m2=3k2+1，即可求得求得k1k2=，当直线PQ的斜率不存在时，易证k1k2=，综上可知：k1k2=学*科网4.左、右焦点分别为F1、F2的椭圆C：+=1（ab0）经过点Q（0，），P为椭圆上一点，PF1F2的重心为G，内心为I，IGF1F2（1）求椭圆C的方程；（2）M为直线xy=4上一点，过点M作椭圆C的两条切线MA、MB，A、B为切点，问直线AB是否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由【思路点拨】（1）由过点Q，则b=，求
17、得，PF1F2的重心为G点坐标，由IGF1F2，|y0|=3r，根据三角形的面积公式可知a=2c，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；（2）利用椭圆的切线发浓缩，求得直线AB的方程，由点M为直线xy=4上，代入整理即可求得定点坐标（2）设M（x1，y1），A（x2，y2），B（x3，y3）则切线MA，MB的方程分别为，（7分）点M在两条切线上，故直线AB的方程为（9分）又点M为直线xy=4上，y1=x14即直线AB的方程可化为，整理得（3x+4y）x1=16y+12，由解得，学*科网因此，直线AB过定点（12分）5.平面直角坐标系xoy中，椭圆C1：+=1（ab0）的离心率为，过椭圆右焦点F作两
18、条相互垂直的弦，当其中一条弦所在直线斜率为0时，两弦长之和为6（1）求椭圆的方程；（2）A，B是抛物线C2：x2=4y上两点，且A，B处的切线相互垂直，直线AB与椭圆C1相交于C，D两点，求弦|CD|的最大值【思路点拨】（1）由椭圆的离心率为，过椭圆右焦点F作两条相互垂直的弦，当其中一条弦所在直线斜率为0时，两弦长之和为6，列出方程组，求出a，b，由此能求出椭圆方程（2）设直线AB为：y=kx+m，由，得x24kx4m=0，由此利用韦达定理、直线垂直推导出直线AB过抛物线C1的焦点F，再由，得（1+2k2）x2+4kx2=0，由此利用弦长公式能求出弦|CD|的最大值 故切线PA，PB的斜率分别
19、为，kPB=，再由PAPB，得kPAkPB=1，解得m=1，这说明直线AB过抛物线C1的焦点F，来源:学科网由，得（1+2k2）x2+4kx2=0，|CD|=3当且仅当k=时取等号，弦|CD|的最大值为3学*科网6.已知椭圆C：（ab0）的上、下两个焦点分别为F1，F2，过F1的直线交椭圆于M，N两点，且MNF2的周长为8，椭圆C的离心率为（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知O为坐标原点，直线l：y=kx+m与椭圆C有且仅有一个公共点，点M，N是直线l上的两点，且F1Ml，F2Nl，求四边形F1MNF2面积S的最大值【思路点拨】（1）由MNF2的周长为8，求出a=2，再由，求出b，由此能求出椭
20、圆C的标准方程（2）将直线l的方程y=kx+m代入到椭圆方程中，得（4+k2）x2+2kmx+m24=0由直线与椭圆仅有一个公共点，利用根的判别式求出m2=4+k2由此利用弦长公式，结合已知条件能求出四边形F1MNF2面积的最大值所以=因为四边形F1MNF2的面积，所以=令k2+1=t（t1），则=，来源:学科网所以当时，S2取得最大值为16，故Smax=4，学*科网即四边形F1MNF2面积的最大值为47.已知A，B分别是椭圆 的长轴与短轴的一个端点，F1，F2分别是椭圆C的左、右焦点，D椭圆上的一点，DF1，F2的周长为来源:学科网（1）求椭圆C的方程；（2）若P是圆x2+y2=7上任一点，
21、过点作P椭圆C的切线，切点分别为M，N，求证：PMPN【思路点拨】（1）由2a+2c=6，b2+c2=a2，即可求得a和b的值，即可求得椭圆方程；（2）分类讨论，当切线PM斜率不存在或者为零时，根据对称性即可求得PMPN；当斜率不为零时，分别求得直线PM，PN的方程，由=0即可求得k1，k2是方程的两个根，则，则PMPNy0=k1x0+m，m=y0k1x0，即；同理：切线PN：y=k2x+t中，k1，k2是方程的两个根，又P在圆上，PMPN学*科网综上所述：PMPN8.已知圆M：（xa）2+（yb）2=9，M在抛物线C：x2=2py（p0）上，圆M过原点且与C的准线相切（） 求C的方程；（）
22、点Q（0，t）（t0），点P（与Q不重合）在直线l：y=t上运动，过点P作C的两条切线，切点分别为A，B求证：AQO=BQO（其中O为坐标原点）【思路点拨】（1）由圆M与抛物线准线相切，得，且圆过又圆过原点，故，可得，解得p=4，即可（2） 设A（x1，y1），B（x2，y2），P（m，t），可得，即x1，x2为方程x22mx4t=0的两根，所以x1+x2=2m，x1x2=4t，可得，化简=可证得AQO=BQO又因过点P（m，t），故可得，（7分）即，同理可得，（8分）所以x1，x2为方程x22mx4t=0的两根，所以x1+x2=2m，x1x2=4t，（9分）因为Q（0，t），所以，（10分）
23、化简=（11分）所以AQO=BQO（12分）9.已知椭圆C：+=1（ab0）的长轴长为4，离心率为，右焦点为F（1）求椭圆C的方程；（2）直线l与椭圆C相切于点P（不为椭圆C的左、右顶点），直线l与直线x=2交于点A，直线l与直线x=2交于点B，请问AFB是否为定值？若不是，请说明理由；若是，请证明【思路点拨】（1）由2a=4，离心率e=，b=即可求得a和b，即可求得椭圆C的方程；（2）l的斜率为0时，AFB为直角，则AFB为定值，当斜率不为0时，将切点代入椭圆方程，求得交点坐标，求得AF和BF的斜率kAF及kBF，即可求得kAFkBF=1，即可求得AFB为定值 10.已知过抛物线x2=4y的
24、焦点F的直线l与抛物线相交于A、B两点（1）设抛物线在A、B处的切线的交点为M，若点M的横坐标为2，求ABM的外接圆方程（2）若直线l与椭圆+=1的交点为C，D，问是否存在这样的直线l使|AF|CF|=|BF|DF|，若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由【思路点拨】（1）设，直线AB：，从而得到过A，B，M的圆是以AB为直径的圆，由此结合已知条件能求出圆的方程（2）设，由此利用韦达定理，结合已知条件能求出满足条件的直线方程（2）设设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），则又，x1+x2=4k，x1x2=4将，由将，由得k=0或k2=1，k=1，经检验k=0
25、，k=1时，A、B、C、D四点各异，且满足要求故直线l存在，且方程为y=x+1或y=1（13分）11.在平面直角坐标系中，已知点F（1，0），直线l：x=1，动直线l垂直l于点H，线段HF的垂直平分线交l于点P，设点P的轨迹为C（1）求曲线C的方程；（2）以曲线C上的点P（x0，y0）（y00）为切点作曲线C的切线l1，设l1分别与x，y轴交于A，B两点，且l1恰与以定点M（a，0）（a2）为圆心的圆相切，当圆M的面积最小时，求ABF与PAM面积的比【思路点拨】（1）由丨PH丨=丨PF丨，根据抛物线的定义，点P的轨迹是以l为准线，F为焦点的抛物线，即可求得抛物线方程；（2）由y0时，求导，求得
26、切线斜率，利用点斜式方程即可求得切线方程，取得A和B点坐标，利用点到直线的距离公式，根据基本不等式的性质，当P（a2，2）时，满足题意的圆M的面积最小，求得A和B点坐标，利用三角形的面积公式即可求得ABF与PAM面积的比 A（x0，0），（7分）点M（a，0）到切线l的距离d=+2，（当且仅当y0=2时，取等号）当P（a2，2）时，满足题意的圆M的面积最小 （9分）A（2a，0），B（0，），SABF=丨1（2a）丨丨丨=（a1），SPAM=丨a（2a）丨丨2丨=2（a1），（11分）=，ABF与PAM面积的比（12分）12.在平面直角坐标系中，已知椭圆：（）的左焦点为，且点在上.（1）求椭圆的方程；（2）设直线同时与椭圆和抛物线：相切，求直线的方程.【思路点拨】（1）因为椭圆C1的左焦点为F1（1，0），所以c=1，点P（0，1）代入椭圆，得b=1，由此能求出椭圆C1的方程；（2）设直线l的方程为y=kx+m，由，得（1+2k2）x2+4kmx+2m22=0因为直线l与椭圆C1相切，所以=0，得到两个变量的等量关系再由直线和抛物线相切，联立方程，运用判别式为0，再构造两个变量的等量关系，从而解出两个变量的值，由此能求出直线l的方程
