1、专题15 探究向量关系式，几何意义先分析【题型综述】探究向量关系问题解题策略：（1）“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化.其步骤为假设满足条件的元素向量关系存在，用向量的坐标运算，转化直线与圆锥曲线交点坐标的函数式，利用设而不求思想，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则向量关系存在存在；否则，向量关系不存在.(2)反证法与验证法也是求解探索性问题常用的方法.【典例指引】类型一 探究向量式是否为定值例1 【2015高考四川，文20】如图，椭圆E：(ab0)的离心率是，点P(0，1)在短轴CD上，且1()求椭圆E的方程；()设O为坐标原点，过点P的动直线与椭圆交于A、B两点.是否存在常数
2、，使得为定值？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.【解析】类型二 探究向量式是否成立例2. 【2014高考湖南卷文第20题】如图5，为坐标原点，双曲线和椭圆均过点，且以的两个顶点和的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形.(1)求的方程；(2)是否存在直线，使得与交于两点，与只有一个公共点，且？证明你的结论.【解析】类型三 探究向量式成立的条件例3【2013年高考，天津卷理】设椭圆的左焦点为F, 离心率为, 过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为. () 求椭圆的方程; () 设A, B分别为椭圆的左右顶点, 是否存在过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C, D两点，且, 若存在，求k的
3、值，不存在，说明理由. 【解析】类型四 利用向量探究曲线过定点例4. (2012福建理19)如图，椭圆的左焦点为，右焦点为，离心率。过的直线交椭圆于两点，且的周长为8。（）求椭圆的方程。（）设动直线与椭圆有且只有一个公共点，且与直线相交于点。试探究： 在坐标平面内是否存在定点，使得以为直径的圆恒过点？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由。【解析】【扩展链接】1. 设圆锥曲线C的焦点F在x轴上，过焦点F且斜率为的直线交曲线于两点，若，则.2. 在圆锥曲线中，过焦点F不垂直于坐标轴的弦为，其垂直平分线和焦点所在的坐标轴交于，则.3.已知椭圆的两个焦点分别为和（），过点的直线与椭圆相交于两点，若
4、，则直线一定过或.4.如果平面内有三点不共线，设.【新题展示】1【2019湖北恩施2月质检】已知抛物线：的焦点为，其准线：与轴的交点为，过点的直线与抛物线交于两点（1）求抛物线的方程；（2）点关于轴的对称点为，证明：存在实数，使得【思路引导】（1）根据抛物线的准线为直线：，可求出，进而可得抛物线方程；（2）先设直线的方程为，联立直线与抛物线方程，由韦达定理，求出直线恒过定点，进而可证明结论成立2【2019黑龙江齐齐哈尔一模】已知为坐标原点，椭圆：的左、右焦点分别为，过焦点且垂直于轴的直线与椭圆相交所得的弦长为3，直线与椭圆相切（1）求椭圆的标准方程；（2）是否存在直线：与椭圆相交于两点，使得？
5、若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由！【思路引导】（1）由题意列出关于a，b的关系式，解得a，b即可（2）将直线与椭圆联立，将向量数量积的运算用坐标形式表示，利用根与系数之间的关系确定k的取值范围3【2019安徽江南十校3月检测】设是坐标原点，圆：，椭圆的焦点在轴上，左、右顶点分别为，离心率为，短轴长为4平行轴的直线与椭圆和圆在轴右侧的交点分别为，直线与轴交于点，直线与轴交于点（）求椭圆的标准方程；（）当时，求的取值范围【思路引导】（1）根据椭圆的几何性质，得到关于的方程，求得结果；（2）解法一：假设方程和坐标，利用得到和的坐标，从而将转化为关于的式子，求得范围；解法二：假设方程和坐标，
6、与椭圆方程联立解出点坐标，进一步推导出坐标，将转化为关于的式子，求得范围4【2019河北衡水中学摸底】已知点是抛物线的焦点，若点在抛物线上，且求抛物线的方程；动直线与抛物线相交于两点，问：在轴上是否存在定点其中，使得向量与向量共线其中为坐标原点？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由【思路引导】求得抛物线的焦点和准线方程，运用抛物线的定义可得的坐标，代入抛物线方程，解得，进而得到抛物线的方程；在轴上假设存在定点其中，使得与向量共线，可得轴平分，设，联立和，根据恒成立，运用韦达定理和直线的斜率公式，化简整理可得的方程，求得，可得结论【同步训练】1已知椭圆C：+=1（ab0）的上下两个焦点分别
7、为F1，F2，过点F1与y轴垂直的直线交椭圆C于M，N两点，MNF2的面积为，椭圆C的离心率为（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知O为坐标原点，直线l：y=kx+m与y轴交于点P，与椭圆C交于A，B两个不同的点，若存在实数，使得+=4，求m的取值范围【思路点拨】（1）根据已知设椭圆的焦距2c，当y=c时，|MN|=|x1x2|=，由题意得，MNF2的面积为|MN|F1F2|=c|MN|=，又，解得a、b即可（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），P（0，y0），分类讨论：当m=0时，利用椭圆的对称性即可得出；m0时，直线AB的方程与椭圆的方程联立得到0及根与系数的关系，再利用向量相等，代入
8、计算即可得出【详细解析】2.已知F1，F2分别是椭圆C：+=1（ab0）的两个焦点，P（1，）是椭圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知动直线l过点F2，且与椭圆C交于A、B两点，试问x轴上是否存在定点Q，使得=恒成立？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由【思路点拨】（1）根据椭圆的性质及等差数列性质得出a=c，把P点坐标代入椭圆方程列方程组解出a，b得出椭圆方程；（2）设Q（m，0），讨论直线l的斜率，求出A，B坐标，列方程解出m【详细解析】3.在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：+=1（ab0）的一个焦点为F1（，0），M（1，
9、y）（y0）为椭圆上的一点，MOF1的面积为（1）求椭圆C的标准方程；（2）若点T在圆x2+y2=1上，是否存在过点 A（2，0）的直线l交椭圆C于点 B，使=（+）？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由【思路点拨】（1）由已知列式c=，得a2，b2即可；（2）设直线l的方程为：y=k（x2），A（x1，y1），B（x2，y2）由得（1+4k2）x216k2x+16k24=0，x1+x2=，y1+y2=k（x1+x2）4k=，=（+）=，得T（）代入 圆C1，可得化为176k424k25=0可求得k【详细解析】4.已知椭圆的两个焦点为，是椭圆上一点，若，（1）求椭圆的方程；（2）直线
10、l过右焦点（不与x轴重合）且与椭圆相交于不同的两点A，B，在x轴上是否存在一个定点P（x0，0），使得的值为定值？若存在，写出P点的坐标（不必求出定值）；若不存在，说明理由【思路点拨】（1）根据椭圆的定义及勾股定理即可求得a=3，c=，b2=a2c2=4，即可求得椭圆方程；（2）方法一：设直线l：x=my+，代入椭圆方程，利用韦达定理及向量数量积的坐标运算，=t 则（4x0236）m2+9x0218x0+29=t（4m2+9），比较系数，即可求得x0=，在x轴上存在一个定点P（，0），使得的值为定值（）；方法二：分类讨论，当直线l的斜率存在时，设直线l：y=k（x），代入椭圆方程，利用韦达定理
11、及向量数量积的坐标运算，令=t 则（9x0218x0+29）k2+4x0236=t（4+9k2），9x0218x0+29=9 t且4x0236=4t，即可求得x0=，此时t的值为【详细解析】5.如图已知椭圆C：+=1（ab0）的离心率为，以椭圆的左顶点T为圆心作圆T：（x+2）2+y2=r2（r0），设圆T与椭圆C交于点M，N（1）求椭圆C的方程；（2）求的最小值，并求此时圆T的方程【思路点拨】（1）运用椭圆的离心率公式和顶点坐标，结合a，b，c的关系，可得椭圆方程；（2）设M（m，n），由对称性可得N（m，n），代入椭圆方程，再由向量数量积的坐标表示，转化为关于m的二次函数，配方，结合椭圆的
12、范围，可得最小值，进而得到M的坐标，可得圆的方程【详细解析】6.已知椭圆的离心率，以上顶点和右焦点为直径端点的圆与直线x+y2=0相切（1）求椭圆的标准方程；（2）对于直线l：y=x+m和点Q（0，3），椭圆C上是否存在不同的两点A与B关于直线l对称，且3=32，若存在实数m的值，若不存在，说明理由【思路点拨】（1）由椭圆的离心率，得b=c，写出以上顶点和右焦点为直径端点的圆的方程，再由点到直线的距离列式求得b，c的值，结合隐含条件求得a，则椭圆方程可求；（2）由题意设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB方程为：y=x+n联立消y整理可得：3x24nx+2n22=0，由0解得n的范围再
13、由根与系数的关系结合中点坐标公式求得直线AB之中点坐标，代入直线AB，再由点P在直线l上求得m的范围，最后由3=32求得m的值【详细解析】7.已知椭圆C：+=1（ab0）的左、右顶点分别为A、B，且长轴长为8，T为椭圆上一点，直线TA、TB的斜率之积为（1）求椭圆C的方程；（2）设O为原点，过点M（0，2）的动直线与椭圆C交于P、Q两点，求+的取值范围【思路点拨】（1）求得直线TA，TB的斜率，由=，即可求得椭圆C的方程；（2）设直线PQ方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及向量数量积的坐标，求函数的单调性，即可求得+的取值范围【详细解析】8.已知抛物线E：x2=4y的焦点为F，过点F的直线l交抛
14、物线于A，B两点（1）若点M在线段AB上运动，原点O关于点M的对称点为C，求四边形OACB面积的最小值；（2）过A，B分别作抛物线E的切线l1，l2，若l1与l2交于点P，求的值【思路点拨】（1）由题意设直线AB的方程，代入抛物线方程，利用韦达定理及弦长公式，根据函数的单调性即可求得四边形OACB面积的最小值；（2）求导，利用点斜式方程，求得求得切线l1，l2的方程，联立求得P点坐标，根据向量的坐标运算，即可求得的值【详细解析】9.已知点P（4，4），圆C：（xm）2+y2=5（m3）与椭圆E：+=1（ab0）有一个公共点A（3，1），F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，直线PF1与圆C相切（1
15、）求m的值与椭圆E的方程；（2）设Q为椭圆E上的一个动点，求的取值范围【思路点拨】（1）先利用点A在圆上求出m，再利用直线PF1与圆C相切求出直线PF1与的方程以及c，再利用点A在椭圆上求出2a，即可求出椭圆E的方程；（2）先把用点Q的坐标表示出来，再利用Q为椭圆E上的一个动点以及基本不等式即可求出的取值范围【详细解析】10.若椭圆E1：与椭圆E2：满足，则称这两个椭圆相似，m叫相似比若椭圆M1与椭圆相似且过点（1）求椭圆M1的标准方程；（2）过点P（2，0）作斜率不为零的直线l与椭圆M1交于不同两点A、B，F为椭圆M1的右焦点，直线AF、BF分别交椭圆M1于点G、H，设，求1+2的取值范围【
16、思路点拨】（1）根据题意，设椭圆M1的标准方程为，由“椭圆相似”的性质分析可得，解可得a2、b2的值，代入椭圆的方程即可得答案；（2）设直线l的斜率为k，以及A、B、G、H的坐标，可以表示、的坐标，分“AG与x轴不垂直”和“AG与x轴垂直”两种情况，求出直线AG的方程，联立直线与椭圆的方程，由根与系数的关系的分析可得1+2范围，即可得答案【详细解析】11.已知椭圆C：（ab0）的离心率为，左、右焦点分别为圆F1、F2，M是C上一点，|MF1|=2，且|=2（1）求椭圆C的方程；（2）当过点P（4，1）的动直线l与椭圆C相交于不同两点A、B时，线段AB上取点Q，且Q满足|=|，证明点Q总在某定直
17、线上，并求出该定直线的方程【思路点拨】（1）由已知得a=2c，且F1MF2=60，由余弦定理求出c=1，即可求得a，结合隐含条件求得b，则椭圆C的方程可求；（2）设直线l的方程为y=kx+（14k），代入椭圆方程，得（3+4k2）x2+（8k32k2）x+64k232k8=0，利用根与系数的关系结合已知向量等式即可证明点Q总在某定直线上，并求出该定直线方程【详细解析】12.如图，椭圆E：，点P（0，1）在短轴CD上，且（1） 求椭圆E的方程及离心率；（2） 设O为坐标原点，过点P的动直线与椭圆交于A，B两点是否存在常数，使得为定值？若存在，求的值；若不存在，请说明理由【思路点拨】（1）由已知可得点C，D的坐标分别为（0，b），（0，b）结合=2列式求得b，则椭圆方程可求，进一步求出c可得椭圆的离心率；（2）当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+1，A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）联立直线方程和椭圆方程，利用根与系数的关系可得A，B横坐标的和与积+，可知当=2时，+=7为定值当直线AB斜率不存在时，直线AB即为直线CD，仍有+=+2=34=7，故存在常数=2，使得+为定值7【详细解析】
