1、一、极值点偏移的判定定理对于可导函数，在区间上只有一个极大（小）值点，方程的解分别为，且，（1）若，则，即函数在区间上极（小）大值点右（左）偏；学科#网（2）若，则，即函数在区间上极（小）大值点右（左）偏.证明：（1）因为对于可导函数，在区间上只有一个极大（小）值点，则函数的单调递增（减）区间为，单调递减（增）区间为，由于，有，且，又，故，所以，即函数极（小）大值点右（左）偏；（2）证明略.左快右慢（极值点左偏） 左慢右快（极值点右偏）左快右慢（极值点左偏） 左慢右快（极值点右偏）二、运用判定定理判定极值点偏移的方法1、方法概述：（1）求出函数的极值点；（2）构造一元差函数；（3）确定函数的单
2、调性；（4）结合，判断的符号，从而确定、的大小关系.口诀：极值偏离对称轴，构造函数觅行踪；四个步骤环相扣，两次单调紧跟随.2、抽化模型答题模板：若已知函数满足，为函数的极值点，求证：.（1）讨论函数的单调性并求出的极值点； 假设此处在上单调递减，在上单调递增.来源:Z,xx,k.Com来源:学科网（2）构造； 注：此处根据题意需要还可以构造成的形式.来源:Zxxk.Com（3）通过求导讨论的单调性，判断出在某段区间上的正负，并得出与的大小关系；假设此处在上单调递增，那么我们便可得出，从而得到：时，.（4）不妨设，通过的单调性，与的大小关系得出结论；接上述情况，由于时，且，故，又因为，且在上单调
3、递减，从而得到，从而得证.（5）若要证明，还需进一步讨论与的大小，得出所在的单调区间，从而得出该处函数导数值的正负，从而结论得证.此处只需继续证明：因为，故，由于在上单调递减，故.学科*网【说明】（1）此类试题由于思路固定，所以通常情况下求导比较复杂，计算时须细心；（2）此类题目若试题难度较低，会分解为三问，前两问分别求的单调性、极值点，证明与（或与）的大小关系；若试题难度较大，则直接给出形如或的结论，让你给予证明，此时自己应主动把该小问分解为三问逐步解题.来源:Z。xx。k.Com三、新题展示【2019湖南郴州二中月考】已知函数，(1)若，求函数的单调区间；(2)设(i)若函数有极值，求实数
4、的取值范围；(ii)若()，求证：【答案】（1）见解析；（2）见解析 (2)(i) =，定义域为(0，+)，当时，函数在(0，+)上为单调递增函数，不存在极值当时，令，得，所以，易证在上为增函数，在上为减函数，所以当时，取得极大值所以若函数有极值，实数的取值范围是因为，所以在上为减函数，所以在上为增函数，所以，即，故成立【2019江西赣州十四县（市)期中联考】已知函数(为常数)，曲线在与轴的交点A处的切线与轴平行(1)求的值及函数的单调区间；(2)若存在不相等的实数使成立，试比较与的大小 【答案】（1）a=2,在区间(，ln 2)上单调递减，在(ln 2，)上单调递增（2）x1x22ln 2
5、(2)证明：设xln 2，所以2ln 2xln 2，(2ln 2x)e(2ln 2x)2(2ln 2x)12x4ln 21令g(x) (x)(2ln 2x)ex4x4ln 2(xln 2)，所以g(x)ex4ex40，当且仅当xln 2时，等号成立，学科&网所以g(x)(x)(2ln 2x)在(ln 2，)上单调递增 又g(ln 2)0，所以当xln 2时，g(x)(x)(2ln 2x)g(ln 2)0，即(x)(2ln 2x)，不妨设x1ln 2x2，所以(x2)(2ln 2x2)，又因为(x1)(x2)，所以(x1)(2ln 2x2)， 由于x2ln 2，所以2ln 2x2ln 2，因为x
6、1ln 2，由(1)知函数y(x)在区间(，ln 2)上单调递减，所以x12ln 2x2，即x1x22ln 2学科#网四、对点详析，利器显锋芒已知函数.(1)求函数的单调区间和极值；(2)若，且，证明：.，在上单调递增，. 函数与直线交于、两点.证明：. 已知函数，若，且，证明：.【解析】由函数单调性可知：若，则必有，。所以，学科#网而，令，则所以函数在为减函数，所以，所以即，所以，所以.已知函数有两个零点.设是的两个零点，证明：.五、招式演练已知函数，其中为自然对数的底数，是的导函数.（）求的极值；（）若，证明：当，且时， .【答案】(1) 当时， 无极值; 当时, 有极小值;(2)详见解析
7、. 学科&网【解析】试题分析：（）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；（）求出函数f（x）的导数，设函数F（x）=f（x）f（x），求出函数的导数，根据函数的单调性证明即可试题解析：（）的定义域为， 当时， 在时成立 在上单调递增， 无极值.当时， 解得学科&网由 得；由 得来源:学。科。网所以在上单调递减，在上单调递增，故有极小值.（）当时， 的定义域为， ，由，解得.当变化时， ， 变化情况如下表：00+单调递减极小值单调递增，且，则（不妨设）来源:学科网ZXXK已知函数，其中（1）若函数有两个零点，求的取值范围；来源:学科网ZXXK（2）若函数有极大值为，且方程的两根为，且，证明： .【答案】（1）;（2）见解析. 学科&网（1）当时， 函数在上单调递增，不可能有两个零点（2）当时， 0-极大值的极大值为，由得；因为，所以在必存在一个零点；显然当时， ，所以在上必存在一个零点；来源:Zxxk.来源:Zxxk.Com来源:学,科,网Z,X,X,K
