1、2018-2019学年广东省广州市海珠区高一（下）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题所给的四个选项中，只有一个是正确的1（5分）下列两个变量之间的关系不是函数关系的是（）A出租车车费与出租车行驶的里程B商品房销售总价与商品房建筑面积C铁块的体积与铁块的质量D人的身高与体重2（5分）在某次测量中得到A样本数据如下：43，50，45，55，60，若B样本数据恰好是A样本每个数都增加5得到，则A、B两样本的下列数字特征对应相同的是（）A众数B中位数C方差D平均数3（5分）如图的茎叶图记录了甲、乙两组各5名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）已知甲组数据的中
2、位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x、y的值分别为（）A2，5B5，5C5，8D8，84（5分）某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分为6组：40，50），50，60），60，70），70，80），80，90），90，100）加以统计，得到如图所示的频率分布直方图，已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为（）A588B480C450D1205（5分）设，是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且l，m，（）A若l，则B若，则lmC若l，则D若，则lm6（5分）设ABC的内角A，B，C所对边的长分别a，b，c，若b+c2a，3
3、sinA5sinB，则角C（）ABCD7（5分）若直线xy+10与圆（xa）2+y22有公共点，则实数a取值范围是（）A3，1B1，3C3，1D（，31，+）8（5分）已知直线l：x+ay10（aR）是圆C：x2+y24x2y+10的对称轴，过点A（4，a）作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|（）A2B4C2D69（5分）在三棱锥ABCD中，已知所有棱长均为2，E是AB的中点，则异面直线CE与BD所成角的余弦值为（）ABCD10（5分）已知圆C：（x3）2+（y4）21和两点A（m，0），B（m，0）（m0），若圆C上存在点P，使得APB90，则m的最大值为（）A7B6C5D411（5分）正
4、四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（）AB16C9D12（5分）已知点A，B，C在圆x2+y21上运动，且ABC90，若点P的坐标为（2，0），则的最大值为（）A9B8C7D6二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.把答案填在答题卡上.13（5分）以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体的侧面积是 14（5分）若直线l过点（3，4），且平行于过点M（1，2）和N（1，5）的直线，则直线l的方程为 15（5分）如图，O的半径为1，六边形ABCDEF是O的内接正六边形，从A、B、C、D、E、F六点中任意取两点
5、，并连接成线段，则线段的长为的概率是 16（5分）如图，一热气球在海拔60m的高度飞行，在空中A处测得前下方河流两侧河岸B，C的俯角分别为75，30，则河流的宽度BC等于 三、解答题：本大题共6小题，满分70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17（10分）某制造商3月生产了一批乒乓球，随机抽取100个进行检查，测得每个球的直径（单位：mm），将数据进行分组，得到如下频率分布表：分组频数频率39.5，39.7）1039.7，39.9）2039.9，40.1）5040.1，40.320合计100（）补充完成频率分布表，并完成频率分布直方图；（）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值（例如
6、区间39.9，40.1）的中点值是40.0）作为代表据此估计这批乒乓球直径的平均值（精确到0.1）18（12分）某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查（1）求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目；（2）若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析（）列出所有可能的抽取结果；（）求抽取的2所学校均为小学的概率19（12分）已知圆C经过M1（1，0），M2（3，0），M3（0，1）三点（1）求圆C的标准方程；（2）若过点N的直线l被圆C截得的弦AB的长为4，求直线l的倾斜角20（12分）在ABC中，设内角A，B，C的对边
7、分别为a，b，c，已知（1）求的值；（2）若，b2，求ABC的面积S21（12分）如图，三棱柱ABCA1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，B1C的中点为O，且AO平面BB1C1C（1）证明：B1CAB；（2）若ACAB1，CBB160，BC1，试画出二面角ABCB1的平面角，并求它的余弦值22（12分）已知圆O：x2+y21和点A（2，0），C（2，0），（1）若点P是圆O上任意一点，求；（2）过圆O上任意一点M与点B的直线，交圆O于另一点N，连接MC，NC，求证：MCBNCB2018-2019学年广东省广州市海珠区高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题
8、5分，共60分，在每小题所给的四个选项中，只有一个是正确的1（5分）下列两个变量之间的关系不是函数关系的是（）A出租车车费与出租车行驶的里程B商品房销售总价与商品房建筑面积C铁块的体积与铁块的质量D人的身高与体重【分析】根据函数概念中自变量与因变量的对应关系发现ABC中都符合函数定义，从而只能选D【解答】解：A车费与行程是函数关系；B商品总价与建筑面积是函数关系；C体积与质量是函数关系；D身高与体重不是函数关系；故选：D【点评】本题考查对函数定义的理解：任给自变量都有唯一因变量与之对应2（5分）在某次测量中得到A样本数据如下：43，50，45，55，60，若B样本数据恰好是A样本每个数都增加5
9、得到，则A、B两样本的下列数字特征对应相同的是（）A众数B中位数C方差D平均数【分析】根据数据的数字特征，即可得出相等的是方差【解答】解：A样本数据为：43，50，45，55，60；若B样本数据恰好是A样本每个数都增加5得到，则A、B两样本的众数相差5，中位数相差5，方差相等，平均数相差5故选：C【点评】本题考查了一组数据的数字特征应用问题，是基础题3（5分）如图的茎叶图记录了甲、乙两组各5名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x、y的值分别为（）A2，5B5，5C5，8D8，8【分析】根据茎叶图与中位数、平均数的定义，即可求出x
10、、y的值【解答】解：根据茎叶图中的数据，得；甲组数据是9，12，10+x，24，27；它的中位数为l5，x5；乙组数据的平均数为9+15+（10+y）+18+2416.8，解得y8；所以x、y的值分别是5和8故选：C【点评】本题考查了利用茎叶图中的数据求中位数和平均数的应用问题，是基础题目4（5分）某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分为6组：40，50），50，60），60，70），70，80），80，90），90，100）加以统计，得到如图所示的频率分布直方图，已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为（）A588B480C450D
11、120【分析】根据频率分布直方图，成绩不低于60分的频率，然后根据频数频率总数可求出所求【解答】解：根据频率分布直方图，成绩不低于60（分）的频率为110（0.005+0.015）0.8，可估计该该模块测试成绩不少于60分的学生人数为6000.8480（人）故选：B【点评】本题主要考查了频率、频数、统计和概率等知识，属于基础题5（5分）设，是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且l，m，（）A若l，则B若，则lmC若l，则D若，则lm【分析】A根据线面垂直的判定定理得出A正确；B根据面面垂直的性质判断B错误；C根据面面平行的判断定理得出C错误；D根据面面平行的性质判断D错误【解答】解：对于
12、A，l，且l，根据线面垂直的判定定理，得，A正确；对于B，当，l，m时，l与m可能平行，也可能垂直，B错误；对于C，当l，且l时，与可能平行，也可能相交，C错误；对于D，当，且l，m时，l与m可能平行，也可能异面，D错误故选：A【点评】本题考查了空间中的平行与垂直关系的应用问题，也考查了数学符号语言的应用问题，是基础题目6（5分）设ABC的内角A，B，C所对边的长分别a，b，c，若b+c2a，3sinA5sinB，则角C（）ABCD【分析】3sinA5sinB，由正弦定理可得：3a5b，可得a，又b+c2a，可得c，不妨取b3，则a5，c7再利用余弦定理即可得出【解答】解：3sinA5sinB
13、，由正弦定理可得：3a5b，a，又b+c2a，可得c2ab，不妨取b3，则a5，c7cosC，C（0，），故选：D【点评】本题考查了正弦定理余弦定理解三角形，考查了推理能力与计算能力，属于中档题7（5分）若直线xy+10与圆（xa）2+y22有公共点，则实数a取值范围是（）A3，1B1，3C3，1D（，31，+）【分析】根据直线xy+10与圆（xa）2+y22有公共点，可得圆心到直线xy+10的距离不大于半径，从而可得不等式，即可求得实数a取值范围【解答】解：直线xy+10与圆（xa）2+y22有公共点圆心到直线xy+10的距离为|a+1|23a1故选：C【点评】本题考查直线与圆的位置关系，解
14、题的关键是利用圆心到直线的距离不大于半径，建立不等式8（5分）已知直线l：x+ay10（aR）是圆C：x2+y24x2y+10的对称轴，过点A（4，a）作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|（）A2B4C2D6【分析】求出圆的标准方程可得圆心和半径，由直线l：x+ay10经过圆C的圆心（2，1），求得a的值，可得点A的坐标，再利用直线和圆相切的性质求得|AB|的值【解答】解：圆C：x2+y24x2y+10，即（x2）2+（y1）2 4，表示以C（2，1）为圆心、半径等于2的圆由题意可得，直线l：x+ay10经过圆C的圆心（2，1），故有2+a10，a1，点A（4，1）AC2，CBR2，切线的长
15、|AB|6故选：D【点评】本题主要考查圆的切线长的求法，解题时要注意圆的标准方程，直线和圆相切的性质的合理运用，属于基础题9（5分）在三棱锥ABCD中，已知所有棱长均为2，E是AB的中点，则异面直线CE与BD所成角的余弦值为（）ABCD【分析】由异面直线所成角的求法得：CEF为所求，又ECFC，EF1，则cosCEF，得解【解答】解：取AD的中点F，连接EF，CF，则CEF为所求，又ECFC，EF1，则cosCEF，故选：A【点评】本题考查了异面直线所成角的求法，属中档题10（5分）已知圆C：（x3）2+（y4）21和两点A（m，0），B（m，0）（m0），若圆C上存在点P，使得APB90，则
16、m的最大值为（）A7B6C5D4【分析】根据圆心C到O（0，0）的距离为5，可得圆C上的点到点O的距离的最大值为6再由APB90，可得POABm，可得m6，从而得到答案【解答】解：圆C：（x3）2+（y4）21的圆心C（3，4），半径为1，圆心C到O（0，0）的距离为5，圆C上的点到点O的距离的最大值为6再由APB90可得，以AB为直径的圆和圆C有交点，可得POABm，故有m6，故选：B【点评】本题主要直线和圆的位置关系，求得圆C上的点到点O的距离的最大值为6，是解题的关键，属于中档题11（5分）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（）AB16C9D【
17、分析】正四棱锥PABCD的外接球的球心在它的高PO1上，记为O，求出PO1，OO1，解出球的半径，求出球的表面积【解答】解：设球的半径为R，则棱锥的高为4，底面边长为2，R2（4R）2+（）2，R，球的表面积为4（）2故选：A【点评】本题考查球的表面积，球的内接几何体问题，考查计算能力，是基础题12（5分）已知点A，B，C在圆x2+y21上运动，且ABC90，若点P的坐标为（2，0），则的最大值为（）A9B8C7D6【分析】根据向量的数量积以及模的定义可得【解答】解：AC为RtABC的斜边，则AC为圆x2+y21的一条直径，故AC必经过原点，则，即，又，所以，当且仅当POB180时取“等号”，
18、故的最大值为7故选：C【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，属中档题二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.把答案填在答题卡上.13（5分）以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体的侧面积是2【分析】根据题意知所得旋转体是圆柱体，根据圆柱的底面圆半径和母线长，求出圆柱的侧面积【解答】解：根据题意知所得旋转体是圆柱体，且圆柱的底面圆半径为1，母线长为1，则圆柱的侧面积是S侧面积2112故答案为：2【点评】本题考查了圆柱体的结构特征与应用问题，是基础题14（5分）若直线l过点（3，4），且平行于过点M（1，2）和N（1，5）的直线，则直线l的方程为7
19、x2y130【分析】用直线的斜率公式求出斜率，再用点斜式求出直线的方程【解答】解：过点M（1，2）和N（1，5）的直线的斜率为 ，故过点（3，4），且平行于过点M（1，2）和N（1，5）的直线方程为y4（x3），即7x2y130，故答案为：7x2y130【点评】本题主要考查直线的斜率公式，用点斜式求直线的方程，属于基础题15（5分）如图，O的半径为1，六边形ABCDEF是O的内接正六边形，从A、B、C、D、E、F六点中任意取两点，并连接成线段，则线段的长为的概率是【分析】由古典概型及其概率计算公式得：线段的长为的概率是，得解【解答】解：由题意有从A、B、C、D、E、F六点中任意取两点，并连接成
20、线段，共有15条线段，则线段的长为的共有6条线段，即线段的长为的概率是，故答案为：【点评】本题考查了古典概型及其概率计算公式，属基础题16（5分）如图，一热气球在海拔60m的高度飞行，在空中A处测得前下方河流两侧河岸B，C的俯角分别为75，30，则河流的宽度BC等于【分析】根据条件由正弦定理可得BC，代入数值求解即可【解答】解：在ABC中，由ACB30得AC120又BAC753045，ABC105，由正弦定理得BC，河流的宽度BC等于故答案为：【点评】本题考查了正弦定理的应用，考查了计算能了和数形结合思想，属基础题三、解答题：本大题共6小题，满分70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17
21、（10分）某制造商3月生产了一批乒乓球，随机抽取100个进行检查，测得每个球的直径（单位：mm），将数据进行分组，得到如下频率分布表：分组频数频率39.5，39.7）1039.7，39.9）2039.9，40.1）5040.1，40.320合计100（）补充完成频率分布表，并完成频率分布直方图；（）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值（例如区间39.9，40.1）的中点值是40.0）作为代表据此估计这批乒乓球直径的平均值（精确到0.1）【分析】（1）由已知条件能求出频率分布表和频率分布直方图（2）利用频率分布直方图能求出这批乒乓球直径的平均值【解答】解：（1）频率分布表和频率分布直方图如
22、下：（6分）（2）这批乒乓球直径的平均值约为：39.60.10+39.80.20+40.00.50+40.20.2039.9640.00（mm）（12分）【点评】本题考查频率分布表和频率分布直方图的作法，考查这批乒乓球直径的平均值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意频率分布直方图的合理运用18（12分）某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查（1）求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目；（2）若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析（）列出所有可能的抽取结果；（）求抽取的2所学校均为小学的概率【分析】（1）利用
23、分层抽样的意义，先确定抽样比，在确定每层中抽取的学校数目；（2）（i）从抽取的6所学校中随机抽取2所学校，所有结果共有15种，按规律列举即可；（ii）先列举抽取结果两所学校均为小学的基本事件数，再利用古典概型概率的计算公式即可得结果【解答】解：（I）抽样比为，故应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目分别为213，142，71（II）（i）在抽取到的6所学校中，3所小学分别记为1、2、3，两所中学分别记为a、b，大学记为A则抽取2所学校的所有可能结果为1，2，1，3，1，a，1，b，1，A，2，3，2，a，2，b，2，A，3，a，3，b，3，A，a，b，a，A，b，A，共15种（ii）设B抽取
24、的2所学校均为小学，事件B的所有可能结果为1，2，1，3，2，3共3种，P（B）【点评】本题主要考查了统计中分层抽样的意义，古典概型概率的计算方法，列举法计数的方法，属基础题19（12分）已知圆C经过M1（1，0），M2（3，0），M3（0，1）三点（1）求圆C的标准方程；（2）若过点N的直线l被圆C截得的弦AB的长为4，求直线l的倾斜角【分析】（1）设出圆的一般方程，然后代入三个点的坐标，联立方程组可解得；（2）讨论直线l的斜率是否存在，根据点到直线的距离和勾股定理列式可得斜率和倾斜角【解答】解（1）解法一：设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F0，则即圆C为x2+y22x+2y30，圆C
25、的标准方程为（x1）2+（y+1）25；解法二：则AB中垂线为x1，AD中垂线为yx，圆心C（x，y）满足C（1，1），半径，圆C的标准方程为（x1）2+（y+1）25（2）当斜率不存在时，即直线l：x2到圆心的距离为1，也满足题意，此时直线l的倾斜角为90，当斜率存在时，设直线l的方程为，由弦长为4，可得圆心C（1，1）到直线l的距离为，此时直线l的倾斜角为30，综上所述，直线l的倾斜角为30或90【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，属中档题20（12分）在ABC中，设内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知（1）求的值；（2）若，b2，求ABC的面积S【分析】（1）从题目给出的式子入手
26、，利用正弦定理，将边化成角，然后运用三角恒等变换，找出角之间的关系；（2）运用余弦定理，找出求面积所缺元素，然后加以计算【解答】解：（1）由正弦定理得 ，则 ，所以 ，即sinB（cosA2cosC）cosB（2sinCsinA），化简可得sin（A+B）2sin（B+C）又A+B+C，所以sinC2sinA所以，即（2）由（1）知c2a由余弦定理b2a2+c22accosB及，b2，得，解得a1，因此c2因为，且0B所以因此【点评】此题目主要考查正弦定理，余弦定理，面积的运算；还运用到三角恒等变换属三角函数中综合性题目21（12分）如图，三棱柱ABCA1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，B
27、1C的中点为O，且AO平面BB1C1C（1）证明：B1CAB；（2）若ACAB1，CBB160，BC1，试画出二面角ABCB1的平面角，并求它的余弦值【分析】（1）连接BC1只需证明B1C平面ABO即可得B1CAB（2）作ODBC，垂足为D，连结AD可得ADO是二面角ABCB1的平面角 在RtAOD中，即可求解【解答】解：（1）连接BC1因为侧面BB1C1C为菱形，所以B1CBC1，且B1C与BC1相交于O点因为AO平面BB1C1C，B1C平面BB1C1C，所以B1CAO又BC1AOO，所以B1C平面ABO因为AB平面ABO，所以B1CAB（2）作ODBC，垂足为D，连结AD因为BCOA，BC
28、OD，OAODO，所以BC平面AOD又AD平面AOD，所以BCAD所以ADO是二面角ABCB1的平面角因为CBB160，所以CBB1为等边三角形，又BC1，所以，所以因为ACAB1，所以所以在RtAOD中，二面角ABCB1的余弦值为【点评】本题考查了异面直线垂直的证明，二面角的求解，属于中档题22（12分）已知圆O：x2+y21和点A（2，0），C（2，0），（1）若点P是圆O上任意一点，求；（2）过圆O上任意一点M与点B的直线，交圆O于另一点N，连接MC，NC，求证：MCBNCB【分析】（1）设P（x，y），根据两点间的距离公式列式可得；（2）讨论倾斜角是否为90，设出直线方程，与圆O联立，利用韦达定理以及斜率公式变形可得【解答】解（1）设P（x，y），因为点P是圆O上任意一点，所以x2+y21，所以（2）当直线MN的倾斜角为900时，因为点M、N关于x轴对称，所以MCBNCB当直线MN的倾斜角不等于900时，设直线MN的斜率为k，则直线MN的方程为，【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，属中档题
