1、2017-2018学年天津一中高一（上）期末数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1（3分）若tan3，则的值等于（）A2B3C4D62（3分）设函数f（x）sin2（x+）cos2（x+）（xR），则函数f（x）是（）A最小正周期为的奇函数B最小正周期为的偶函数C最小正周期为的奇函数D最小正周期为的偶函数3（3分）设函数f（x）sin（x+）+cos（x+）的最小正周期为，且f（x）f（x），则（）Af（x）在单调递减Bf（x）在（，）单调递减Cf（x）在（0，）单调递增Df（x）在（，）单调递增4（3分）设函数f（x）cosx（0），将yf（x）的图象向右平移个单位长度后
2、，所得的图象与原图象重合，则的最小值等于（）AB3C6D95（3分）在ABC中，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是（）Ab10，A45，C70Ba60，c48，B60Ca7，b5，A80Da14，b16，A456（3分）在ABC中，sin2Asin2B+sin2CsinBsinC，则A的取值范围是（）A（0，B，）C（0，D，）7（3分）函数向左平移个单位后是奇函数，则函数f（x）在上的最小值为（）ABCD8（3分）已知函数ysinx+acosx的图象关于对称，则函数yasinx+cosx的图象的一条对称轴是（）AxBxCxDx9（3分）设函数f（x）4sin（2x+1）x，则在下列区间中
3、函数f（x）不存在零点的是（）A4，2B2，0C0，2D2，410（3分）已知函数f（x）2x+log2x，g（x）2x+log2x，h（x）2xlog2x1的零点分别为a，b，c，则a，b，c的大小关系为（）AbacBcbaCcabDabc二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）11（4分）已知alog54b（log53）2，clog45，则a，b，c从小到大的关系是 12（4分）已知（，），sin，则tan2 13（4分）已知tan（+），tan（）1，则tan（） 14（4分）在ABC中的内角A、B、C所对的边a、b、c，a4，b5，c6，则 15（4分）在ABC中，内角A，B，C
4、所对的边分别为a，b，c已知ABC的面积为3，bc2，cosA，则a的值为 16（4分）在平面四边形ABCD中，ABC75BC2，则AB的取值范围是 三、解答题（共4小题，满分46分）17（10分）已知函数f（x）2sinxcosx+2cos2x1（1）求函数f（x）的最小正周期及在区间0，上的最大值和最小值；（2）若f（x0），x0，求cos2x0的值18（10分）在ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA（2b+c）sinB+（2c+b）sinC（）求A的大小；（）求sinB+sinC的最大值19（13分）已知函数f（x）（1+）sin2x+msin（x+）sin（x
5、）（1）当m0时，求f（x）在区间，上的取值范围；（2）当tan2时，f（），求m的值20（13分）在ABC中，sin（AB）sinCsinB，D是边BC的一个三等分点（靠近点B），记（1）求A的大小；（2）当t取最大值时，求tanACD的值2017-2018学年天津一中高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1（3分）若tan3，则的值等于（）A2B3C4D6【分析】利用两角和公式把原式的分母展开后化简，把tan的值代入即可【解答】解：2tan6故选：D【点评】本题主要考查了三角函数的恒等变换及化简求值考查了基础知识的运用2（3分）设函数f（x
6、）sin2（x+）cos2（x+）（xR），则函数f（x）是（）A最小正周期为的奇函数B最小正周期为的偶函数C最小正周期为的奇函数D最小正周期为的偶函数【分析】利用倍角公式及诱导公式，化简函数的解析式，进而求出其周期，并判断其奇偶性，可得答案【解答】解：f（x）sin2（x+）cos2（x+）cos2（x+）cos（2x+）sin2x，2，函数f（x）的最小正周期T，又f（x）sin（2x）sin2xf（x），故f（x）为奇函数故函数f（x）是最小正周期为的奇函数故选：A【点评】本题考查的知识点是三角函数中的恒等变换，三角函数的周期性，三角函数的奇偶性，其中利用倍角公式及诱导公式，化简函数的解
7、析式，是解答本题的关键3（3分）设函数f（x）sin（x+）+cos（x+）的最小正周期为，且f（x）f（x），则（）Af（x）在单调递减Bf（x）在（，）单调递减Cf（x）在（0，）单调递增Df（x）在（，）单调递增【分析】利用辅助角公式将函数表达式进行化简，根据周期与的关系确定出的值，根据函数的偶函数性质确定出的值，再对各个选项进行考查筛选【解答】解：由于f（x）sin（x+）+cos（x+），由于该函数的最小正周期为T，得出2，又根据f（x）f（x），得+k（kZ），以及|，得出因此，f（x）cos2x，若x，则2x（0，），从而f（x）在单调递减，若x（，），则2x（，），该区间不为余
8、弦函数的单调区间，故B，C，D都错，A正确故选：A【点评】本题考查三角函数解析式的确定问题，考查辅助角公式的运用，考查三角恒等变换公式的逆用等问题，考查学生分析问题解决问题的能力和意识，考查学生的整体思想和余弦曲线的认识和把握属于三角中的基本题型4（3分）设函数f（x）cosx（0），将yf（x）的图象向右平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则的最小值等于（）AB3C6D9【分析】函数图象平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，说明函数平移整数个周期，容易得到结果【解答】解：f（x）的周期T，函数图象平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，说明函数平移整数个周期，所以，kZ令k1，可
9、得6故选：C【点评】本题是基础题，考查三角函数的图象的平移，三角函数的周期定义的理解，考查技术能力，常考题型5（3分）在ABC中，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是（）Ab10，A45，C70Ba60，c48，B60Ca7，b5，A80Da14，b16，A45【分析】A、由A和C的度数，利用三角形内角和定理求出B的度数，再由b的值，利用正弦定理求出a与c，得到此时三角形只有一解，不合题意；B、由a，c及cosB的值，利用余弦定理列出关系式，得到b2小于0，无解，此时三角形无解，不合题意；C、由a，b及sinA的值，利用正弦定理求出sinB的值，由a大于b得到A大于B，可得出此时B只有一解，
10、不合题意；D、由a，b及sinA的值，利用正弦定理求出sinB的值，由a小于b得到A小于B，可得出此时B有两解，符合题意【解答】解：A、A45，C70，B65，又b10，由正弦定理得：a，c，此时三角形只有一解，不合题意；B、a60，c48，B60，由余弦定理得：b2a2+c22accosB3600+2304288030240，此时三角形有一解，不合题意；C、a7，b5，A80，由正弦定理得：sinB，又ba，BA80，B只有一解，不合题意；D、a14，b16，A45，由正弦定理得：sinB，ab，45AB，B有两解，符合题意，故选：D【点评】此题考查了正弦、余弦定理，三角形的边角关系，以及三
11、角形的内角和定理，熟练掌握正弦、余弦定理是解本题的关键6（3分）在ABC中，sin2Asin2B+sin2CsinBsinC，则A的取值范围是（）A（0，B，）C（0，D，）【分析】先利用正弦定理把不等式中正弦的值转化成边，进而代入到余弦定理公式中求得cosA的范围，进而求得A的范围【解答】解：由正弦定理可知a2RsinA，b2RsinB，c2RsinC，sin2Asin2B+sin2CsinBsinC，a2b2+c2bc，bcb2+c2a2cosAAA0A的取值范围是（0，故选：C【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用作为解三角形中常用的两个定理，考生应能熟练记忆7（3分）函数向左平
12、移个单位后是奇函数，则函数f（x）在上的最小值为（）ABCD【分析】根据图象变换规律，把函数ysin（2x+）的图象向左平移个单位得到函数ysin（2（x+）的图象，要使所得到的图象对应的函数为奇函数，求得的值，然后函数f（x）在上的最小值【解答】解：把函数ysin（2x+）的图象向左平移个单位得到函数ysin（2x+）的图象，因为函数ysin（2x+）为奇函数，故+k，因为，故的最小值是所以函数为ysin（2x）x，所以2x，x0时，函数取得最小值为故选：A【点评】本题考查了三角函数的图象变换以及三角函数的奇偶性，三角函数的值域的应用，属于中档题8（3分）已知函数ysinx+acosx的图象
13、关于对称，则函数yasinx+cosx的图象的一条对称轴是（）AxBxCxDx【分析】函数ysinx+acosx变为ysin（x+），tana又图象关于对称，+k+，kz，可求得k，由此可求得atantan（k），将其代入函数yasinx+cosx化简后求对称轴即可【解答】解：ysinx+acosx变为ysin（x+），（令tana）又图象关于对称，+k+，kz，可求得k，由此可求得atantan（k），函数ysinx+cosxsin（x+），（tan）其对称轴方程是x+k+，kz，即xk+又tan，故k1，k1z故函数yasinx+cosx的图象的对称轴方程为x（kk1）+（kk1）+，kk
14、1z，当kk11时，对称轴方程为x故选：A【点评】本题考查三角恒等变形以及正弦类函数的对称性质，是三角函数中综合性比较强的题目，比较全面地考查了三角函数的图象与性质9（3分）设函数f（x）4sin（2x+1）x，则在下列区间中函数f（x）不存在零点的是（）A4，2B2，0C0，2D2，4【分析】将函数f（x）的零点转化为函数g（x）4sin（2x+1）与h（x）x的交点，在同一坐标系中画出g（x）4sin（2x+1）与h（x）x的图象，数形结合对各个区间进行讨论，即可得到答案【解答】解：在同一坐标系中画出g（x）4sin（2x+1）与h（x）x的图象如下图示：由图可知g（x）4sin（2x+1
15、）与h（x）x的图象在区间4，2上无交点，由图可知函数f（x）4sin（2x+1）x在区间4，2上没有零点故选：A【点评】本题主要考查了三角函数图象的平移和函数与方程的相关知识点，突出了对转化思想和数形结合思想的考查，对能力要求较高，属较难题函数F（x）f（x）g（x）有两个零点，即函数f（x）的图象与函数g（x）的图形有两个交点10（3分）已知函数f（x）2x+log2x，g（x）2x+log2x，h（x）2xlog2x1的零点分别为a，b，c，则a，b，c的大小关系为（）AbacBcbaCcabDabc【分析】由题意画出图形，数形结合得答案【解答】解：f（x）2x+log2x0，可得log
16、2x2x，g（x）2x+log2x0，可得log2x2x，h（x）2xlog2x10，可得log2x2x，函数f（x），g（x），h（x）的零点分别为a，b，c，作出函数ylog2x，y2x，y2x，y2x的图象如图，由图可知：abc故选：D【点评】本题考查函数零点的判定，考查数形结合的解题思想方法，是中档题二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）11（4分）已知alog54b（log53）2，clog45，则a，b，c从小到大的关系是bac【分析】根据对数的性质进行估算即可【解答】解：log451，0log541，0log531，log54log53（log53）2，即bac，故答案为
17、：bac【点评】本题主要考查对数值的大小比较，根据对数的性质进行估算是解决本题的关键12（4分）已知（，），sin，则tan2【分析】利用题目提供的的范围和正弦值，可求得余弦值从而求得正切值，然后利用二倍角的正切求得tan2【解答】解：由（，），sin，得cos，tantan2故答案为：【点评】本题考查了二倍角的正切与同角三角函数间的基本关系，是个基础题13（4分）已知tan（+），tan（）1，则tan（）5【分析】由题意利用两角差的正切公式，求得tan（）的值【解答】解：已知tan（+），tan（）1，tan（）5，故答案为：5【点评】本题主要考查两角差的正切公式的应用，属于基础题14（4
18、分）在ABC中的内角A、B、C所对的边a、b、c，a4，b5，c6，则1【分析】由已知及正弦定理，余弦定理，二倍角的正弦函数公式化简所求即可计算得解【解答】解：a4，b5，c6，1故答案为：1【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，二倍角的正弦函数公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题15（4分）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c已知ABC的面积为3，bc2，cosA，则a的值为8【分析】由cosA，A（0，），可得sinA利用SABC，化为bc24，又bc2，解得b，c由余弦定理可得：a2b2+c22bccosA即可得出【解答】解：A（0，），sinA
19、SABCbc，化为bc24，又bc2，解得b6，c4由余弦定理可得：a2b2+c22bccosA36+164864解得a8故答案为：8【点评】本题考查了余弦定理、同角三角函数基本关系式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题16（4分）在平面四边形ABCD中，ABC75BC2，则AB的取值范围是（，+）【分析】如图所示，延长BA，CD交于点E，设ADx，AEx，DEx，CDm，求出x+m+，即可求出AB的取值范围【解答】解：方法一：如图所示，延长BA，CD交于点E，则在ADE中，DAE105，ADE45，E30，设ADx，AEx，DEx，CDm，BC2，（x+m）sin151
20、，x+m+，0x4，而ABx+mx+x，AB的取值范围是（，+）故答案为：（，+）方法二：如下图，作出底边BC2的等腰三角形EBC，BC75，倾斜角为150的直线在平面内移动，分别交EB、EC于A、D，则四边形ABCD即为满足题意的四边形；当直线移动时，运用极限思想，直线接近点C时，AB趋近最小，为；直线接近点E时，AB趋近最大值，为+；故答案为：（，+）【点评】本题考查求AB的取值范围，考查三角形中的几何计算，考查学生的计算能力，属于中档题三、解答题（共4小题，满分46分）17（10分）已知函数f（x）2sinxcosx+2cos2x1（1）求函数f（x）的最小正周期及在区间0，上的最大值和
21、最小值；（2）若f（x0），x0，求cos2x0的值【分析】（1）直接利用三角函数关系是的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的最值（2）利用整体的角的恒等变换求出结果【解答】解：（1）函数f（x）2sinxcosx+2cos2x1，2（），所以函数的最小正周期为：由于x0，则：，所以函数的最大值2，函数的最小值1（2）由于f（x），所以：，则：，+，【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，正弦型函数的性质的应用，角的恒等变换的应用18（10分）在ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA（2b+c）sinB+（2c+b）sinC（）求A
22、的大小；（）求sinB+sinC的最大值【分析】（）根据正弦定理，设，把sinA，sinB，sinC代入2asinA（2b+c）sinB+（2c+b）sinC求出a2b2+c2+bc再与余弦定理联立方程，可求出cosA的值，进而求出A的值（）根据（）中A的值，可知c60B，化简得sin（60+B）根据三角函数的性质，得出最大值【解答】解：（）设则a2RsinA，b2RsinB，c2RsinC2asinA（2b+c）sinB+（2c+b）sinC方程两边同乘以2R2a2（2b+c）b+（2c+b）c整理得a2b2+c2+bc由余弦定理得a2b2+c22bccosA故cosA，A120（）由（）得
23、：sinB+sinCsinB+sin（60B）cosB+sinBsin（60+B）故当B30时，sinB+sinC取得最大值1【点评】本题主要考查了余弦函数的应用其主要用来解决三角形中边、角问题，故应熟练掌握19（13分）已知函数f（x）（1+）sin2x+msin（x+）sin（x）（1）当m0时，求f（x）在区间，上的取值范围；（2）当tan2时，f（），求m的值【分析】（1）当m0时，利用三角函数的恒等变换化简函数f（x）的解析式为 +sin（2x），再根据x的范围，利用正弦函数的定义域和值域，求得f（x）在区间，上的取值范围（2）由tana2时，f（a），利用同角三角函数的基本关系求得
24、 sin2a，cos2a化简tan（a） 等于 ，可得，由此解得m的值【解答】解：（1）当m0时，函数f（x）（1+）sin2xsin2xsin2x+sinxcosx+sin2x+sin（2x）x，02x，sin（2x）1，0f（x），故f（x）在区间，上的取值范围为0 ，（2）当tana2时，f（a），sin2a，cos2a再由f（a）（1+ ）sin2a+msin（a+）sin（a）sin2a+m（sin2acos2a ），可得，解得m2【点评】本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，正弦函数的定于域和值域，属于中档题20（13分）在ABC中，sin（AB）sinCsinB，D是边BC的一个三等分点（靠近点B），记（1）求A的大小；（2）当t取最大值时，求tanACD的值【分析】（1）直接利用已知条件，对三角函数的关系式进行恒等变换，进一步求出结果（2）利用（1）的结论，进一步利用已知条件和正弦定理建立联系，最后求出最值【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦定理的应用及函数的最值问题
