1、5.4 简单的三角恒等变换最新考纲 考情考向分析1.掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式，掌握正弦、余弦、正切二倍角的公式2.掌握简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明.三角恒等变换是三角变换的工具，主要考查利用两角和与差的三角函数公式、二倍角公式进行三角函数的化简与求值，重在考查化简、求值，公式的正用、逆用以及变式运用，可单独考查，也可与三角函数的图象和性质、向量等知识综合考查，加强转化与化归思想的应用意识题型选择、填空、解答均有可能出现，中低档难度.1两角和与差的余弦、正弦、正切公式cos( )cos cos sin sin (C( )cos( )cos cos sin sin (C
2、( )sin( )sin cos cos sin (S() )sin( )sin cos cos sin (S() )tan() (T( )tan tan 1 tan tan tan() (T( )tan tan 1 tan tan 2二倍角公式sin 22sin cos ；cos 2cos 2sin 22cos 2112sin 2；tan 2 .2tan 1 tan2概念方法微思考1诱导公式与两角和差的三角函数公式有何关系？提示 诱导公式可以看成和差公式中 k (kZ)时的特殊情形22怎样研究形如 f(x)asin xbcos x 函数的性质？提示 先根据辅助角公式 asin xbcos x
3、 sin(x)，将 f(x)化成 f(x)Asin(x)a2 b2k 的形式，再结合图象研究函数的性质题组一 思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打 “”或“”)(1)存在实数 ，使等式 sin()sin sin 成立( )(2)对任意角 都有 1sin 2.( )(sin 2 cos 2)(3)y3sin x 4cos x 的最大值是 7.( )(4)公式 tan( ) 可以变形为 tan tan tan( )(1tan tan )，且对任tan tan 1 tan tan 意角 ， 都成立 ( )题组二 教材改编2P127T2若 cos ， 是第三象限的角，则 sin 等于( )45
4、 ( 4)A B. C D.210 210 7210 7210答案 C解析 是第三象限角， sin ，1 cos235sin .( 4) 35 22 ( 45) 22 72103P131T5sin 347cos 148 sin 77cos 58 .答案 22解析 sin 347cos 148 sin 77cos 58sin(27077)cos(90 58) sin 77cos 58(cos 77)(sin 58) sin 77cos 58sin 58cos 77cos 58sin 77sin(58 77) sin 135 .224P146A 组 T4(2)tan 10tan 50 tan 10
5、tan 50 .3答案 3解析 tan 60tan(1050) ，tan 10 tan 501 tan 10tan 50tan 10tan 50tan 60(1tan 10tan 50) tan 10tan 50，3 3原式 tan 10tan 50 tan 10tan 50 .3 3 3 3题组三 易错自纠5. .sin 47 sin 17cos 30cos 17答案 12解析 原式sin30 17 sin 17cos 30cos 17sin 30cos 17 cos 30sin 17 sin 17cos 30cos 17 sin 30 .sin 30cos 17cos 17 126化简：
6、.cos 40cos 25 1 sin 40答案 2解析 原式cos 40cos 251 cos 50 .cos 40cos 25 2sin 25 cos 4022sin 50 27已知 ，且 sin ，则 tan 2 .(0，2) ( 4) 210答案 247解析 方法一 sin ，得 sin cos ，( 4) 210 15 ，平方得 2sin cos ，(0，2) 2425可求得 sin cos ，sin ，cos ，75 45 35tan ，tan 2 .43 2tan 1 tan2 247方法二 且 sin ，(0，2) ( 4) 210cos ，( 4) 7210tan ，tan
7、.( 4) 17 tan 11 tan 43故 tan 2 .2tan 1 tan2 2478化简： .2sin sin 2cos2 2答案 4sin 解析 4sin .2sin sin 2cos2 22sin 2sin cos 121 cos 4sin 1 cos 1 cos 第 1 课时 两角和与差的正弦、余弦和正切公式题型一 和差公式的直接应用1(2018嘉兴检测)sin 215cos 215的值为( )A. B. C D32 12 32 12答案 C解析 sin 215 cos215(cos 215sin 215)cos 30 ，故选 C.322已知 tan ，tan ，则 tan()
8、的值为 ( )( 6) 37 (6 ) 25A. B. C. D12941 129 141答案 D解析 tan ，tan ，( 6) 37 (6 ) 25tan()tan ( 6) (6 )tan( 6) tan(6 )1 tan( 6)tan(6 ) 1.37 251 37253已知 sin ， ， tan() ，则 tan()的值为( )35 (2，) 12A B. C. D211 211 112 112答案 A解析 ，cos ，tan ，(2，) 45 34又 tan ，12tan()tan tan 1 tan tan . 34 121 ( 12) ( 34) 2114计算 的值为 si
9、n 110sin 20cos2155 sin2155答案 12解析 sin 110sin 20cos2155 sin2155 sin 70sin 20cos 310 .cos 20sin 20cos 50 12sin 40sin 40 12思维升华 (1)使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征(2)使用公式求值， 应先求出相关角的函数值，再代入公式求值题型二 和差公式的灵活应用命题点 1 角的变换例 1 (1)设 ， 都是锐角，且 cos ，sin( ) ，则 cos .55 35答案 2525解析 依题意得 sin ，1 cos2255因为 sin() ，35所以 ，所以 c
10、os() .(2，) 45于是 cos cos( ) cos()cos sin( )sin .45 55 35 255 2525(2)(2018浙江名校联盟联考)已知 sin ， 则 cos 等于( )(5 ) 14 (2 35)A B. C D.18 18 78 78答案 C解析 设 ，则 2 2，2 2，5 25 35cos cos(2)cos 22sin 21(2 35) 1 .18 78命题点 2 三角函数式的变换例 2 (1)化简： (00，22 2 2cos .2 2cos 4cos22 2又(1sin cos )(sin 2 cos 2) (2sin 2cos 2 2cos22)
11、(sin 2 cos 2)2cos 2(sin22 cos22)2cos cos ，2故原式 cos . 2cos 2cos 2cos 2(2)原式 sin 102cos21022sin 10cos 10 (cos 5sin 5 sin 5cos 5) sin 10cos 102sin 10 cos25 sin25sin 5cos 5 sin 10cos 102sin 10 cos 1012sin 10 2cos 10 cos 102sin 10 cos 10 2sin 202sin 10cos 10 2sin30 102sin 10cos 10 2(12cos 10 32sin 10)2si
12、n 10 .3sin 102sin 10 32引申探究化简： (00，( 6) 45 ，sin .6 (6，2) ( 6) 35sin sin(2 12) 2( 6) 4sin 2 cos cos 2 sin ( 6) 4 ( 6) 4 sin cos 2 ( 6) ( 6) 222cos2( 6) 1 235 45 222(45)2 1 .12225 7250 17250(3)已知 sin ， ，则 .35 (2，) cos 22sin( 4)答案 75解析 cos 22sin( 4)cos2 sin22( 22sin 22cos )cos sin ，sin ， ，35 (2，)cos ，原
13、式 .45 751(2018台州模拟)已知 cos 1，则 sin 等于( )( 6)A. B. C D12 32 12 32答案 C解析 因为 cos 1，所以 sin 0，则 sin( 6)sin cos cos sin sin ，故选 C.6 6 6 122(2018温州检测)已知 是第二象限角，且 tan ，则 sin 2 等于( )13A B.31010 31010C D.35 35答案 C解析 因为 是第二象限角，且 tan ，13所以 sin ，cos ，1010 31010所以 sin 22sin cos 2 ，1010 ( 31010) 35故选 C.3(2018衢州模拟)设
14、 acos 50cos 127cos 40sin 127，b (sin 56cos 56)，c22，则 a，b，c 的大小关系是( )1 tan2391 tan239Aa bc Bba cCcab Dacb答案 D解析 asin 40cos 127 cos 40sin 127sin(40 127) sin 167sin 13 ，b (sin 56cos 56) sin 56 cos 5622 22 22sin(56 45) sin 11，c cos 239sin 239cos 78cos239 sin239cos239sin239 cos239cos239sin 12，sin 13sin 12
15、sin 11，acb.4已知 为锐角，若 sin ，则 cos 等于( )( 6) 13 ( 3)A. B.26 16 3 28C. D.3 28 23 16答案 A解析 由于 为锐角，且 sin ，( 6) 13则 cos ，( 6) 223则 cos cos( 3) ( 6) 6cos cos sin sin( 6) 6 ( 6) 6 ，故选 A.223 32 13 12 26 165(2018绍兴一中期中)已知 sin cos ，且 ，则 的值为( )12 (0，2) cos 2sin( 4)A B C. D.142 144 142 144答案 A解析 由 sin cos 可得 sin
16、cos ，12 12即 sin ，可得 sin 0，2 ( 4) 12 ( 4) 24又 ，则 ，(0，2) 4 (0，4)可得 cos ，( 4) 1 sin2( 4) 144则 cos 2sin( 4) sin(2 2)sin( 4) 2cos 2sin( 4)cos( 4)sin( 4) ( 4) ，故选 A.1426已知 cos ，cos( ) ，且 ， ，则 cos()的值为( )13 13 (0，2)A B. C D.12 12 13 2327答案 D解析 因为 ，所以 2(0，)，(0，2)因为 cos ，所以 cos 22cos 21 ，13 79所以 sin 2 ，1 cos
17、22429而 ， ，所以 (0，)，(0，2)所以 sin() ，1 cos2 223所以 cos()cos 2( )cos 2 cos()sin 2sin() .( 79) ( 13) 429 223 23277已知锐角 ， 满足 sin cos ，tan tan tan tan ，则 ， 的大小关16 3 3系是( )A0， ， .3 4 48(2018杭州二中期中)若 0 ， 0，cos ，cos ，则 cos2 2 (4 ) 13 (4 2) 33等于( )( 2)A. B C. D33 33 539 69答案 C解析 因为 0 ， 0，2 2所以 ， ，44 34 44 22所以 s
18、in ，sin ，(4 ) 223 (4 2) 63所以 cos cos( 2) (4 ) (4 2)cos cos sin sin(4 ) (4 2) (4 ) (4 2) ，故选 C.13 33 223 63 5399. 的值是 2cos 10 sin 20sin 70答案 3解析 原式2cos30 20 sin 20sin 702cos 30cos 20 sin 30sin 20 sin 20sin 70 .3cos 20cos 20 310. .sin 101 3tan 10答案 14解析 sin 101 3tan 10 sin 10cos 10cos 10 3sin 10 .2sin
19、 10cos 104(12cos 10 32sin 10) sin 204sin30 10 1411(2018浙江第二次联盟校联考) 已知 cos2 ，则 sin 2 的值为 ( 4) 16答案 23解析 因为 cos2 ，所以 sin 2 .( 4) 1 cos(22)2 1 sin 22 16 2312已知 sin( )cos cos()sin ， 是第三象限角，求 sin 的值35 ( 54)解 依题意可将已知条件变形为sin() sin ，sin .35 35又 是第三象限角，所以 cos .45所以 sin sin( 54) ( 4)sin cos cos sin 4 4 .35 2
20、2 45 22 721013若 ，且 3cos 2sin ，则 sin 2 的值为 ( )(2，) (4 )A B.118 118C D.1718 1718答案 C解析 由 3cos 2sin 可得(4 )3(cos2 sin2) (cos sin )，22又由 可知， cos sin 0，(2，)于是 3(cos sin ) ，22所以 12sin cos ，故 sin 2 .故选 C.118 171814已知 cos cos ，求 sin4cos 4 的值(4 ) (4 ) 14解 因为 cos cos(4 ) (4 ) (22cos 22sin )( 22cos 22sin ) (cos
21、2sin 2) cos 2 .12 12 14所以 cos 2 .12故 sin4cos 4 2 2(1 cos 22 ) (1 cos 22 ) .116 916 5815化简： .(3cos 10 1sin 170)cos 15 sin 15cos 15 sin 15答案 4 3解析 原式 3sin 10 cos 10cos 10sin 10 1 tan 151 tan 15 2sin10 3012sin 20 tan 45 tan 151 tan 45tan 154tan(45 15)4 .316设 ， 0，且满足 sin cos cos sin 1，求 sin(2)sin(2)的取值范围解 由 sin cos cos sin 1，得 sin( )1，又 ， 0， ，2Error!即 ，2sin(2) sin(2 )sin sin(2)(2 2)cos sin sin .2 ( 4) ，2 ，34 4 541 sin 1，2 ( 4)即取值范围为1,1
