1、第四篇 三角函数与解三角形专题 4.02 同角三角函数基本关系式与诱导公式【考试要求】1.理解同角三角函数的基本关系式：sin 2cos 21， tan ；sin cos 2.能利用定义推导出诱导公式 .(2，的 正 弦 、余 弦 、正 切 )【知识梳理】1.同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin 2cos 21.(2)商数关系： tan .sin cos 2.三角函数的诱导公式公式 一 二 三 四 五 六角 2k( kZ ) 22正弦 sin sin sin sin cos cos 余弦 cos cos cos cos sin sin 正切 tan tan tan tan 口诀 函数名
2、不变，符号看象限函数名改变，符号看象限【微点提醒】1.同角三角函数关系式的常用变形(sin cos )212sin cos ；sin tan cos .2.诱导公式的记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指 的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化.23.在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号.【疑误辨析】1.判断下列结论正误(在括号内打 “”或“”)(1)sin() sin 成立的条件是 为锐角.( )(2)六组诱导公式中的角 可以是任意角.( )(3)若 R，则 tan 恒成立 .( )sin cos (4)若 sin(k) (kZ)，则 sin .( )
3、13 13【答案】 (1) (2) (3) (4)【解析】 (1)中对于任意 R，恒有 sin()sin .(3)中当 的终边落在 y 轴，商数关系不成立.(4)当 k 为奇数时，sin ，13当 k 为偶数时，sin .13【教材衍化】2.(必修 4P21A12 改编)已知 tan 3，则 cos2sin 2 ( )A. B. C. D.45 45 35 35【答案】 B【解析】 由同角三角函数关系得cos2sin 2 .cos2 sin2cos2 sin2 1 tan21 tan2 1 91 9 453.(必修 4P29B2 改编)已知 为锐角，且 sin ，则 cos ()( )45A.
4、 B. C. D.35 35 45 45【答案】 A【解析】 因为 为锐角，所以 cos ，1 sin235故 cos() cos .35【真题体验】4.(2017全国卷)已知 sin cos ，则 sin 2( )43A. B. C. D.79 29 29 79【答案】 A【解析】 (sin cos )2 12sin cos 1sin 2，sin 21 .(43)2 795.(2019济南质检)若 sin ，且 为第四象限角，则 tan ( )513A. B. C. D.125 125 512 512【答案】 D【解析】 sin ， 为第四象限角，513cos ，因此 tan .1 sin2
5、1213 sin cos 5126.(2018上海嘉定区月考)化简： _.sin2( )cos( )cos( 2 )tan( )sin3(2 )sin( 2)【答案】 1【解析】 原式 1.sin2( cos )cos tan cos3( sin ) sin2cos2sin2cos2【考点聚焦】考点一 同角三角函数基本关系式角度 1 公式的直接运用【例 11】 (2018延安模拟) 已知 ，且 sin ，则 cos ( )( ， 4) 13A. B. C. D.223 223 223 23【答案】 A【解析】 因为 ，且 sin sin ，所以 为第三象限角，所以( ， 4) 13 22 (
6、4)cos .1 sin21 ( 13)2 223角度 2 关于 sin ，cos 的齐次式问题【例 12】 已知 1，求下列各式的值.tan tan 1(1) ；sin 3cos sin cos (2)sin2sin cos 2.【答案】见解析【解析】由已知得 tan .12(1) .sin 3cos sin cos tan 3tan 1 53(2)sin2sin cos 2 2 2 2 .sin2 sin cos sin2 cos2 tan2 tan tan2 1(12)2 12(12)2 1 135角度 3 “sin cos ，sin cos ”之间的关系【例 13】 已知 x( ， 0
7、)，sin xcos x .15(1)求 sin xcos x 的值；(2)求 的值.sin 2x 2sin2x1 tan x【答案】见解析【解析】(1)由 sin xcos x ，15平方得 sin2x 2sin xcos xcos 2x ，125整理得 2sin xcos x .2425所以(sin xcos x) 212sin xcos x .4925由 x( ，0)，知 sin x0，所以 cos x0，则 sin xcos xsin ，cos sin 0.又(cos sin )212sin cos 12 ，18 34cos sin .32(2)由 5 得 5，可得 tan 2，sin
8、 3cos 3cos sin tan 33 tan 则 cos2 sin 2cos 2sin cos .12 cos2 sin cos cos2 sin2 1 tan 1 tan2 35考点二 诱导公式的应用【例 2】 (1)设 f() (12sin 0) ，则 f _.2sin（ ）cos（ ） cos（ ）1 sin2 cos(32 ) sin2(2 ) (76)(2)已知 cos a，则 cos sin 的值是_.(6 ) (56 ) (23 )【答案】 (1) (2)03【解析】 (1)f ()（ 2sin ）（ cos ） cos 1 sin2 sin cos2 ，2sin cos
9、cos 2sin2 sin cos （1 2sin ）sin （1 2sin ） 1tan f .(76) 1tan 76 1tan 6 3(2)cos cos(56 ) (6 )cos a，(6 )sin sin a，(23 ) 2 (6 )cos sin aa0.(56 ) (23 )【规律方法】 1.诱导公式的两个应用(1)求值：负化正，大化小，化到锐角为终了.(2)化简：统一角，统一名，同角名少为终了.2.含 2 整数倍的诱导公式的应用由终边相同的角的关系可知，在计算含有 2 的整数倍的三角函数式中可直接将 2 的整数倍去掉后再进行运算，如 cos(5)cos( )cos .【训练 2
10、】 (1)(2019衡水中学调研) 若 cos ，则 cos(2 )( )(2 ) 23A. B. C. D.29 59 29 59(2)(2017北京卷)在平面直角坐标系 xOy 中，角 与角 均以 Ox 为始边，它们的终边关于 y 轴对称.若 sin ，则 sin _.13【答案】 (1)D (2)13【解析】 (1)由 cos ，得 sin .(2 ) 23 23cos(2) cos 2 (1 2sin 2)2sin 212 1 .29 59(2) 与 的终边关于 y 轴对称，则 2k ，k Z，2k ，kZ.sin sin( 2k )sin .13考点三 同角三角函数基本关系式与诱导公
11、式的综合应用【例 3】 (1)(2019菏泽联考)已知 ，sin ，则 tan(2)( )(32，2) (2 ) 13A. B. C. D.427 225 427 225(2)(2019福建四地六校联考)已知 为锐角，且 2tan()3cos 50，tan()6sin()(2 )10，则 sin 的值是( )A. B. C. D.355 377 31010 13【答案】 (1)A (2)C【解析】 (1) ， sin ，(32，2) (2 ) 13cos ，sin ，tan 2 .13 223 sin cos 2tan(2) tan 2 .2tan 1 tan2 421 （ 22）2 427(
12、2)由已知得 3sin 2tan 5 0，tan 6sin 1 0. )消去 sin ，得 tan 3，sin 3cos ，代入 sin2 cos21，化简得 sin2 ，则 sin ( 为锐角).910 31010(3)已知0，sin x cos x0，故 sin xcos x .75 sin 2x 2sin2x1 tan x 2sin x（cos x sin x）1 sin xcos x2sin xcos x（cos x sin x）cos x sin x . 24251575 24175【规律方法】 1.利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用
13、公式进行变形.2.(1)注意角的范围对三角函数值符号的影响，开方时先判断三角函数值的符号；(2)熟记一些常见互补的角、互余的角，如 与 互余等.3 6【训练 3】 (1)(2019湖北七州市联考) 已知 (0，)，且 cos ，则 sin tan ( )513 (2 )A. B. C. D.1213 513 1213 513(2)已知 是第四象限角，且 sin ，则 tan _.( 4) 35 ( 4)【答案】 (1)C (2) 43【解析】 (1)(0，) ，且 cos ，sin ，513 1213因此 sin tan cos sin .(2 ) sin cos 1213(2)由题意，得 c
14、os ，tan .( 4) 45 ( 4) 34tan tan .( 4) ( 4 2)1tan( 4) 43【反思与感悟】1.同角三角函数基本关系可用于统一函数；诱导公式主要用于统一角，其主要作用是进行三角函数的求值、化简和证明.2.三角函数求值、化简的常用方法：(1)弦切互化法：主要利用公式 tan x 进行切化弦或弦化切，如sin xcos x，asin 2xbsin xcos xccos 2x 等类型可进行弦化切.asin x bcos xcsin x dcos x(2)和积转换法：如利用(sin cos )212sin cos 的关系进行变形、转化 .(3)巧用“1”的变换： 1si
15、n 2cos 2cos 2(1tan 2)sin 2(1 )tan 等.1tan2 4【易错防范】1.利用诱导公式进行化简求值时，可利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负脱周化锐.特别注意函数名称和符号的确定.2.注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化.【分层训练】【基础巩固题组】(建议用时： 35 分钟)一、选择题1.sin 600的值为 ( )A. B. C. D.12 32 12 32【答案】 B【解析】 sin 600 sin(360240)sin 240sin(18060) sin 60 .322.已知直线 2xy 10 的倾斜角为 ，则 sin 22cos
16、 2( )A. B. C. D.25 65 45 125【答案】 A【解析】 由题意知 tan 2，sin 22cos 2 .2sin cos 2cos2sin2 cos2 2tan 2tan2 1 253. ( )1 2sin( 2)cos( 2)A.sin 2cos 2 B.sin 2cos 2C.(sin 2cos 2) D.cos 2sin 2 【答案】 A【解析】 1 2sin( 2)cos( 2) 1 2sin 2cos 2 |sin 2cos 2|sin 2cos 2.(sin 2 cos 2)24.已知 sin() cos(2)，| | ，则 等于( )32A. B. C. D
17、.6 3 6 3【答案】 D【解析】 sin() cos(2)，3sin cos ，3tan ，| | ， .32 35.已知 sin ，则 cos ( )( 3) 1213 (6 )A. B. C. D.513 1213 513 1213【答案】 B【解析】 因为 sin ，所以 cos sin sin .( 3) 1213 (6 ) 2 (6 ) ( 3) 12136.(2019兰州质检)向量 a ，b(cos ，1) ，且 ab，则 cos ( )(13，tan ) (2 )A. B. C. D.13 13 23 223【答案】 A【解析】 a ，b(cos ，1)，且 ab，(13，t
18、an ) 1tan cos 0，sin ，13 13cos sin .(2 ) 137.已知函数 f(x)asin(x )bcos( x)，且 f(4)3，则 f(2 020)的值为( )A.1 B.1 C.3 D.3【答案】 C【解析】 f(4)asin(4 )bcos(4)asin bcos 3，f(2 020)asin(2 020)bcos(2 020 )asin bcos 3.二、填空题8.(2019广东七校联考)已知 sin ，且 为第三象限的角，则 tan _.1213【答案】 125【解析】 sin ，且 为第三象限的角，1213cos ，tan .1 sin2 513 sin
19、cos 1259.已知 tan ，则 tan _.(6 ) 33 (56 )【答案】 33【解析】 ，(56 ) (6 )tan tan(56 ) (6 )tan .(6 ) 3310.已知 sin cos ， ，则 sin cos 的值为_.43 (0，4)【答案】 23【解析】 sin cos ，sin cos .43 718又(sin cos )212sin cos ，29又 ，sin cos .(0，4) 2311.已知 tan 3，则 cos _.(32 2)【答案】 35【解析】 tan 3，cos sin 2 .(32 2) 2sin cos sin2 cos2 2tan tan
20、2 1 69 1 3512.(2019邯郸一模)若 sin( )3sin()，且 ， ，则 _.(0，2) tan tan 【答案】 2【解析】 由条件，得 sin()3sin()，sin cos 2cos sin ，则 tan 2tan ，因此 2.tan tan 【能力提升题组】(建议用时： 15 分钟)13.若 sin ，cos 是方程 4x22mxm0 的两根，则 m 的值为( )A.1 B.15 5C.1 D.15 5【答案】 B【解析】 由题意知 sin cos ，sin cos .m2 m4又 12sin cos ，(sin cos )2 1 ，解得 m1 .m24 m2 5又
21、4 m216m0，m0 或 m4，m1 .514.已知 sin cos ，且 0 ，则 sin _，cos _.( 2 ) ( 72 ) 1225 4【答案】 35 45【解析】 sin cos cos ( sin )sin cos .( 2 ) ( 72 ) 12250 ，0sin cos .4又sin 2cos 21，sin ，cos .35 4515.已知 kZ，化简： _.sin（k ）cos（k 1） sin（k 1） cos（k ）【答案】 1【解析】 当 k2n( nZ )时，原式sin（2n ）cos（2n 1） sin（2n 1） cos（2n ） 1；sin（ ）cos（
22、）sin（ ）cos sin （ cos ） sin cos 当 k2n1( nZ )时，原式sin（2n 1） cos（2n 1 1） sin（2n 1 1） cos（2n 1） 1.sin（ ）cos sin cos（ ） sin cos sin （ cos ）综上，原式1.16.是否存在 ，(0，)，使等式 sin(3 ) cos ， cos( ) cos()同时成( 2，2) 2 (2 ) 3 2立？若存在，求出 ， 的值；若不存在，请说明理由 .【答案】见解析【解析】假设存在角 ， 满足条件，则由已知条件可得 sin 2sin ， 3cos 2cos ， )由 2 2，得 sin23cos 22.sin 2 ，sin .12 22 ， .( 2，2) 4当 时，由式知 cos ，4 32又 (0 ，) ， ，此时式成立；6当 时，由式知 cos ，4 32又 (0 ，) ， ，此时式不成立，故舍去.6存在 ， 满足条件 .4 6【新高考创新预测】17.(多填题) 已知 sin ， ，则 cos()_，cos 2_.23 (0，2)【答案】 73 59【解析】 cos()cos ，1 sin273cos 2cos 2sin 2 . ( 73)2 ( 23)2 59
