1、第三篇 导数及其应用专题 3.05 导数与函数的零点【考点聚焦突破】考点一 判断零点的个数【例 1】 (2019青岛期中) 已知二次函数 f(x)的最小值为 4，且关于 x 的不等式 f(x)0 的解集为x|1 x3， xR(1)求函数 f(x)的解析式；(2)求函数 g(x) 4ln x 的零点个数f(x)x【答案】见解析【解析】(1)f (x)是二次函数，且关于 x 的不等式 f(x)0 的解集为 x|1x3，xR，设 f(x)a(x1)( x3)ax 22ax3a，且 a0.f(x) minf(1)4a4，a1.故函数 f(x)的解析式为 f(x)x 22x3.(2)由(1)知 g(x)
2、 4ln xx 4ln x2，x2 2x 3x 3xg(x)的定义域为(0，)， g(x)1 ，令 g(x)0，得 x11，x 23.3x2 4x (x 1)(x 3)x2当 x 变化时，g(x )，g(x)的取值变化情况如下表：X (0，1) 1 (1，3) 3 (3，)g(x) 0 0 g(x) 极大值极小值当 03 时，g(e 5)e 5 2022 512290.3e5又因为 g(x)在(3，)上单调递增，因而 g(x)在(3，)上只有 1 个零点，故 g(x)仅有 1 个零点【规律方法】 利用导数确定函数零点或方程根个数的常用方法(1)构建函数 g(x)(要求 g(x)易求，g(x)0
3、 可解)，转化确定 g(x)的零点个数问题求解，利用导数研究该函数的单调性、极值，并确定定义区间端点值的符号(或变化趋势) 等，画出 g(x)的图象草图，数形结合求解函数零点的个数(2)利用零点存在性定理：先用该定理判断函数在某区间上有零点，然后利用导数研究函数的单调性、极值(最值)及区间端点值符号，进而判断函数在该区间上零点的个数【训练 1】 已知函数 f(x)e x1，g( x) x，其中 e 是自然对数的底数，e2.718 28.x(1)证明：函数 h(x)f( x)g(x)在区间(1 ，2)上有零点；(2)求方程 f(x) g(x)的根的个数，并说明理由【答案】见解析【解析】(1)证明
4、 由题意可得 h(x)f (x)g(x)e x1 x ，x所以 h(1)e30，2所以 h(1)h(2)0，因此 (x)在(0 ，)上单调递增，易知 (x)在(0，)内至多有一个零点，即 h(x)在0，)内至多有两个零点，则 h(x)在0，)上有且只有两个零点，所以方程 f(x)g(x)的根的个数为 2.考点二 已知函数零点个数求参数的取值范围【例 2】 函数 f(x)axx ln x 在 x1 处取得极值(1)求 f(x)的单调区间；(2)若 yf(x) m1 在定义域内有两个不同的零点，求实数 m 的取值范围【答案】见解析【解析】(1)函数 f(x)axxln x 的定义域为(0，) f(
5、x)aln x1，因为 f(1)a10，解得 a1，当 a1 时，f(x )xx ln x，即 f(x)ln x，令 f(x)0，解得 x1；令 f(x)1，即 m 2，当 0e 时，f(x)0.当 x0 且 x0 时，f(x )0；当 x时，显然 f(x).由图象可知，m10，当 a0 时，f (x)0，f(x)在 R 上是增函数，当 x1 时，f( x)e xa(x 1)0；当 x0，f(x) 单调递增，所以当 xln( a)时，f(x )取最小值函数 f(x)不存在零点，等价于 f(ln(a) e ln(a) aln(a)a2aaln(a)0，解得e 20 时，f(x)2aaln .2a
6、【答案】见解析【解析】(1)解 f (x)的定义域为(0 ，)，f(x )2e 2x (x0)ax当 a0 时，f(x )0，f(x )没有零点；当 a0 时，因为 ye 2x单调递增，y 单调递增，ax所以 f(x)在(0，)上单调递增又 f(a)0，假设存在 b 满足 00 时，f (x)存在唯一零点(2)证明 由(1)，可设 f(x)在(0 ，)上的唯一零点为 x0，当 x(0 ，x 0)时， f(x)0.故 f(x)在(0，x 0)上单调递减，在(x 0，)上单调递增，所以当 xx 0 时，f(x)取得最小值，最小值为 f(x0)由于 2e2x0 0，ax0所以 f(x0) 2ax 0
7、aln 2aaln .a2x0 2a 2a故当 a0 时，f (x)2aaln .2a【规律方法】 1.在(1)中，当 a0 时，f(x)在(0 ，)上单调递增，从而 f(x)在(0，) 上至多有一个零点，问题的关键是找到 b，使 f(b)0，所以 yf (x)在(0，1) 递增；当 x(1 ，)时，f(x)0，(1e) 1e函数 f(x)在 的最小值为 1e m .1e，e(2)证明 由(1)知 x1，x 2 满足 ln xxm0，且 01，ln x1x 1mln x 2x 2m0，由题意可知 ln x2x 2m2，所以 02)，1x则 g(x)1 0，1x2 2x x2 2x 1x2 （x
8、 1）2x2当 x2 时，g( x)是减函数，所以 g(x)ln ln ln ln ln 10，g(x )2 时，f(x 1)f 0，即|AB|的最小值是 42ln 2.3.若函数 f(x) 1( a2 时，f(x)0，当 x2 时，f( x)有极小值 f(2) 1.ae2若使函数 f(x)没有零点，当且仅当 f(2) 10，ae2解之得 ae 2，因此e 20，得 x2.所以函数 f(x)的单调递增区间是(，1) ，(2，).(2)由(1)知 f(x)极大值 f(1) 22 ，13 12 56f(x)极小值 f(2) 242 ，83 163由数形结合，可知要使函数 g(x)f (x)2m 3
9、 有三个零点，则 0)，讨论函数 g(x)f(x) 零点的个数.mx x3【答案】见解析【解析】函数 g(x)f(x) (x0)，x3 1x mx2 x3令 g(x)0，得 m x3x (x0).13设 h(x) x3x(x0) ，13所以 h(x)x 21(x1)(x1).当 x(0 ，1)时，h(x )0，此时 h(x)在(0，1) 内单调递增；当 x(1 ，)时，h(x) 时，函数 ym 和函数 yh(x)的图象无交点.23当 m 时，函数 ym 和函数 yh( x)的图象有且仅有一个交点.23当 0 时，函数 g(x)无零点；当 m 时，函数 g(x)有且仅有一个零点；当 00 在(0，)上恒成立，则 f(x)在(0，)上单调递增，又 f(0)1，所以此时 f(x)在(0，)内无零点，不满足题意.当 a0 时，由 f(x)0 得 x ，由 f(x)0，f (x)单调递增，当 x(0 ，1)时，f(x)0，当 a1 时，f(x )xln x(x0)，f(x) (x0)；1 xx当 00；当 x1 时，f(x)0)，令 f(x)0，解得 x ；1x 1a由 f(x)0，解得 00；当 xe 时，g( x)g(x)，即| f(x)| ，ln xx 12所以，方程|f(x)| 没有实数根.ln xx 12
