1、专题 14 平面向量的数量积一、本专题要特别小心：1.平面向量数量积的模夹角公式的应用2. 平面向量数量积的坐标公式应用问题3. 向量垂直的应用4.向量的数量积问题等综合问题 5. 向量夹角为锐角、钝角时注意问题6.向量数量积在解析几何中应用7.向量数量积在三角形中的应用。二 【学习目标】1理解平面向量数量积的含义及其物理意义2了解平面向量的数量积与向量投影的关系3掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算4能运用数量积表示两个向量的夹角及判断两个平面向量的垂直关系5会用向量方法解决一些简单的平面几何问题及力学问题三 【方法总结】1.要准确理解两个向量的数量积的定义及几何意义，熟练掌握
2、向量数量积的五个重要性质及三个运算规律.向量的数量积的运算不同于实数乘法的运算律，数量积不满足结合律：(ab) ca(bc)；消去律：abac bc；ab0 a0 或 b0，但满足交换律和分配律.2.公式 ab|a|b|cos ；abx 1x2y 1y2；| a|2a 2x 2y 2 的关系非常密切，必须能够灵活综合运用.3.通过向量的数量积，可以计算向量的长度，平面内两点间的距离，两个向量的夹角，判断相应的两直线是否垂直.4.a bx1y2x 2y10 与 abx 1x2y 1y20 要区分清楚.四 【题型方法】（一）向量的数量积例 1. 在矩形 ABCD中， 2， BC，点 E为 B的中点
3、，点 F在 CD，若 2ABF，则EF的值（ ）A 2B2 C0 D1【答案】A【解析】建立如图所示的坐标系，可得 ,A， 2B， ， ,E， ,2Fx，2,0B， ,2AFx， Fx解得 1x， 1E， ， E.故选 A 项练习 1. 在 中， ， ，点 是 所在平面内的一点，则当 取得最小值时，A B C D【答案】B【解析】 ， ， ，以 A 为坐标原点建如图所示的平面直角坐标系，则 ，设 ，则，所以当 x=2，y =1 时 取最小值，此时 .故选：B.练习 2. 如图所示，已知点 O为 VABC的重心， OAB， 6，则 ACB的值为_.【答案】72【解析】连接 CO延长交 AB于 M
4、，因为 为重心，所以 为中点,且12()()OAB,因为 ,6OAB,所以 02236，则 ()()COCB 2(2)25OABAOAB 0367,故答案为 72.（二）向量的投影例 2. 在同一平面内，已知 A 为动点，B，C 为定点，且 BAC= 3， 2ACB，BC=1，P 为 BC 中点过点 P 作 PQBC 交 AC 所在直线于 Q，则 A在 B方向上投影的最大值是（ ）A13B12C3D23【答案】C【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，则 B（-12，0） ，C（ ，0） ，P（0，0） ，由BAC3可知，ABC 三点在一个定圆上，且弦 BC 所对的圆周角为 3，所以圆心角为23
5、.圆心在BC 的中垂线即 y轴上，且圆心到直线 BC 的距离为126tan3，即圆心为(0,)6，半径为2213()6.所以点 A 的轨迹方程为：22316xy，则23x，则0x，由 Q在 BC方向上投影的几何意义可得： AQ在 BC方向上投影为|DP|=|x|，则 在 方向上投影的最大值是3，故选：C练习 1. 已知| |=| |= ，动点 满足， 且 ，则 在 方向上的投影的取值范围是（ ）A B C D【答案】A【解析】由已知有 =（ ） （ ）= - +（-） =2-2，又 2=（ ） 2=4（ 2+2+） ，又 2+=2，所以 =2-2，则 在 方向上的投影为 = = ，令 t=3-
6、2，则 ，则 f（t）= ，当 t 0 时，f（t）= = 2，即 0f （t ）2 ；当 t=0 时，f（t）=0，当 t0 时，f（t）=- ，即- f （t ）0，综合得 f（t）2，即 （ ，故选 A练习 2. 已知 3,4a， ,6bt，且 a， b共线，则向量 a在 b方向上的投影为_【答案】 5【解析】由 a与 b共线得： 3640t，解得：92t向量 a在 b方向上的投影为：346cos, 581aba本题正确结果： 5练习 3. 已知 1e， 2是夹角为 60的两个单位向量，若 12ae， 124be，则 a在 b方向上的投影等于_【答案】32【解析】因为 1e， 是夹角为
7、60的两个单位向量所以 12121cose因为 12a，所以 221112+3aeee因为 124be，所以21121246463b e2121123aee设与 b的夹角为 ，则3cos2a所以在 b方向上的投影等于13cos32a练习 4.定义两个非零平面向量的一种新运算 *|sin,bab=，其中 ,a表示 ,b的夹角，则对于两个非零平面向量 ,a，下列结论一定成立的有（ ）A a在 b方向上的投影为 |sin,aB222(*)(|b+=C llD若 0ab，则与 平行【答案】BD【解析】由向量投影的定义可知，A 显然不成立；222222(*)(|sin,|cos,|abababab+=+
8、=，故 B 成立；|i,()*|in=llll，当 0时不成立，故 C 不成立；由 *0ab，得 s0，即两向量平行，故 D 成立。综上所述，故选 BD。（三）数量积与最值例 3. 在直角三角形 ABC中， 90， 2AB， 4C，点 P在 ABC斜边 的中线 AD上，则 ()PBCA的最大值为( )A258B 8C52D 5【答案】C【解析】因为 90，所以以 ,A的方向为 ,xy轴的正方向，建立直角坐标系，如下图所示：所以 (0,)2,(0,4)(1,2),ABCDPxy设 ,2Pxy，所以 (,)， ()(4)，2215100()2,4,BCA ，所以当12时，()P的最大值为5，故本题
9、选 C.练习 1. 已知 a， b是两个单位向量，与 a， b共面的向量 c满足2()0abc，则 c的最大值为（ ）A 2B2 C 2D1【答案】C【解析】由 -（ ） + =0 得：（ ）（ - ）=0，即（ ）（ - ） ，设 = ， = ， = ，则 = ， - = ，则点 C 在以 AB 为直径的圆 O 上运动，由图知：当 DCAB 时，|DC|DC|，设ADC=，则|DC|=|DO|+|AO|=sin+cos= sin（ ） ，所以当 时，|DC| 取最大值 ，故选：C练习 2. 在直角梯形 中， ， ， ， 分别为 ， 的中点，以为圆心， 为半径的圆交 于 ，点 在弧 上运动（如
10、图）.若 ，其中 ， ，则的取值范围是（ ）A B C D【答案】D【解析】建立如图所示的坐标系，则 A（0，0） ，B（2，0） ，D （0，1） ，C（2，2） ，E（2，1） ，F（1，1.5） ，P（cos，sin） （0 ） ，由 得， （cos，sin） （2，1）+ （ 1， ）cos 2，sin ，6+6（ ） 2（sin+cos）2 sin（ ） ， sin（ ）2 sin（ ）2 ，2 ，即 6+ 的取值范围是2 ， 2 故选：D练习 3如图，已知点 为等边三角形 的外接圆上一点，点 是该三角形内切圆上一点，若， ，则 的最大值为（ ）A B2 C D【答案】C【解析】如图
11、，取 中点 ， 交外接圆于 ，交内切圆于 ，此时 为外接圆劣弧 的中点， 取得最大； 为内切圆劣弧 的中点， 取得最小，记 的最大值为 ， 的最小值为 ，而 ， ，故 的最大值为 ，故选 C.练习 4. 已知平面向量 ， ，当 时， 的最小值是（ ）A B C D【答案】C【解析】如图，在 中，已知 ， ，在 OB 上取点 D，使得 ，在 AB 上有动点 C，使 （ ） ，则 ，.故选：C.（四）由数量积求参数例 4. 在 ABC中， 90， 1AB， 2C，设点 D、 E满足 AB， (1)E()R，若 5ED，则 （ ）A13B2 C95D3【答案】D【解析】因为 90，则 0A，所以 (
12、)()BEABAC22(1)()(1)4134ACB.由已知， 345，则 3.选 D.练习 1. 向量 1,2a， 1,0b，若 ab，则 _.【答案】 3【解析】向量 1,2a， 1,0b，所以 2, 1,2abab，又因为 ab，所以 0，即 0，解得13，故答案为 .练习 2。设向量 ()2,am=， )1,2b+， ()2,cm=，若 abc，则实数 m_【答案】1.【解析】因为 (,)-， ()a，所以 ()210abc=，得 1。（五）由向量数量积求范围例 5. 三角形 ABC中， 2,AC, 45B， P为线段 AC上任意一点，则 PBCurg的取值范围是（ ）A1,4B1,4
13、2C1,04D1,2【答案】B【解析】设 ,1PACA， 01，BAurrururrg结合题目中的条件得到原式等于： 24431, 0结合二次函数的性质得到范围是：1,2.故答案为：B.练习 1. 在平面上， ， ， .若 ，则 的取值范围是( )A BC D【答案】D【解析】 ， 0， . ， ， . ， ， 2 2 2( )2 ， ， 0 ，0 ， ，即| | .故答案为：D练习 2. 如图，在直角梯形 中， ， ， ， ，图中圆弧所在圆的圆心为点 C，半径为 ，且点 P 在图中阴影部分（包括边界）运动若 ，其中 ，则的取值范围是A B C D【答案】B【解析】以 点为坐标原点， 方向为
14、轴， 轴正方向建立直角坐标系，如图所示，则 A(0，0),B(2，0),D(0， 1),C(1，1), =(2，0), =(-1,1)，设点 的坐标为 ，由意可知： ，据此可得： ，则： ，目标函数： ，其中 为直线系 在 y 轴的截距，当直线与圆相切时，目标函数取得最大值 .当直线过点 时，目标函数取得最小值 ，则 的取值范围是 .故选：B.练习 3. 已知向量 2,13a，31,2bk，若向量 a、 b的夹角为钝角，则实数 k的取值范围是_。【答案】3,2【解析】由题意可知： 213cos, 04kab且213cos, 14kab解得：132k且，即13,k本题正确结果：,2练习 4.已知
15、 |4,|3,()()61abab（1）求与 的夹角 ；（2）若 |2|，求实数 的取值范围【答案】 （1） 3；（2）427427, ,33 .【解析】 （1） |4,|,()()61abab；2467b； a;1cos2|ab; 0,，23.（2） |，两边平方可得22(|)()aba，即 94|120，解得427|3，473或473；的取值范围为47, , （六）数量积的综合应用例 6. 在 中， 边上的中线 ，若动点 满足 ，则 的最小值是_.【答案】【解析】令 ， ，则 ，故 可化为 ，代入得化简得则故当 时，取得最小值故答案为练习 1. 在平面直角坐标系中， O为坐标原点，点 A，
16、 B， C满足123OAB.（1）求ACB的值；（2）已知 (,cos)x， (1cos,)x，,03，若函数2()()3fxOACmAB的最大值为 3，求实数 m的值.【答案】 （1）2；（2）12.【解析】 （1）由题意知， 3OCAB，即 2()OCBAC，所以 2BCA，即2B.（2）易知 (1,cos)x， (1cos,)x， (cos,0)x，则,3O， ，所以2()coss1fxmx，令 t，则2()1gtt，,2，其对称轴方程是 tm.当34m时， ()t的最大值为 ()13g，解得12；当时， ()gt的最大值为 24，解得74（舍去）.综上可知，实数 m的值为1.练习 2.
17、 如图，以 Ox为始边作角 与 (0)，它们的终边分别与单位圆相交于点 P， Q，已知点 P的坐标为34(,)5.（1）求3cos5ini的值；（2）若 OPQ，求 3cos4in的值.【答案】 （1） 7；（2）0.【解析】 （1）由题意知，3cos5，4sin=，3cos5ini17.（2）由题意知， (cos,in)Q，则 (cos,in)OQ.OP， 0，34cosin5，即 3cos4in0.练习 3. 已知向量 OAij， 63Bij， 53OCmij（ ） -(），其中 i， j分别为直角坐标系内 x轴与 y轴正方向上的单位向量.（1）若 , B,C三点共线时，求实数 m的值;（
18、2）若 A是直角三角形，且 A为直角，求实数 的值与向量 A在 OB方向上的投影.【答案】 （1） 2；（2） 5【解析】 （1）由题知 (3,4), 6B, 5,3Cm(3,)AB， 1Cm, , 共线即为 A, 共线 2)1()0（解得12m（或由 求解）（2）由题知 0BC()31()解得74m向量 OA在方向上的投影为OAcos,25OAB练习 4. 已知 中， ， ，边 上一点 满足 ， .(I)证明： 为 的内角平分线；()若 ，求 .【答案】() 见解析 .（） .【解析】 （I）因为所以 ，又因为 ， ，所以 ，所以 为 的内角平分线. （方法二：提示：根据向量加法的平行四边形
19、法则，结合菱形对角线平分内角可以证得）（） 中， ， 中， ， ， ， ， ，中， ，中， ， ， .（七）向量数量积在三角和几何上应用例 7. 如图所示，在 平面上，点 ，点 在单位圆上且 .（1）若点 ，求 的值：（2）若 ，四边形 的面积用 表示，求 的取值范围.【答案】 （1） ， （2） 【解析】 （1）由条件得 B（ ， ） ，AOB= ， tan= = ， tan2 = = = ，tan（2+ ）= = = （2）由题意得 =| | |sin（ ）=sin =（1，0） ， =（cos，sin） ， = + =（1+cos，sin） ， =1+cos， + =sin+cos+1=
20、 sin（+ ）+1（0） ， ， sin（ ）1 ， + 的取值范围为 练习 1.根据平面向量基本定理，若 为一组基底，同一平面的向量 可以被唯一确定地表示为 =，则向量 与有序实数对 一一对应，称 为向量 的基底 下的坐标；特别地，若 分别为 轴正方向的单位向量 ，则称 为向量 的直角坐标.（I）据此证明向量加法的直角坐标公式：若 ，则 ；（II）如图，直角 中， ， 点在 上，且 ，求向量 在基底下的坐标.【答案】 （I）见解析.（II ） .【解析】 （I）证明：根据题意： ， （4 分） . （II）解：法一（向量法）：根据几何性质，易知 ，从而 ，所以 ，化简得： ，所以 在基底
21、下的坐标为 .法二（向量法）：同上可得： ，所以 .上法也可直接从 开始 .法三（向量法）：设 ，则 利用 共线可解得.法四（坐标法）：以 为坐标原点， 方向为 轴正方向建立直角坐标系（以下坐标法建系同） ，则，由几何意义易得 的直角坐标为 .设 ，则 = ，又知 ，则由 三点共线易得 .法六（坐标法）：完全参照必修 4P99 例 8（2）的模型和其解答过程，此处略.法七（几何图形法）：将 分解在 方向，利用平几知识算出边的关系亦可.法八（向量法）：设 ，则 ；由 ，由，解得 .所以 在基底 下的坐标为 . 练习 2.如图，在 ABC中， 36,4,cos4ABC， 5ADB，点 M在 CD的
22、延长线上，点 P是边 上的一点，且存在非零实数 ，使 MP.（）求 AB与 的数量积；（）求 与 CD的数量积.【答案】()-18 ；() 635.【解析】 （）在 ABC中 3,4,cos4BAC，由余弦定理得 2236416，所以 4，所以 AB是等腰三角形，且 AB，所以132cos4C, 所以 618.AB（）由 ABCMP,得 A，所以点 P在 BC的角平分线上，又因为点 是边 上的一点，所以由角平分线性质定理得 4263PACB，所以 25PB.因为 AD， 所以 16.设 ,BaCb，则 4， 36418由 25P，得 25Aab，所以 3ab，又 16CD，所以 222313| |5505APabab1686.0
