1、专题 01 任意角的三角函数和弧度制一、本专题要特别小心：1.角的范围问题2.诱导公式的符号问题3.象限角4.同角三角函数的基本关系式5.“1”的妙用6.三角函数线的应用7.角的一致性8.三角化简形式、名称、角的一致原则二方法总结：1.化简过程中，利用同角三角函数的关系可将不同名的三角函数化成同名三角函数.2.运用诱导公式，可将任意角的求值问题转化成锐角的求值问题.3.注意“1”的灵活运用，如 1sin 2 cos 2 等.4.化简三角函数式时，要注意观察式子的特征，如关于 sin ，cos 的齐次式可转化为 tan 的式子，注意弦切互化.5.解题时要充分挖掘题目条件中隐含的条件，尽可能缩小角
2、的范围.三 【题型方法规律总结】（一）弧长公式的应用例 1如图是一个半径为 R 的扇形，它的周长为 4R，则这个扇形所含弓形（阴影区域）的面积是（ ）A B C D【答案】D【解析】 ，S 弓形 S 扇形 S 三角形 R 2sin1cos1R 2故选：D练习 1. 下列结论中错误的是（ ）A终边经过点 的角的集合是B将表的分针拨慢 10 分钟，则分针转过的角的弧度数是C若 是第三象限角，则 是第二象限角， 为第一或第二象限角D ， ，则【答案】C【解析】因为 为第三象限角，即 kZ，所以， kZ 当 k 为奇数时它是第四象限，当 k 为偶数时它是第二象限的角4，kZ所以 2 的终边的位置是第一
3、或第二象限，y 的非正半轴故答案为:C练习 2. 已知圆 与直线 相切于点 ，点 同时从点 出发， 沿着直线 向右、 沿着圆周按逆时针以相同的速度运动，当 运动到点 时，点 也停止运动，连接 ， （如图） ，则阴影部分面积 ， 的大小关系是（ ）A BC D先 ，再 ，最后【答案】A【解析】如图所示，因为直线 与圆 相切，所以 ，所以扇形的面积为 ， ,因为 ，所以扇形 AOQ 的面积 ,即 ，所以 ，练习 3.钟拨慢 5 分钟，则分针转了_弧度，时针转了_度【答案】 2.5 【解析】将时钟拨慢 5 分钟，分针、时针都是按逆时针方向转动，转过的角都是正角，这时，分针转过的角度是 ，即 （弧度）
4、 ，时针转过的角度是 故答案为 ，2.5.练习 4. 如图，单位圆 Q 的圆心初始位置在点（ 0，1） ，圆上一点 P 的初始位置在原点，圆沿 x 轴正方向滚动当点 P 第一次滚动到最高点时，点 P 的坐标为_；当圆心 Q 位于点（3，1）时，点 P 的坐标为_【答案】 【解析】由题意，作辅助图形，如图所示，当点 P 第一次滚动到最高点时，点 P 向右滚动了圆的半个周长 ，因此点 P 的坐标为 ；当圆心 Q 位于（3，1）时，此时圆心角为 3，点 P 的横坐标为 ，纵坐标为 ，所以点 P 的坐标为 .故答案为： ， （二）象限角例 2. 已知 是第二象限角，则（ ）A 是第一象限角 BC D
5、是第三或第四象限角【答案】D【解析】对于 A， 是第二象限角， ， ， ， ， 是第一象限或第三象限角，故错误；对于 B，由 可知 是第一象限或第三象限角，故错误；对于 C， 是第二象限角， ， ， 是第三象限或第四象限角， ，故错误；对于 D， 是第二象限角， ， ， ， ， 是第三象限或第四象限角，故正确；故选：D练习 1. 已知 A=第一象限角 ，B= 锐角 ，C =小于 90的角，那么 A，B ，C 的关系是（ ）A BCA B C D【答案】B【解析】A=第一象限角= ；B=锐角= ；C=小于 90的角 = BC小于 90的角C，即 BC，且 BA，则 B 不一定等于 AC，A 不一
6、定是 C 的子集，三集合不一定相等，由集合间的关系可得 故选 B练习 2. 若 = ，则 的取值范围是( )A BC D (以上 )【答案】D【解析】sin 2x+cos2x1，即 cos2x1sin 2x（1+sin x） （1sinx） ， ， ，cosx 0，x 的范围为 2kx 2k（kZ） 故选：D（三）三角函数的符号问题例 3. 若 是第四象限角，则 a 的值为( )A0 B2C2 D2 或2【答案】A【解析】 是第四象限角， +2k2+2k，kZ， +k +k，kZ， 是第二或第四象限角，当 是第二象限角时，a 0. 当 是第四象限角时，a 0.故选 A.练习 1. 在 中，若
7、，那么 是 （ ）A锐角三角形 B钝角三角形 C直角三角形 D不能确定【答案】A【解析】在 中， ， ， 为锐角又 ， ， ， 为锐角， 为锐角三角形故选 A练习 2. 化简 等于（ ）.A BC D【答案】A【解析】原式 ,因为 , 所以 . 所以 .故选 A.练习 3.化简 ( )A B C D【答案】D【解析】又 ，所以 sin40,cos40,则 ，故选：D练习 4化简 的结果为（ ）A3 B 1 C1 D3【答案】A【解析】因为 所以原式故选：A.（四）三角函数中的数学文化例 4. 九章算术是我国古代数学成就的杰出代表作，其中方田章给出计算弧田面积所用的经验方式为：弧田面积= （弦矢
8、+矢 2） ，弧田（如图）由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长， “矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为 ，半径等于 米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是 A 平方米 B 平方米 C 平方米 D 平方米【答案】B【解析】如图，由题意可得：AOB= ，OA=4，在 RtAOD 中，可得：AOD= ，DAO= ，OD= AO= ，可得：矢=42=2，由 AD=AOsin =4 =2 ，可得：弦=2AD=22 =4 ，所以：弧田面积= （弦矢 +矢 2）= （4 2+22）=4 9 平方米故答案为：B练习 1,。王小二一道题： 的值是多少？王小二微笑着告诉王小一：
9、就等于的值，你认为王小二说得对吗？_（对或不对）【答案】对.【解析】.所以说得对。（五）三角函数定义的应用例 5. 已知 为锐角，角 的终边过点 ， ，则 （ ）A B 或 C D【答案】D【解析】由角 的终边过点 ，得 ， ,.又 ，所以 ，故选: .练习 1. 若点 在第一象限， 则在 内 的取值范围是（ ）.A BC D【答案】A【解析】点 在第一象限， ，如下图所示：在 内 的取值范围是 ，本题选 A.练习 2.， ， ，则 的大小关系为（ ）A BC D【答案】D【解析】tan11sin1cos10，alog sin1cos1，blog sin1tan1，clog cos1sin1，
10、dlog cos1tan1，alog sin1cos1log sin1sin11，0c=log cos1sin1 logcos1cos1=1 ac 0又 lgtan10 lgsin1lgcos1，blog sin1tan1 logcos1tan1d0，0db综上可得：ac0dbbdca故选：D（六）三角函数中分段函数例 6. 设函数 ，若角 的终边经过 ，则 的值为（ ）A B1 C2 D4【答案】C【解析】因为角 的终边经过 ，所以 ，所以 ，则，故选 C练习 1. ，则 （ ）A B C D【答案】C【解析】根据题意， ，且 ，则 .故选：C（七）解三角不等式例 7. 使不等式 2sinx
11、0 成立的 x 的取值集合是( )A BC D【答案】C【解析】 2sinx0 解得：sin x进一步利用单位圆解得： （kZ）故选：C练习 1.四个命题：集合 若 则 的取值范围为 ；函数 只有一个零点;函数 的周期为 ；角 的终边经过点 ，若则 .这四个命题中，正确的命题有（ ）个.A1 B2 C3 D4【答案】A【解析】对于，A时，即 2m1mm1,当 A时， 1m2综上所述，m 的取值范围为 ；不对；对于，函数 的零点个数等价于方程 |log3x|的解的个数，在同一坐标系中画出函数 y 与 y|log 3x|的图象，如图所示：易判断其交点个数为 2 个，所以函数 有两个零点，不对；由
12、f（x+）|cos（x + ）|cos（x ）|f （x） ，可得函数 的周期为 ，故正确；对于，当 x=0 时， 但 可判错误.故选 A.（八）三角函数定义和弧度制的综合例 8. 28某公司拟设计一个扇环形状的花坛（如图所示） ，该扇环是由以点 O 为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点 O 的两条线段围成设圆弧 、 所在圆的半径分别为 r1、r 2 米，圆心角为 (弧度)（1）若 ，r 13，r 2 6，求花坛的面积；（2）根据公司要求扇环形状的花坛面积为 32 平方米，已知扇环花坛的直线部分的装饰费用为 45 元/米，弧线部分的装饰费用为 90 元/米，求当装饰费用最低时线段 AD 的长【答
13、案】 （1）9 ；（2）8.【解析】 （1）设花坛的面积为 S，则 S= r22 r12= 36 9 =9所以花坛的面积为 9（m 2）（2） 的长为 r1 米， 的长为 r2 米，线段 AD 的长为（r 2r 1）米由题意知 S= r22 r12= （r 1+r2） （r 2r 1）=32 ，则 r1+r2= ，记 r2r 1=x，则 x0，装饰总费用为 y，则 y=452（r 2r 1）+90（r 1+r2）=90 （x+ ）根据均值不等式得到当 x=8 时，y 有最小值为 1440，故当线段 AD 的长为 8 米时，花坛的装饰费用最小练习 1.某小区规划时，计划在周边建造一片扇形绿地，如
14、图所示已知扇形绿地的半径为 50 米，圆心角从绿地的圆弧边界上不同于 A，B 的一点 P 处出发铺设两条道路 PO 与 均为直线段 ，其中PC 平行于绿地的边界 记 其中当 时，求所需铺设的道路长：若规划中，绿地边界的 OC 段也需铺设道路，且道路的铺设费用均为每米 100 元，当 变化时，求铺路所需费用的最大值 精确到 1 元 【答案】 （1） ； （2） 元.【解析】 在 中， ， ，则 ，由正弦定理可得 ，可得 ，所需铺设的道路长为 .在 中，可得， ，可得 ， ，则铺路所需费用为，当 ， ， 取得最大值 1，则铺路所需费用的最大值为 元练习 2.如图所示，有一块扇形铁皮 ，要剪下来一个扇环 ，作圆台形容器的侧面，并且在余下的扇形 内剪下一块与其相切的圆形使它恰好作圆台形容器的下底面(大底面)试求：（1） 的长； （2）容器的容积参考公式：圆台的体积公式： 分别是上、下底面面积， 为台体的高）【答案】 （1） ；（2） .【解析】 （1）如图 1，设 与圆 相切与 ，设圆台上、下底面圆的半径分别为 、 ， ，在 中， ， ， （ ）.（2） ，圆台的轴截面为图 2，圆台的高即容器的容积为 .
