1、专题 07 三角化简的技巧与方法一、本专题要特别小心：1.角的范围问题2. 角的一致性问题3. 三角化简形式、名称、角的一致原则4.角成倍角的余弦之积问题 5.“1”的妙用6.辅助角的替换作用7. 角的范围对函数性质的影响8. 用已知角表示未知角问题二方法总结：1.三角函数的求值主要有三种类型，即给角求值、给值求值、给值求角.2.三角函数式的证明应从消去等式两端的差异去思考，或“从左证到右”或“从右证到左”或“从两边到中间”去具体操作.3.证明三角函数式恒等式，首先观察条件与结论的差异，从解决差异入手，确定从结论开始，通过变换将已知表达式代入得出结论，或变换已知条件得出结论，常用消去法等.三【
2、题型方法】（一）用已知角表示未知角1 （2018 年全国卷 II 文）已知 ，则 _【答案】 .【解析】： ，解方程得 .练习 1已知角 的顶点与原点 O 重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，它的终边过点 P（ ） （）求 sin（+）的值；（）若角 满足 sin（+）= ，求 cos 的值【答案】 （） ；（） 或 .【解析】 （）由角 的终边过点 得 ，所以 .（）由角 的终边过点 得 ，由 得 .由 得 ，所以 或 .点睛：三角函数求值的两种类型：(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数.(2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的
3、差异.一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.练习 2已知 为锐角， ， （1）求 的值；（2）求 的值【答案】 （1） ；（2）【解析】 （1）因为 ， ，所以 因为 ，所以 ，因此， （2）因为 为锐角，所以 又因为 ，所以 ，因此 因为 ，所以 ，因此， 点睛：应用三角公式解决问题的三个变换角度(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”.(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦” 、 “升幂与降幂”等.(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某
4、个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、 “逆用变用公式” 、 “通分约分”、 “分解与组合” 、 “配方与平方”等.练习 3已知 的内角 满足 ，则 的最大值为_【答案】【解析】 的内角 满足 ，且 ，即为钝角， ，又 ，即 ，当且仅当 时，取等号，故 的最大值为 ，故答案为 .（二） “1”的变通例 2. 已知 f(x) sin2x2sin sin .(1)若 tan 2 ，求 f()的值；(2)若 x ，求 f(x)的取值范围.【答案】 （1） ； （2） .【解析】(1)f(x)(sin 2xsin xcosx) 2sin cos sin 2xsin (sin 2xcos
5、2x)cos 2x (sin 2xcos 2x) .由 tan 2，得 sin 2 .cos 2 .所以 f() (sin 2cos 2) .(2)由(1)得 f(x) (sin 2xcos 2x) sin .由 x ，得 2x . sin 1，0f(x) ，所以 f(x)的取值范围是 .练习 1. 已知 ，则 （ ）A B C D【答案】B【解析】 ，故选 B。（三）降幂公式的灵活应用例 3. 已知函数 .（1）求函数 的单调递增区间；（2）求函数 在 上的零点.【答案】 （1） ； （2） .【解析】 （1） 令 ，得 ，函数 的单调递增区间为 .（2）由 ，得： . ， ， ， ，即函数
6、 在 上的零点是 .练习 1.cos475-sin475的值为（ ）A B C D【答案】A【解析】由题意，可知故选：A练习 2. 已知 f(x)= sin(x+ )cos(x+ )+ (x+ )- (| | ),若 f(0)= ,a=f( ),b=f( ） ，32cos13121-2c=f（ ） ，则（ ）524Aacb Babc Ccab Dcba【答案】B【解析】 12312cosxfxsinx3122sinxcosx26sin由题意得 102fsin ， ，356 ，解得 ，26026fxsin ，1132,626afsinbfi， 535326444bfi 选 Bac（四）特殊角的替
7、换作用例 4. （ ）A B C D【答案】D【解析】原式 故选:D.练习 1.A B C D1【答案】A【解析】由题意可得：.练习 2. 的值 【答案】1【解析】原式sin50 sin502sin502sin50 1.（五）辅助角公式的灵活应用例 5. ， ，若不论 取何值，对 任意总是恒成立，则 的取值范围是（ ）A B C D【答案】D【解析】 ， ；对 任意 总是恒成立，即 恒成立；等价于 在 恒成立，即 对任意 恒成立，设， ， ， ， ， ，故选 D.点睛：本题主要考查了三角函数的性质，函数恒成立问题等函数的综合应用，难度较大；对于不论 取何值，对 任意 总是恒成立，等价于 ，求三
8、角函数的最大值需通过三角运算公式将其化简为 ，最后利用分离参数的思想求参数 的取值范围.练习 1. 已知 ，则 _sin10cos2cs40mm【答案】 3【解析】由 得：sicscs31sin10o2102cos0in2m 整理得： 3m本题正确结果：练习 2. _【答案】32.【解析】因为所以故答案为：（六） 与 的关系sincoxsincxA例 6. (1)已知 ， ，求 的值；031os2cos(2)已知 ， ， ，求 的值.225)c(a13intan【答案】 （1） ；（2） .17cos9t6【解析】试题分析：（1）根据 结合已知条件可知，只需求22csosin(cosin)(c
9、osin)得 的值即可，因此可以考虑将已知等式 两边平方，得到 ，cosin 3182sinco9从而 ，再由 可知 ，2217(sinco)(sinco)4sinco9017cosin3从而 ；（2）已知条件中给出了 与22i(i)(si)的三角函数值，结合问题，考虑到 ，因此考虑采用两角和的正切公式进行求解，利用同角三角函数的基本关系，结合已知条件中给出的角的范围 易得 ，2025tan12，进而求得 .4an()3t 56314)tan(t 试题解析：（1） ， ， 3 分1sinco32 8(sico)sinco99 ， 4 分227(sinco)()4n又 ， ， ， ，0sin0c
10、os1sico3 ； 7 分22cosi(in)(in)9（2） 且 ， ， ， 9 分0135sin21cosi3sin5taco12 ， ，20又 ， ， ，05)cos(4sin()5， 11 分in()4a3t . 563124)t(t 练习 1.若 是三角形的最小内角，则函数 的最小值是（ ）A B C D【答案】A【解析】试题分析：因为 为三角形最小内角，所以 ，设 ，则， ，所以 ， ，当时，函数单调递减，所以当 时，函数取得最小值，最小值为 。练习 2.已知 （1）求 的值；（2）若 ，求 的值【答案】 （1） ；（2） .【解析】 （1） ， ，即 ， ；（2） ，又 ， ，
11、 ，则 （七）角的一致性例 7. 已知函数 有且仅有一个零点.（1）求 的值；（2）若 ，求 的值.【答案】 （1） . (2) .【解析】 （1）函数 有且仅有一个零点等价于关于 的方程有两个相等的实数根.所以 ，即整理得 ，即 .（2）因为所以 ，解得 ，又 ，所以由（1）得 ，且 ，所以 ，所以由 ， ，知故 .练习 1. （1）化简： （2）若 、 为锐角，且 ， ，求 的值【答案】 （1） ；（2） 【解析】试题分析：（1）根据诱导公式及同角三角函数关系式将其化简 （2）根据 、 为锐角，且， 可知 ， 也为锐角根据同角三角函数关系式可求得 的值由两角和差公式可求得 试题解析：解：（
12、1）（2）因为 、 为锐角，且 ，所以 ， （八）三角化简与数列综合例 8. 已知数列 前 项和为 ，满足 （ 为常数） ，且 ，设函数nanS2nab,92a，记 ，则数列 的前 17 项和为（ ）2()2siixfxnnyfnyA B C11 D17179【答案】D【解析】因为 ，2()2sinisinco1xfx x由 ，得 ，2nSab 21()()Sabnabab数列 为等差数列；，179211171 171717si2cosi2cosyffa.sincosin(2)co()aa则数列 的前 17 项和为 .y 121717.8()fffffa故选：D练习 1. 设等差数列 满足：
13、，公差 若当且仅当 时，数列 的前 项和 取得最大值，则首项 的取值范围是A B C D【答案】D【解析】由 ，得，则 ，由 ，对称轴方程为 ，由题意当且仅当 时，数列 的前 n 项和 取得最大值，解得 ，首项 的取值范围是 .故选：D.练习 2.设等差数列 满足 ，公差 ，若na222244484857sicoscosins1in()aaa1,0d当且仅当 时，数列 的前 项和 取得最大值，则首项 的取值范围是_.9S1【答案】,8【解析】222244484857sincoscosinsin()aaa2222484857i(1i)1s(a2222484857sincosini()484848
14、4857(sincosin)(sicosin)aaaa,数列 是等差数列，所以 ， ，所以有484857i()i()sn4857a48d，而 ，所以 ，因此 ，in()1d04(0,)d2d，对称轴为： ，由题意可21 1()()2286Sanaan162an知：当且仅当 时，数列 的前 项和 取得最大值，9nnS所以 ，解得 ，因此首项 的取值范围是 .168.5.52a198a1a9,8（九）向量与三角函数综合例 9. 已知 是锐角三角形 的外接圆的圆心，且 ，若 ，则 （ ）A B C D不能确定【答案】A【解析】设外接圆半径为 ，则 ,可化为 ，可知 与 的夹角为 ， 与 的夹角为 ，
15、与 的夹角为 ， ，对与 左右分别与 作数量积，可得：，即 ，即 ， ，且 ，故选 A. 练习 1. 如图，已知 是半径为 ，圆心角为 的扇形， 是该扇形弧上的动点， 是扇形的内接矩形，其中 在线段 上， 在线段 上，记 为 ,（1）若 的周长为 ，求 的值；（2）求 的最大值，并求此时 值【答案】 （1） ；（2）【解析】试题分析：（1）由条件利用直角三角形中的边角关系求出三角形的周长，利用三角函数的倍角公式进行化简进行求解；（2）结合向量的数量积公式，结合三角函数的带动下进行求解.试题解析：（1） ，由 ，得 ，平方得 ，即 ，解得 （舍）或 ，则.（2）由 ，得 ， ，则 ,， ， ，当
16、 ，即 时， 有最大值 .（十）三角换元例 10. 如果圆 上任意一点 都能使 成立，那么实数 的取值范围是( )A B C D【答案】C【解析】设圆上任意一点 的坐标为 ，即 ，即，即 ，又 ， 得到，则 ，故选 C.【方法点晴】本题主要考查圆的参数方程、利用辅助角公式求最值以及不等式恒成立问题，属于难题. 求最值问题往往先将所求问题转化为函数问题，然后根据:配方法、换元法、不等式法、三角函数法、图像法、函数单调性法求解，利用三角函数法求最值，首先将参数换元，然后利用辅助角公式及三角函数的有界性求解即可.练习 1. 在直角三角形 中， ， ， ，若 ，动点 满足 ，则的最小值是_【答案】【解析】建立如图所示的直角坐标系，由题意可得： ，据此可得： ， ， ，则： ，其中 ，当 时， 取到最小值 .练习 2. 函数 的值域是_2fxx【答案】 2,10【解析】由 ，得 ，可设 ，则 x2,x2cos,0x2cosyin， ， 时取最大值）510tan,sisimax10(， 函数 的值域为 ，故min10yii2,5f2,10答案为 . 2,
