1、素养提升练( 七)本试卷分第卷( 选择题)和第卷(非选择题)两部分满分 150 分，考试时间120 分钟第卷 (选择题，共 60 分)一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1(2019宣城二调 )复数 (i 是虚数单位)的虚部是( )i 51 iA3i B6i C3 D6答案 C解析 复数 23i. 复数 (i 是虚数单位)的虚部是 3.i 51 i i 51 i1 i1 i i 51 i故选 C.2(2019广东汕头模拟 )已知集合 A0,1,2，若 A ZB(Z 是整数集合)，则集合 B 可以为( )Ax|x2a，
2、aA B x|x2 a，aA Cx|xa1，aN Dx| x a2，aN答案 C解析 由题意知，集合 A0,1,2，可知x|x2a，aA0,2,4，此时A ZB1 ，A 不满足题意；x|x2 a，aA 1,2,4，则 A ZB0，B 不满足题意；x| xa1，aN 1,0,1,2，3，则A ZB，C 满足题意； x|xa 2，aN0,1,4,9,16， ，则 A ZB2，D 不满足题意故选 C.3(2019衡阳联考 )比较甲、乙两名学生的数学学科素养的各项能力指标值(满分为 5 分，分值高者为优)，绘制了如图所示的六维能力雷达图，例如图中甲的数学抽象指标值为 4，乙的数学抽象指标值为 5，则下
3、面叙述正确的是( )A乙的逻辑推理能力优于甲的逻辑推理能力B甲的数学建模能力指标值优于乙的直观想象能力指标值C乙的六维能力指标值整体水平优于甲的六维能力指标值整体水平D甲的数学运算能力指标值优于甲的直观想象能力指标值答案 C解析 甲的逻辑推理能力指标值为 4，优于乙的逻辑推理能力指标值 3，故 A 错误；甲的数学建模能力指标值为 3，乙的直观想象能力指标值为 5，所以乙的直观想象能力指标值优于甲的数学建模能力指标值，故 B 错误；甲的六维能力指标值的平均值为 (434534) ，乙的六维能力指标值的16 236平均值为 (543543)4，因为 4，故 C 正确；甲的数学运算能16 236力指
4、标值为 4，甲的直观想象能力指标值为 5，所以甲的数学运算能力指标值不优于甲的直观想象能力指标值，故 D 错误故选 C.4(2019东北三校模拟 )已知 cos ，则 sin ( )( 6) 13 (2 6)A B. C. D79 79 89 89答案 B解析 cos ， sin cos cos 12cos 2( 6) 13 (2 6) (2 6 2) (2 3) ( 6) .故选 B.795(2019达州一诊 )如图虚线网格的最小正方形边长为 1，实线是某几何体的三视图，这个几何体的体积为( )A4 B 2 C. D43答案 B解析 根据图中三视图可知几何体的直观图如图所示，为圆柱的一半，可
5、得几何体的体积为 1242. 故选 B.126(2019全国卷 )下列函数中，以 为周期且在区间 单调递增的是( )2 (4，2)Af(x) |cos2x | Bf(x)|sin2x|Cf(x)cos|x | Df(x) sin|x|答案 A解析 作出函数 f(x)|cos2x|的图象，如图由图象可知 f(x)|cos2x |的周期为 ，在区间 上单调递增2 (4，2)同理可得 f(x)|sin2x|的周期为 ，在区间 上单调递减，f (x)cos| x|的周2 (4，2)期为 2.f(x)sin|x |不是周期函数，排除 B，C，D. 故选 A.7(2019镇海中学模拟 )已知正项等比数列a
6、 n满足 a7a 62a 5，若存在两项 am，a n，使得 aman16a ，则 的最小值为( )211m 9nA. B. C. D.32 114 83 103答案 C解析 设正项等比数列a n的公比为 q，且 q0，由 a7a 62a 5，得 a6qa 6 ，2a6q化简得 q2q20，解得 q2 或 q1(舍去)，因为 aman16a ，所以(a 1qm1 )(a1qn1 )16a ，则 qmn2 16，解得21 21mn6，所以 (mn) ，1m 9n 16 (1m 9n) 16(10 nm 9mn) 16(10 2 nm9mn) 83故选 C.8(2019安徽芜湖二模 )一元线性同余
7、方程组问题最早可见于中国南北朝时期(公元 5 世纪 )的数学著作 孙子算经卷下第二十六题，叫做“物不知数”问题，原文如下：有物不知数，三三数之剩二，五五数之剩三，问物几何？即，一个整数除以三余二，除以五余三，求这个整数设这个整数为 a，当a2,2019时，符合条件的 a 共有( )A133 个 B134 个 C135 个 D136 个答案 C解析 由题设 a3m25n3，m，nN *，则 3m5n1.当 m5k ，n不存在；当 m5k 1，n 不存在；当 m5k 2，n3k1，满足题意；当m5k3，n 不存在；当 m5k 4，n 不存在；故 2a15k82019，解得k ，k Z，则 k0,1
8、,2，134，共 135 个故选 C. 615 2011159(2019湖南百所重点中学诊测)若变量 x，y 满足约束条件Error! 且a( 6,3)，则 z 仅在点 A 处取得最大值的概率为( )yx a ( 1，12)A. B. C. D.19 29 13 49答案 A解析 z 可以看作点(x ，y)和点(a,0)的斜率，直线 AB 与 x 轴交点为yx a(2,0)，当 a(2，1) 时，z 仅在点 A 处取得最大值，所以 Pyx a ( 1，12) .故选 A. 1 23 6 1910(2019肇庆二模 )已知 x1 是 f(x)x 2(a3)x2a3e x 的极小值点，则实数 a
9、的取值范围是( )A(1， ) B(1，)C(，1) D(，1)答案 D解析 根据题意求函数 f(x)的导数 f(x)，根据 x1 是 f(x)的极小值点，得出 x1 时 f(x)0 ，由此可得出实数 a 的取值范围函数f(x)x 2(a3)x 2a 3ex，则 f(x )x 2(a1)xae x，令 f(x )0，得 x2(a1)xa0，极值点是 x1 和 xa，仅当 a1，则实数 m 的取值范围是_答案 (，0) (e ，)解析 如图所示，可得 f(x)Error!的图象与 y1 的交点分别为(0,1)，(e,1)，f(m)1，则实数 m 的取值范围是 (，0) (e， )16(2019全
10、国卷 )已知双曲线 C： 1(a0，b0)的左、右焦点分别x2a2 y2b2为 F1， F2，过 F1 的直线与 C 的两条渐近线分别交于 A，B 两点若 ，F1A AB 0，则 C 的离心率为_F1B F2B 答案 2解析 解法一：由 ，F1A AB 得 A 为 F1B 的中点又O 为 F1F2 的中点，OABF2.又 0，F1B F2B F1BF290.OF2OB，OBF2OF 2B.又F 1OA BOF2， F1OA OF2B，BOF2OF 2B OBF2，OBF2 为等边三角形如图 1 所示，不妨设 B 为 .(c2， 32c)点 B 在直线 y x 上， ，ba ba 3离心率 e
11、2.ca 1 (ba)2解法二： 0，F1B F2B F1BF290.在 RtF1BF2 中，O 为 F1F2 的中点，|OF2| |OB|c .如图 2，作 BHx 轴于 H，由 l1 为双曲线的渐近线，可得 ，|BH|OH| ba且|BH| 2|OH| 2|OB| 2c 2， |BH|b，| OH|a，B(a，b)，F 2(c,0)又 ， A 为 F1B 的中点F1A AB OAF2B， ，c2a，ba bc a离心率 e 2.ca三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答(一)必
12、考题： 60 分17(本小题满分 12 分)(2019 湖南永州三模)已知数列 an的前 n 项和 Sn 满足 Sn2a nn( nN *)(1)证明：数列a n1为等比数列；(2)若数列b n为等差数列，且 b3a 2，b 7a 3，求数列 的前 n 项1bnbn 1和 Tn.解 (1)证明：当 n1 时，a 12a 11，a 11.当 n2 时，S n1 2a n1 (n1)，an2 an2a n1 1， an12(a n1 1) ，数列a n1是首项、公比都为 2 的等比数列(2)由(1)得，a n12 n，即 an2 n1，b33 ，b 7 7， b12d 3，b 16d7，b1d 1
13、， bnn， ，1bnbn 1 1nn 1 1n 1n 1Tn 1 .(1 12) (12 13) (1n 1n 1) 1n 118(本小题满分 12 分)(2019 汕头一模)我市南澳县是广东唯一的海岛县，海区面积广阔，发展太平洋牡蛎养殖业具有得天独厚的优势，所产的“南澳牡蛎”是中国国家地理标志产品，产量高、肉质肥、营养好，素有“海洋牛奶精品”的美誉根据养殖规模与以往的养殖经验，产自某南澳牡蛎养殖基地的单个“南澳牡蛎”质量(g)在正常环境下服从正态分布 N(32,16)(1)购买 10 只该基地的 “南澳牡蛎”，会买到质量小于 20 g 的牡蛎的可能性有多大？(2)2019 年该基地考虑增加
14、人工投入，现有以往的人工投入增量 x(万人)与年收益增量 y(万元)的数据如下：人工投入增量 x(万人) 2 3 4 6 8 10 13年收益增量 y(万元) 13 22 31 42 50 56 58该基地为了预测人工投入增量为 16 人时的年收益增量，建立了 y 与 x 的两个回归模型：模型：由最小二乘公式可求得 y 与 x 的线性回归方程： 4.1x 11.8；y 模型：由散点图的样本点分布，可以认为样本点集中在曲线：yb a 的附近，对人工投入增量 x 做变换，令 t ，则 ybta，且有x x2.5， 38.9，t y (ti )(yi )81.0 ， (ti )23.8.7 i 1
15、t y 7 i 1 t (1)根据所给的统计量，求模型中 y 关于 x 的回归方程 (精确到 0.1)；(2)根据下列表格中的数据，比较两种模型的相关指数 R2，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测人工投入增量为 16 人时的年收益增量回归模型 模型 模型回归方程 4.1 x11.8y yb ax(yi i)27 i 1 y 182.4 79.2附：若随机变量 ZN( ， 2)，则 P(379.2，即 ，模182.4 7 i 1 yi y 279.2 7 i 1 yi y 2型的 R2 小于模型，说明回归模型刻画的拟合效果更好当 x16 时，模型 的收益增量的预测值为21.3 14.421.
16、3 414.470.8(万元)，y 16这个结果比模型的预测精度更高、更可靠19(本小题满分 12 分)(2019 哈尔滨三中模拟)如图所示，在四棱台ABCD A1B1C1D1 中，AA 1底面 ABCD，四边形 ABCD 为菱形，BAD120，ABAA 12A 1B12.(1)若 M 为 CD 的中点，求证： AM平面 AA1B1B；(2)求直线 DD1 与平面 A1BD 所成角的正弦值解 (1)证明： 四边形 ABCD 为菱形，BAD120，连接 AC，则ACD为等边三角形，又M 为 CD 的中点， AMCD，由 CDAB，AMAB，AA1底面 ABCD，AM底面 ABCD，AMAA1，又
17、ABAA 1A， AM平面 AA1B1B.(2)四边形 ABCD 为菱形，BAD120，ABAA 12A 1B12，DM 1，AM ，AMD BAM90 ，3又AA 1底面 ABCD，分别以 AB，AM ，AA 1 为 x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 Axyz，则 A1(0,0,2)，B(2,0,0)，D(1， ，0)，D 1 ，3 ( 12，32，2) ， (3， ，0， (2,0，2)，DD1 (12， 32，2) BD 3 A1B 设平面 A1BD 的一个法向量 n(x，y ，z)，则有Error!Error!y x z，令 x1，则 n(1， ，1)，3 3 3直
18、线 DD1 与平面 A1BD 所成角 的正弦值 sin |cosn， | DD1 .|nDD1 |n|DD1 | 1520(本小题满分 12 分)(2019 南京市三模)在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C： 1(ab0)过点 ，离心率为 .A，B 分别是椭圆 C 的上、x2a2 y2b2 (1，22) 22下顶点，M 是椭圆 C 上异于 A，B 的一点(1)求椭圆 C 的方程；(2)若点 P 在直线 xy20 上，且 3 ，求 PMA 的面积；BP BM (3)过点 M 作斜率为 1 的直线分别交椭圆 C 于另一点 N，交 y 轴于点 D，且 D 点在线段 OA 上( 不包括端点 O，
19、A) ，直线 NA 与直线 BM 交于点 P，求 的值OD OP 解 (1)因为椭圆过点 ，离心率为 ，(1，22) 22所以 1， 1e 2 ，解得 a22，b 21，1a2 12b2 b2a2 12所以椭圆 C 的方程为 y 21.x22(2)由(1)知 B(0，1)，设 M(x0，y 0)，P(x，y )由 3 ，得(x，y1)3(x 0，y 01)，BP BM 则 x3x 0，y3y 02.又因为 P 在直线 xy 20 上，所以 y0x 0. 因为 M 在椭圆 C 上，所以 y 1，x202 20将代入上式，得 x .2023所以|x 0| ，从而| xP| ，63 6所以 SPMA
20、S PABS MAB 2 2 .12 6 12 63 263(3)解法一：由(1) 知，A(0,1)，B(0，1)设 D(0，m) ， 0m1，M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)因为 MN 的斜率为 1，所以直线 MN 的方程为 yx m，联立方程组Error! 消去 y，得 3x24mx2m 220 ，所以 x1x 2 ，x 1x2 .4m3 2m2 23直线 MB 的方程为 y x1，直线 NA 的方程为 y x1，y1 1x1 y2 1x2联立解得 yP .y1 1x2 y2 1x1y1 1x2 y2 1x1将 y1x 1m，y 2x 2m 代入，得yP2x1x2 mx1 x2
21、x2 x1x1 x2 mx2 x122m2 23 4m23 x2 x1 4m3 mx2 x1 . 43 x2 x1 4m3 mx2 x1 1m所以 (0，m)(x P，y P)my Pm 1.OD OP 1m解法二：A(0,1) ，B(0， 1)设 M(x0，y 0)，则 y 1.x202 20因为 MN 的斜率为 1，所以直线 MN 的方程为 yx x 0y 0，则D(0，y 0x 0)，联立方程Error! 消去 y，得 3x24(x 0 y0)x2(x 0y 0)220，所以 xNx 0 ，4x0 y03所以 xN ，y N ，x0 4y03 2x0 y03所以直线 NA 的方程为 y
22、x1 x1，yN 1xN 2x0 y0 34y0 x0直线 MB 的方程为 y x1，y0 1x0联立解得 yP .2y20 x20 x0 2y02y20 x20 x0y0 2x0 2y0又因为 y 1，x202 20所以 yP ，2 x0 2y02 x0 2y0y0 x0 1y0 x0所以 (0，y 0x 0)(xP，y P)(y 0x 0) 1.OD OP 1y0 x021(本小题满分 12 分)(2019 仙桃期末)已知函数 f(x) x2 axln x，其12 xe中 e 为自然对数的底数(1)当 a0 时，求证： x1 时，f(x)0；(2)当 a 时，讨论函数 f(x)的极值点个数
23、1e解 (1)证明：由 f(x )x a(ln x1) ，易知1ef 0，(1e)设 g(x)f(x)，则 g(x) ，x ax当 a0 时，g(x )0，又 f g 0，0 时，g(x)0，1e即 f(x)在 上递减，在 上递增，所以当 x1 时，f(x)f (1) (0，1e) (1e， ) 120 得证1e(2)由(1)可得，当 a0 时，f(x)当且仅当在 x 处取得极小值，无极大值，1e故此时极值点个数为 1；当 aa 0，g(x)在(a，) 上递增，1e 1e又 g 0，所以当 ax 时，g( x)0，即 f(x)总在 x 处取得极小值；又当 x0 且 x0 时，1e 1eg(x)
24、，所以存在唯一 x0(0，a)使得 g(x0) 0，且当 00，当 x00)与曲线 C1，C 2 分别交于 A，B 两点，设定点 M(2,0)，求3MAB 的面积解 (1)曲线 C1 的圆心为(2,0)，半径为 2，把互化公式代入可得曲线 C1 的极坐标方程为 4cos .设 Q(，)，则 P ，则有 4cos 4sin.(， 2) ( 2)所以曲线 C2 的极坐标方程为 4sin .(2)M 到射线 的距离为 d2sin ，3 3 3|AB| B A4 2( 1)，(sin3 cos3) 3则 S |AB|d3 .12 323(本小题满分 10 分)选修 45：不等式选讲(2019全国卷 )已知 f(x)|xa| x| x2|( xa) (1)当 a1 时，求不等式 f(x)0 的解集；(2)若 x( ，1) 时，f(x)0 ，求 a 的取值范围解 (1)当 a 1 时，f(x )| x1| x|x2|(x1)当 x1 时，f(x)2( x1) 20；当 x1 时， f(x)0.所以，不等式 f(x)0 的解集为(，1)(2)因为 f(a)0，所以 a1.当 a1，x(，1)时， f(x)(ax) x(2x)( xa)2(ax)(x1)0.所以，a 的取值范围是1，)
