1、素养提升练( 六)本试卷分第卷(选择题) 和第 卷( 非选择题)两部分满分 150 分，考试时间120 分钟第卷 (选择题，共 60 分)一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1(2019正定中学二模 )已知集合 A x|yln (x23x 4) ，B 0，全集 UR，则( RA)B( )x|x 2x 1A1,2 B1,2)(3,4C1,3) D1,1)2,4答案 D解析 集合 A 满足 x23x40，(x4)(x 1)0 ，则 Ax|x4 或x1 ， RAx|1x4 ，集合 B 满足 x2 或 x1，则( RA)B1,
2、1)2,4故选 D.2(2019马鞍山二中一模)已知 b2i( a，b R)，其中 i 为虚数单位，a 3ii则复数 zabi 在复平面内对应的点在( )A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限答案 B解析 由已知得 a3i(b2i)i2bi，由复数相等的充要条件可得Error!所以 zabi23i，所以复数 z23i 在复平面内对应点( 2,3)在第二象限，故选 B.3(2019江淮十校联考 )为了解户籍、性别对生育二胎选择倾向的影响，某地从育龄人群中随机抽取了容量为 200 的调查样本，其中城镇户籍与农村户籍各 100 人；男性 120 人，女性 80 人，绘制不同群体中倾向选择生育二
3、胎与倾向选择不生育二胎的人数比例图(如图所示)，其中阴影部分表示倾向选择生育二胎的对应比例，则下列叙述中错误的是( )A是否倾向选择生育二胎与户籍有关B是否倾向选择生育二胎与性别有关C倾向选择生育二胎的人群中，男性人数与女性人数相同D倾向选择不生育二胎的人群中，农村户籍人数少于城镇户籍人数答案 C解析 由比例图可知，是否倾向选择生育二胎与户籍、性别有关，倾向选择不生育二胎的人员中，农村户籍人数少于城镇户籍人数，倾向选择生育二胎的人员中，男性人数为 0.812096 人，女性人数为 0.68048 人，男性人数与女性人数不相同，所以 C 错误，故选 C.4(2019东北三校联考 )已知 cos
4、，则 sin ( )( 6) 13 (2 6)A B. C. D79 79 89 89答案 B解析 cos ， sin cos cos 12cos 2( 6) 13 (2 6) (2 6 2) (2 3) ( 6) .故选 B.795(2019太原五中模拟 )已知正项等比数列a n的前 n 项和为 Sn，且7S24S 4，则公比 q 的值为( )A1 B1 或 C. D12 32 32答案 C解析 若 q1，则 7S214a 1,4S416a 1，a 10，7S 24S 4，不符合题意；若 q1，由 7S24S 4，得 7 4 ，q 2 ，又a11 q21 q a11 q41 q 34q0，
5、q .故选 C.326(2019全国卷 )若 x1 ，x 2 是函数 f (x)sinx (0)两个相邻的极4 34值点，则 ( )A2 B. C1 D.32 12答案 A解析 由题意及函数 y sinx 的图象与性质可知，T ，T ， ， 2.故选 A.12 34 4 27(2019日照一中三模 )已知某几何体三视图如图所示，则该几何体的各条棱中最长棱的长度为( )A4 B5C. D.13 26答案 D解析 三视图还原的几何体是一个侧面垂直于底面的三棱锥，记为三棱锥ABCD ，如图，过点 A 作 AEBD 于点 E，过点 C 作 CFBD 于点 F，连接 CE，AF，由三视图可得，AE 4，
6、BD 4，BE 3，ED1，BF 2，FD2，CF3.所以CE2CF 2FE 29110，AC 2CE 2AE 2101626，AB 2BE 2AE 291625，AD 2AE 2 DE216117，BC 2DC 2FD 2CF 22 23 213，所以最长的棱为 AC，其长度为 .故选 D.268(2019常州高中模拟 )已知直线 l：2x y80 上的两点 A，B ，且|AB|4，点 P 为圆 D：x 2y 22x30 上任意一点，则PAB 的面积的最大值为( )A5 2 B2 33 5C4 2 D4 43 5答案 D解析 圆 D：x 2y 22x30 变形为(x1) 2y 24，可知圆心
7、 D(1,0)，D 到直线 AB 的距离 d 2 ，则圆上 P 点到直线的距离的最大值为 2| 2 8|22 12 52，可知( SPAB)max (2 2) 44 4，故选 D.512 5 59(2019吉林实验中学三模)已知函数 f (x)Error!满足x 1，x 2R 且都有0，则实数 a 的取值范围为( )fx1 fx2x1 x2A. B.(0，34) (34，1)C. D.18，34) 18，1)答案 C解析 由题意知 f (x)是减函数，故 Error!解得 a ，故选 C.18 3410(2019盐城二模 )已知在四面体 ABCD 中，ABAD BCCD BD 2，平面 ABD
8、平面 BDC，则四面体 ABCD 的外接球的表面积为( )A. B6 C. D8203 223答案 A解析 ABADBCCDBD2，所以ABD 与BDC 均为正三角形过正三角形 BDC 的中心 O1 作 OO1平面 BDC(O 为四面体 ABCD 的外接球的球心) 设 M 为 BD 的中点，外接球的半径为 R，连接 AM，CM，OA，过 O作 OGAM 于点 G，易知 G 为 ABD 的中心，则 OO1OGMO 1MG .MA2 ， MGOG ，GA .在直角三角形 AGO 中，32 3 13 3 33 233GA2GO 2 OA2，即 2 2R 2，R 2 ， 四面体 ABCD 的外接球的表
9、(233) ( 33) 53面积 S4R 2 .故选 A.20311(2019全国卷 )双曲线 C： 1(a0 ，b0)的一条渐近线的倾斜角x2a2 y2b2为 130，则 C 的离心率为 ( )A2sin40 B2cos40 C. D.1sin50 1cos50答案 D解析 由题意可得 tan130，所以 e ba 1 b2a2 1 tan2130 .故选 D.1 sin2130cos2130 1|cos130| 1cos5012(2019安庆一中模拟 )已知函数 f (x) x3 bx2cx 的导函数 f(x)是16 12偶函数，若方程 f(x )ln x0 在区间 上有两个不相等的实数根
10、，则实数1e，ec 的取值范围是 ( )A. B. 1 12e2， 12) 1 12e2， 12C. D.1 12e2， 12) 1 12e2， 12答案 A解析 f (x) x3 bx2cx ，f(x) x2bxc. f(x)是偶函数，16 12 12b0， f (x) x2c .12方程 f(x)ln x0 在区间 上有两个不相等的实数根， x2cln 1e，e 12x0 在区间 上有两个不相等的实数根，即 ln x x2c 在区间 上有两1e，e 12 1e，e个不相等的实数根，可化为 (x)ln x x2(x 0)的图象与 yc 的图象在区间12上有两个不同的交点 (x ) x ，当
11、x 时，(x)1e，e 1x 1 x2x 1e，1)0，(x) 在 上单调递增，当 x(1，e 时， (x)0， (x)在(1，e上单调1e，1)递减，x 时，(x) max (1) .又 1 ，(e)1e，e 12 (1e) 12e21 e2， (e)，1 c .故选 A.12 (1e) 12e2 12第卷 (选择题，共 90 分)二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13(2019济南一中模拟 )已知向量 a(3,4) ，b( 1，k)，且 ab，则a4b 与 a 的夹角为_答案 4解析 由 ab 可知 ab0，即34k0，k ，故34b ，a4b(3,4)4 (1,
12、7)，cos ，所以所( 1，34) ( 1，34) a 4ba|a 4b|a| 22成的角为 .414(2019洛阳一高二模 )已知实数 x，y 满足不等式组Error! 且目标函数z3x 2y 的最大值为 180，则实数 m 的值为_答案 60解析 当 m0 时，不符合题意；当 m0 时，画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，目标函数 z3x2y 可变形为 y x ，作出直线 y x 并平移，结合图32 z2 32象可知，当平移后的直线经过点 A(m,0)时，z3x 2y 取得最大值为 180，所以3m0180，解得 m60.15(2019浙江高考 )在ABC 中，ABC90 ，A
13、B4，BC3，点 D 在线段 AC 上若BDC45，则 BD_，cosABD_.答案 1225 7210解析 如图，易知 sinC ，45cosC .35在BDC 中，由正弦定理可得 ，BDsinC BCsinBDCBD .BCsinCsinBDC34522 1225由ABC ABDCBD90，可得 cosABDcos(90CBD)sinCBDsin ( CBDC) sin(C BDC)sinCcosBDCcos CsinBDC .45 22 35 22 721016(2019潍坊一中三模 )直线 l：x my2 经过抛物线 C：y 22px(p0)的焦点 F，与抛物线相交于 A，B 两点，过
14、原点的直线经过弦 AB 的中点 D，并且与抛物线交于点 E(异于原点 )，则 的取值范围是 _|OE|OD|答案 (2 ，)解析 因为 l：xmy2 恒过定点(2,0)，即抛物线 C：y 22px(p0)的焦点为 F (2,0)，所以抛物线 C 的方程为 y28x ，联立Error! 整理，得y28my160，0 恒成立，所以 y1y 28m， x1x 2m(y 1y 2)48m 24，所以弦 AB 的中点 D 的坐标为(4m 22,4m)，直线 OD 的方程为y x，即 y x，由题意可知，m0，与抛物线 C：y 28x 联立可4m4m2 2 2m2m2 1得 yE ，而 2 2.42m2
15、1m |OE|OD| |yE|yD| 2m2 1m2 1m2三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答(一)必考题： 60 分17(本小题满分 12 分)(2019 浙江名校高考联盟二模)已知数列 an1的前n 项和 Sn 满足 Sn2a n，nN *.(1)求证：数列a n1为等比数列，并求 an 关于 n 的表达式；(2)若 bnlog 2(an1)，求数列( an1)b n的前 n 项和 Tn.解 (1)证明：由题可知 Sn(a 11) (a 21)(a 31)(a n1)2a
16、n，即 a1a 2a 3a nn2a n.当 n1 时，a 112a 1，得 a11，当 n2 时，a 1a 2a 3a n1 n12a n1 ， ，得 an12a n2a n1 ，即 an2a n1 1，所以 an12(a n1 1)所以数列 an 1是首项为 2，公比为 2 的等比数列，所以 an122 n1 2 n，故 an2 n1.(2)由(1)知 bnlog 2(an1)log 22nn，则(a n 1)bn n2n，Tn12 12 2232 3(n1)2 n1 n 2n2Tn12 2 22332 4(n1)2 nn 2n1两式相减得T n2 12 22 32 nn2 n1 n2 n
17、1 2 n1 2n2 n22n 12 11 (1 n) 2n1 2所以 Tn2 (n1)2 n1 .18(本小题满分 12 分)(2019 长沙一模)为了解某校学生参加社区服务的情况，采用按性别分层抽样的方法进行调查已知该校共有学生 960 人，其中男生 560 人，从全校学生中抽取了容量为 n 的样本，得到一周参加社区服务时间的统计数据如表：超过 1 小时 不超过 1 小时男生 20 8女生 12 m(1)求 m，n；(2)能否有 95%的把握认为该校学生一周参加社区服务时间是否超过 1 小时与性别有关？(3)以样本中学生参加社区服务时间超过 1 小时的频率作为该事件发生的概率，现从该校学生
18、中随机调查 6 名学生，试估计这 6 名学生中一周参加社区服务时间超过 1 小时的人数附：P(K2k 0) 0.050 0.010 0.001k0 3.841 6.635 10.828K2 ，其中 nabcd.nad bc2a bc da cb d解 (1)根据分层抽样法，抽样比例为 ，n960 20 8560n48 ；m 4820 8128.(2)根据题意完善 22 列联表，如下：超过 1 小时 不超过 1 小时 合计男生 20 8 28女生 12 8 20合计 32 16 48计算 K2 0.68573.841，48208 128232162028所以没有 95%的把握认为该校学生一周参加
19、社区服务时间是否超过 1 小时与性别有关(3)参加社区服务时间超过 1 小时的频率为 ，3248 23用频率估计概率，从该校学生中随机调查 6 名学生，估计这 6 名学生中一周参加社区服务时间超过 1 小时的人数为 6 4(人)2319(本小题满分 12 分)(2019 山东菏泽模拟)如图，在四棱锥 PABCD 中，BCD，PAD 都是等边三角形，平面 PAD平面 ABCD，且AD2 AB4，CD2 .3(1)求证：平面 PAD平面 PCD；(2)E 是 AP 上一点，当 BE平面 PCD 时，求三棱锥 CPDE 的体积解 (1)证明：因为 AD4，AB 2，BD2 ，3所以 AD2AB 2B
20、D 2，所以 ABBD，ADB30.又因为BCD 是等边三角形，所以 BDC60，所以ADC90，所以DCAD.因为平面 PAD平面 ABCD，平面 PAD平面 ABCDAD ，所以 CD平面 PAD.因为 CD平面 PCD，所以平面 PCD平面 PAD.(2)过点 B 作 BGCD 交 AD 于点 G，连接 GE.因为 BGCD，BG 平面 PCD，CD平面 PCD，所以 BG平面 PCD.当 BE平面 PCD 时，因为 BGBEB，所以平面 BEG平面 PCD.因为 EG平面 BEG，所以 EG平面 PCD.又平面 PAD 平面 PDC PD，所以 EGPD，所以 .PEPA DGDA在直
21、角三角形 BGD 中，BD2 ，BDG30，3所以 DG2 cos303，3所以 ，PEPA DGDA 34在平面 PAD 内，过点 E 作 EHPD 于点 H.因为 CD平面 PAD，EH平面 PAD，所以 CDEH.因为 PDCDD，所以 EH平面 PCD，所以 EH 是点 E 到平面 PCD 的距离过点 A 作 AMPD 于点 M，则 AM 42 .32 3由 AMEH，得 ，所以 EH .EHAM PEPA 34 332因为 SPCD 42 4 ，12 3 3所以 VCPDE VEPDC 4 6.13 3 33220(本小题满分 12 分)(2019 全国卷 )已知曲线 C：y ，D
22、为直线x22y 上的动点，过 D 作 C 的两条切线，切点分别为 A，B .12(1)证明：直线 AB 过定点；(2)若以 E 为圆心的圆与直线 AB 相切，且切点为线段 AB 的中点，求(0，52)该圆的方程解 (1)证明：设 D ，A(x 1，y 1)，则 x 2y 1.(t， 12) 21由于 yx，所以切线 DA 的斜率为 x1，故 x 1.y1 12x1 t整理得 2tx12y 110.设 B(x2，y 2)，同理可得 2tx22y 210.故直线 AB 的方程为 2tx2y 10.所以直线 AB 过定点 .(0，12)(2)由(1)得直线 AB 的方程为 ytx .12由Error
23、!可得 x22tx10.于是 x1x 22t，y 1y 2t(x 1x 2)12t 21.设 M 为线段 AB 的中点，则 M .(t，t2 12)由于 ，而 ( t，t 22)， 与向量(1，t)平行，所以 t(t 22)t 0.解EM AB EM AB 得 t0 或 t1.当 t0 时，| |2，EM 所求圆的方程为 x2 24；(y 52)当 t1 时，| | ，EM 2所求圆的方程为 x2 22.(y 52)21(本小题满分 12 分)(2019 开封一模)设函数 f (x)(x 1)e x x2.k2(1)当 ke 时，求 f (x)的极值；(2)当 k0 时，讨论函数 f (x)的
24、零点个数解 (1)f(x)xe xkxx(e xk)，当 ke 时，f (x)x(e xe)，当 x0 或 x1 时，f(x)0，所以 f (x)在(，0)和(1 ，)上单调递增，当 0x1 时， f( x)0，所以 f (x)在(0,1) 上单调递减，f (x)的极大值为 f (0) 1，极小值为 f (1) .e2(2)当 0k1 时，令 f (x)0，解得 xln k 或 x0，f (x)在(， ln k)和(0，)上单调递增，在(ln k,0)上单调递减，当 k1 时， f( x)0，f (x)在(，) 上单调递增，当 0 k1 时，当 x(， 0)时，f (x)f (x)maxf (
25、ln k)(ln k 1)k ln2 k (ln k1)k2 k2210，此时 f (x)无零点，当 x0，) 时，f (0) 10，f (2)e 22ke 220，又 f (x)在0，)上单调递增，所以 f (x)在0，)上有唯一的零点，故函数 f (x)在定义域( ，)上有唯一的零点当 k1 时，令 f( x)0，解得 x0 或 xln k ，f (x)在(， 0)和(ln k，)上单调递增，在(0，ln k)上单调递减，当 x(， ln k)时，f (x)f (x )maxf ( 0)10 ，此时 f (x)无零点，当 xln k，)时，f (ln k)f (0)10，f (k1)ke
26、k 1 k ，kk 122 ek 1 k 122 令 g(t)e t t2，tk12，则 g(t)e tt，12令 h(t)g(t)，h(t) e t1，t2，h(t) 0，g(t)在(2，)上单调递增，g(t)g(2)e 220， g(t)在(2，)上单调递增，得 g(t)g(2)e 220，即 f (k1) 0，所以 f (x)在ln k，)上有唯一的零点，故函数 f (x)在定义域( ，)上有唯一的零点综合知，当 k0 时函数 f (x)在定义域(， )上有且只有一个零点(二)选考题： 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分22(本小题满分 10
27、 分)选修 44：坐标系与参数方程(2019山西太原模拟 )在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为Error!( 为参数 )，以坐标原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 sin 2 .( 6) 3(1)求曲线 C 的普通方程和直线 l 的直角坐标方程；(2)射线 OP 的极坐标方程为 (0)，若射线 OP 与曲线 C 的交点为6A，与直线 l 的交点为 B，求线段 AB 的长解 (1)由Error!可得Error!所以 x2(y 1)23cos 23sin 23，所以曲线 C 的普通方程为 x2(y 1) 23.由 sin 2 ，可得 2 ，
28、所以( 6) 3 ( 32sin 12cos) 3sin cos2 0 ，32 12 3所以直线 l 的直角坐标方程为 x y4 0.3 3(2)解法一：曲线 C 的方程可化为 x2y 22y20，所以曲线 C 的极坐标方程为 22sin20.由题意设 A ，B ，(1，6) (2，6)将 代入 22sin 20，可得 2 20，6所以 2 或 1(舍去 )，即 12，将 代入 sin 2 ，可得 4，即 2 4，6 ( 6) 3所以|AB| 1 2|2.解法二：因为射线 OP 的极坐标方程为 (0)，6所以射线 OP 的直角坐标方程为 y x(x0)，33由Error!解得 A( ，1)，3
29、由Error!解得 B(2 ，2)，3所以|AB| 2.23 32 2 1223(本小题满分 10 分)选修 45：不等式选讲(2019山东菏泽模拟 )已知函数 f (x)| x2| |2x1|.(1)求不等式 f (x)3 的解集；(2)若不等式 f (x)ax 的解集为空集，求实数 a 的取值范围解 (1)解法一：由题意 f (x)Error!当 x 时，f (x) 3x33，12解得 x0，即 0x ，12当 x2 时， f (x)x13，12解得 x2，即 x 2，12当 x2 时， f (x)3x33，解得 x2，即 x2.综上所述，原不等式的解集为0,2解法二：由题意 f (x)E
30、rror!作出 f (x)的图象如图所示，注意到当 x 0 或 x2 时， f (x)3，结合图象，不等式的解集为0,2(2)解法一：由(1) 可知，f (x)的图象如图所示，不等式 f (x)ax 的解集为空集可转化为 f (x)ax 对任意 xR 恒成立，即函数 yax 的图象始终在函数 yf (x)的图象的下方，当直线 yax 过点 A(2,3)以及与直线 y3x3 平行时为临界情况，所以3a ，即实数 a 的取值范围为 .32 3，32)解法二：不等式 f (x)ax 的解集为空集可转化为 f (x)ax 对任意 xR 恒成立，当 x 时， f (x)3x3ax，即(a3) x30 恒
31、成立，12若 a30，显然不符合题意，若 a30，即 a3，则30 恒成立，符合题意，若 a30，即 a3，只需(a3) 30 即可，解得 a3，又123a，所以3a3.当 x2 时，f (x)x1ax，即(a1) x10 恒成立，12若 a10，即 a1，则(a1)x 10 恒成立，符合题意，若 a10，即 a1，则10 恒成立，符合题意，若 a10，即 a1，只需(a1)210 即可，解得 a ，故 1a32 32所以 a .32当 x2 时， f (x)3x3ax，即(a3) x30 恒成立，若 a30，即 a3，只需(a3)230 即可，解得 a ，故 a ，32 32若 a30，即 a3，显然不符合题意，若 a30，即 a3，则(a3)x 30 恒成立，不符合题意，所以 a .32综上所述，3a ，32即实数 a 的取值范围为 . 3，32)
