1、素养提升练( 八)本试卷分第卷(选择题) 和第 卷( 非选择题)两部分满分 150 分，考试时间120 分钟第卷 (选择题，共 60 分)一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1(2019江西分宜中学、玉山一中、临川一中等九校联考)已知m，nR，集合 A2 ，log 7m，集合 B m，n，若 AB1，则 mn( )A1 B2 C4 D8答案 D解析 因为 AB1 ，则 log7m1，m7，Bm，n7，n ，n1，则 mn8.故选 D.2(2019无锡一中三模 )已知 i 为虚数单位，且复数 z 满足 z(1i)2i 2
2、019，则 的值为( )|z 12 i|A. B.12 52C. D232答案 B解析 z(1i)2i 2019，z i，2 i20191 i 2 i1 i 2 i1 i2 12 32 ，故选 B.|z 12 i| |1 12i| 1 14 523(2019厦门一中三模 )古希腊数学家阿基米德用穷竭法建立了这样的结论：“任何由直线和抛物线所包围的弓形，其面积都是其同底同高的三角形面积的三分之四”如图，已知直线 x2 交抛物线 y2 4x 于 A，B 两点，点 A，B 在y 轴上的射影分别为 D，C.从长方形 ABCD 中任取一点，则根据阿基米德这一理论，该点位于阴影部分的概率为( )A. B.
3、12 13C. D.23 25答案 B解析 在抛物线 y24x 中，取 x2，可得 y2 ，S 矩形 ABCD8 ，由2 2阿基米德理论可得弓形面积为 8 ，则阴影部分的面积为43 12 2 1623S8 .由测度比为面积比可得，该点位于阴影部分的概率为 21623 823 82382.故选 B.134(2019全国卷 )在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测甲：我的成绩比乙高乙：丙的成绩比我和甲的都高丙：我的成绩比乙高成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为( )A甲、乙、丙 B乙、甲、丙C丙、乙、甲 D甲、丙、乙答案 A解析 由于三人
4、成绩互不相同且只有一个人预测正确若甲预测正确，则乙、丙预测错误，于是三人按成绩由高到低的次序为甲、乙、丙；若甲预测错误，则甲、乙按成绩由高到低的次序为乙、甲，又假设丙预测正确，则乙、丙按成绩由高到低的次序为丙、乙，于是甲、乙、丙按成绩由高到低排序为丙、乙、甲，从而乙的预测也正确，与事实矛盾；若甲、丙预测错误，则可推出乙的预测也错误综上所述，三人按成绩由高到低的次序为甲、乙、丙故选 A.5(2019梧州一模 )函数 f (x) (e 是自然对数的底数 )的图象大ex 1ln x2ex 1致为( )答案 A解析 f (x)的定义域是x|x0，关于原点对称，f (x) f (x)，则函数 f (x)
5、是奇函e x 1ln x2e x 1 1 exln x21 ex ex 1ln x2ex 1数，图象关于原点对称，排除 B，C.当 x1 时，f (x )0，排除 D，故选 A.6(2019莱阳一中一模 )已知ABC 中，sin A2sinB cosC0， bc，则3tanA 的值是 ( )A. B. C. D.33 233 3 433答案 A解析 sinA2sinBcosC0， sin(BC)2sin BcosC0，3sinBcos CcosBsinC0，由 cosB0，cosC0，化为3tanB tanC，又 b c， B 为锐角，C 为钝角， tanAtan(BC)3 ，当且仅当 tan
6、B 时，取等tanB tanC1 tanBtanC 2tanB1 3tan2B 21tanB 3tanB 223 33 33号， tanA 的最大值是 .337(2019莆田三模 )已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A. B. C. D.154 133 173 112答案 C解析 根据几何体的三视图可知，该几何体为正方体截去一个三棱锥与一个三棱柱，则该几何体的体积为 V2 3 2222 11 .故选 C.13 12 12 1738(2019四川二诊 )在数列a n中，已知 a11，且对于任意的 m，nN *，都有 amn a ma nmn，则数列a n的通项公式为 ( )A
7、a nn Ba nn1Ca n Da nnn 12 nn 12答案 D解析 令 m1，得an1 a nn1，a n1 ann1， a2a 12， a3a 23，a na n1 n， an 12 34 n， an1234 n .故选 D.nn 129(2019湖北六市联考 )将直线 xy10 绕点(1,0)沿逆时针方向旋转 15得到直线 l，则直线 l 与圆(x3) 2y 24 的位置关系是( )A相交 B相切C相离 D相交或相切答案 B解析 依题意得，直线 l 的倾斜角为 150，所以直线 l 的方程是 ytan150(x 1) (x1)，即 x y10，圆心( 3,0)到直线 l 的距离33
8、 3d 2，故直线 l 与圆相切| 3 1|3 110(2019上饶一模 )已知定义在 R 上的函数满足 f (x1)f (x1)，f (x)Error!若关于 x 的不等式 f (x)a( x2018)0 在(2018,2020 上恒成立，则实数 a 的取值范围为( )A( ，2 B(，2)C. D.( ，52 ( ，52)答案 C解析 f (x) Error!可得当 0x 1 时，f (x)递增，且 f (x)(4， 3；当 1x2 时，f (x)ln (x1) 55.由 f (x1)f (x1)，可得 f (x2)f (x)，即 f (x)的最小正周期为 2，关于 x 的不等式 f (x
9、)a(x2018)0 在 (2018,2020上恒成立，即 f (x)在(2018,2020上的图象在直线 ya( x2018)的下方可得当 2018x2019 时，f (x)2 x2018 5(4，3；当 2019x2020 时，f (x)ln (x2019)55，如上图，直线 ya(x 2018)恒过定点 (2018,0)，当直线经过点(2020， 5)时，即 52a，解得 a ，由图象可得 a 时，直线恒在 f (x)52 52在(2018,2020上图象的上方，故选 C.11(2019徐州一中二模 )已知正三棱柱 ABCA 1B1C1 中，所有棱长为4，M， N 分别为 AB，BC 上
10、的点，且满足 AMBN ，当三棱锥 B1BMN 的体积最大时，三棱锥 B1BMN 的外接球的表面积为( )A. B4133C. D.163 643答案 D解析 正三棱柱 ABCA 1B1C1 中，所有棱长为 4，ABC60，设AMBNx(0x4)，则 V 4 (4 x)xsin (4x)x B1 BMN 13 12 3 23 32 232 ，当且仅当 4xx 即 x2 时取等号，可知 BMN 为等腰三32(4 x x2 ) 433角形，R ，S4R 24 2 ，故选 D.22 (233)2 43 433 (433) 64312(2019北大附中一模 )已知函数 f( x)是奇函数 f (x)(
11、xR )的导函数，且满足当 x0 时，ln xf( x) f (x)，则(x2019)f (x)0 的解集为( )1xA( 1,0) (1,2019)B(2019，1)(1,2019)C(0,2019)D( 1,1)答案 C解析 设 g(x)ln xf (x)，则 g(x) f (x)ln xf(x )0，可知函数 g(x)1x在 x0 时单调递减，又 g(1)0，可知函数 g(x) ln xf (x)在(0,1) 上大于零，且ln x0，可知 f (x)0；在(1，) 上，g(x)0)上4x的一个动点，则点 P 到直线 xy 0 的距离的最小值是_答案 4解析 解法一：由题意可设 P (x0
12、0)，(x0，x0 4x0)则点 P 到直线 xy 0 的距离 d 4，|x0 x0 4x0|2|2x0 4x0|222x04x02当且仅当 2x0 ，即 x0 时取等号故所求最小值是 4.4x0 2解法二：设 P (x00)，则曲线在点 P 处的切线的斜率为 k1(x0，4x0 x0).令 1 1，结合 x00 得 x0 ，P( ，3 )，曲线 yx (x0)上的4x20 4x20 2 2 2 4x点 P 到直线 xy 0 的最短距离即为此时点 P 到直线 xy0 的距离，故dmin 4.| 2 32|216(2019扬州中学模拟 )已知双曲线 1( a0，b0)的左、右焦点x2a2 y2b
13、2分别为 F1，F 2，直线 MN 过 F2，且与双曲线右支交于 M，N 两点，若cosF 1MN cosF 1F2M， ，则双曲线的离心率等于_|F1M|F1N| 12答案 2解析 如图，由 cosF1MNcosF 1F2M 可得F 1MNF 1F2M，|F1M|F 1F2|2c ，|F1N|2|F 1M|4c ，由双曲线的定义可得|MF 2|2c 2a，| NF2|4c2 a，|MN|6c4a，在F 1MN 中，由余弦定理得cosF1MN2c2 6c 4a2 4c222c6c 4a ，3c2 6ac 2a2c3c 2a在F 1F2M 中，由余弦定理得cosF1F2M ，2c2 2c 2a2
14、 2c222c2c 2a c a2ccosF1MNcos F1F2M， ，整理得 3c27ac2a 20，3c2 6ac 2a2c3c 2a c a2c3e27e20，解得 e 2 或 e (舍去)13双曲线的离心率等于 2.三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答(一)必考题： 60 分17(本小题满分 12 分)(2019 太原一模)如图，已知 ABC 的内角A，B，C 的对边分别是 a，b，c，且 asinA(c a)sinCbsinB ，点 D 是 AC 的中点，DE AC
15、，交 AB 于点 E，且 BC2，DE .62(1)求 B；(2)求ABC 的面积解 (1)asinA(c a)sinCbsinB，且 ，可得：a 2c 2acb 2，asinA bsinB csinC由余弦定理得：cosB ，a2 c2 b22ac 120B ，B60.(2)连接 CE，如图， D 是 AC 的中点，DEAC，AECE ，CEAE ，DEsinA 62sinA在BCE 中，由正弦定理得 ，CEsinB BCsinBEC BCsin2A ， cosA ，62sinAsin60 22sinAcosA 220A180，A45，ACB75，BCEACBACE30，BEC90，CEAE
16、 ，ABAEBE 1，3 3SABC ABCE .12 3 3218(本小题满分 12 分)(2019 东北三省三校三模)哈师大附中高三学年统计学生的最近 20 次数学周测成绩(满分 150 分)，现有甲、乙两位同学的 20 次成绩如茎叶图所示(1)根据茎叶图求甲、乙两位同学成绩的中位数，并将同学乙的成绩的频率分布直方图填充完整；(2)根据茎叶图比较甲、乙两位同学数学成绩的平均值及稳定程度(不要求计算出具体值，给出结论即可)；(3)现从甲、乙两位同学不低于 140 分的成绩中任意选出 2 个成绩，记事件A 为“ 其中 2 个成绩分别属于不同的同学”，求事件 A 发生的概率解 (1)甲同学成绩的
17、中位数是 119，乙同学成绩的中位数是 128.乙116 1222的成绩的频率分布直方图补充后如图(2)从茎叶图可以看出，乙同学成绩的平均分比甲同学成绩的平均分高，且乙同学的成绩比甲同学的成绩更稳定集中(3)甲同学不低于 140 分的成绩有 2 个设为 a，b，乙同学不低于 140 分的成绩有 3 个，设为 c，d，e .现从甲、乙两位同学不低于 140 分的成绩中任意选出 2 个有：(a，b)，(a，c)，( a， d)，(a，e) ， (b，c)，(b，d)，(b，e )， (c，d)，(c，e)，(d，e )，共10 种，其中 2 个成绩分属不同同学的情况有：(a，c) ，(a，d)，(
18、a，e)，(b，c )，(b，d)，( b，e )，共 6 种因此事件 A 发生的概率 P(A) .610 3519(本小题满分 12 分)(2019 株洲一模)如图，平面 ABCD平面 ADEF，其中四边形 ABCD 为矩形，四边形 ADEF 为直角梯形，AFDE ，AF FE，AF2EF2DE2.(1)求证：平面 BFD平面 ABCD；(2)若三棱锥 BADF 的体积为 ，求 BD 与平面 BAF 所成角的正弦值13解 (1)证明：如图，作 DHAF 于 H，AFFE，AF 2EF 2DE2.四边形 DEFH 是正方形，HFDH1，HDF45，AF2， AH1，ADH45.ADF90 ，即
19、 DFAD，平面 ABCD平面 ADEF，AD 为两个面的交线，FD平面 ABCD.平面 BFD平面 ABCD.(2)因为平面 ABCD平面 ADEF，ABAD，所以 AB平面 ADEF，V BADF SADFAB 21AB ，13 13 12 13所以 AB1，又 AD2AF 2DF 22 222，BD AB2 AD2 3连接 BH，易知 DBH 为 BD 与平面 BAF 所成的角，在直角BDH 中，BD ，DH 1，3sinDBH ，13 33所以 BD 与平面 BAF 所成角的正弦值为 .3320(本小题满分 12 分)(2019 天津高考)设椭圆 1(a b0)的左焦点x2a2 y2b
20、2为 F，左顶点为 A，上顶点为 B.已知 |OA|2| OB|(O 为原点)3(1)求椭圆的离心率(2)设经过点 F 且斜率为 的直线 l 与椭圆在 x 轴上方的交点为 P，圆 C 同时34与 x 轴和直线 l 相切，圆心 C 在直线 x4 上，且 OCAP.求椭圆的方程解 (1)设椭圆的半焦距为 c，由已知有 a2b，又由 a2b 2c 2，消去 b3得 a2 2c 2，解得 .(32a) ca 12所以，椭圆的离心率为 .12(2)由(1)知，a2c，b c，故椭圆方程为 1.3x24c2 y23c2由题意，F ( c,0)，则直线 l 的方程为 y (xc )34点 P 的坐标满足Er
21、ror! 消去 y 并化简，得到 7x26cx13c 20，解得 x1c，x 2 .13c7代入到 l 的方程，解得 y1 c，y 2 c.32 914因为点 P 在 x 轴上方，所以 P .(c，32c)由圆心 C 在直线 x4 上，可设 C(4，t)因为 OCAP，且由(1)知 A(2c,0) ，故 ，解得 t2.t4 32cc 2c因为圆 C 与 x 轴相切，所以圆 C 的半径为 2.又由圆 C 与 l 相切，得 2，可得 c2.|344 c 2|1 (34)2所以，椭圆的方程为 1.x216 y21221(本小题满分 12 分)(2019 济宁二模)已知函数 f (x)xln xax
22、在 xx 0处取得极小值1.(1)求实数 a 的值；(2)设 g(x)xf (x)b( b0)，讨论函数 g(x)的零点个数解 (1)易知函数 f (x)的定义域为(0，)，f(x)ln x1a.函数 f (x)x ln xax 在 xx 0 处取得极小值1，Error!解得Error!当 a1 时，f(x )ln x，则当 x(0,1)时，f(x)0，x (1，)时，f(x)0，f (x)在 (0,1)上单调递减，在(1 ，)上单调递增，当 x1 时，函数 f (x)取得极小值 1，a 1.(2)由(1)知函数 g(x)xf (x)bx 2ln xx 2b，定义域为 (0，)g(x)2xln
23、 xx 2x 2x .(ln x 12)令 g(x) 0，得 x ，易得 g(x)在(0， )上单调递减，在( ，)上e e e单调递增，当 x 时，函数 g(x)取得极小值(也是最小值)b .当 b 0，即 bee2 e2时，函数 g(x)没有零点e2当 b 0，即 b 时，函数 g(x)有一个零点e2 e2当 b 0，即 0b 时，g(e)b0.e2 e2g( )g(e)0 ，e故存在 x1( ，e)，使 g(x1)0，eg(x)在( ，e)上有一个零点 x1.e设 h(x)ln x 1，x(0,1)，1x则 h(x) .1x 1x2 x 1x2当 x(0,1)时，h(x)0，h(x)在(
24、0,1)上单调递减h(x)h(1)0，即当 x(0,1)时，ln x1 .1x当 x(0,1)时，g(x )x 2ln xx 2bx 2 x 2bbx.(1 1x)取 xb,1 min，则 g(x) 0，g( )g(x)0，e存在 x2(x， )，使函数 g(x2)0，g(x)在(x ， )上有一个零点 x2，e eg(x)在(0 ， )上有两个零点 x1，x 2，综上可得，当 b 时，函数 g(x)没有零点，e2当 b 时，函数 g(x)有一个零点，e2当 0b 时，函数 g(x)有两个零点e2(二)选考题： 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分2
25、2(本小题满分 10 分)选修 44：坐标系与参数方程(2019合肥市第一次教学质量检测)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的方程为Error!( 为参数 )以坐标原点 O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 2cos .(1)求 C1，C 2 交点的直角坐标；(2)设点 A 的极坐标为 ，点 B 是曲线 C2 上的点，求AOB 面积的最大(4，3)值解 (1)C 1：x 2y 21，C 2： 2cos ， 22cos ，x2y 22x.联立方程组Error! 解得Error!或Error!所求交点的坐标为 ， .(12，32) (12， 32)(2)设
26、B(，)，则 2cos ，AOB 的面积 S |OA|OB|sinAOB 12 12|4sin(3 )| |4cossin(3 )|2cos(2 6) 3|当 时， Smax2 .2312 323(本小题满分 10 分)选修 45：不等式选讲(2019合肥市第一次教学质量检测)设函数 f (x)| x1|.(1)若 f (x)2x2，求实数 x 的取值范围；(2)设 g(x)f (x )f (ax)( a1)，若 g(x)的最小值为 ，求 a 的值12解 (1)f (x )2x 2，即| x1|22x，当 x1 时，原不等式化为 x122x，解得 x ；13当 x1 时，原不等式化为 x12x2，无解实数 x 的取值范围是 .(13， )(2)a1， 1 ，1ag(x)Error!易知函数 g(x)在 x 上单调递减，在 x 上单调递增，( ， 1a ( 1a， )g(x)ming 1 .( 1a) 1a1 ，解得 a2.1a 12
