1、素养提升练( 七)本试卷分第卷(选择题) 和第 卷( 非选择题)两部分满分 150 分，考试时间120 分钟第卷 (选择题，共 60 分)一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1(2019吉林实验中学一模)在复平面内与复数 z 所对应的点关于实2i1 i轴对称的点为 A，则 A 对应的复数为( )A1i B1i C 1i D1i答案 B解析 复数 z 1i，复数 z 的共轭复数是 1i，就2i1 i 2i1 i1 i1 i是复数 z 所对应的点关于实轴对称的点为 A 对应的复数，故选 B.2i1 i2(2019永州三模
2、)已知集合 A0,1,2,3,4，B|x|e x1 1，则 AB ( )A1,2,3,4 B2,3,4C3,4 D4答案 B解析 因为 ex1 1e 0，所以，x10，即 x 1，集合 A 中大于 1 的有2,3,4，故 AB2,3,43(2019衡阳联考 )为比较甲、乙两名学生的数学学科素养的各项能力指标值(满分为 5 分，分值高者为优)，绘制了如图所示的六维能力雷达图，例如图中甲的数学抽象指标值为 4，乙的数学抽象指标值为 5，则下面叙述正确的是( )A乙的逻辑推理能力优于甲的逻辑推理能力B甲的数学建模能力指标值优于乙的直观想象能力指标值C乙的六维能力指标值整体水平优于甲的六维能力指标值整
3、体水平D甲的数学运算能力指标值优于甲的直观想象能力指标值答案 C解析 对于选项 A，甲的逻辑推理能力指标值为 4，优于乙的逻辑推理能力指标值为 3，所以该命题是假命题；对于选项 B，甲的数学建模能力指标值为 3，乙的直观想象能力指标值为 5，所以乙的直观想象能力指标值优于甲的数学建模能力指标值，所以该命题是假命题；对于选项 C，甲的六维能力指标值的平均值为 (434534) ，乙的六维能力指标值的平均值为16 236(5 43 543) 4，因为 4，所以选项 C 正确；对于选项 D，甲的16 236数学运算能力指标值为 4，甲的直观想象能力指标值为 5，所以甲的数学运算能力指标值不优于甲的直
4、观想象能力指标值，故该命题是假命题故选 C.4(2019西安中学二模 )若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为( )A. B. C. D.12 32 34 64答案 A解析 由题意，椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，即2ca，所以椭圆的离心率 e ，故选 A.ca 125(2019郑州一中三模 )已知函数 f (x)Error!则不等式 f (x)1 的解集为( )A( ，2 B(，0(1,2C0,2 D(，01,2答案 D解析 当 x 1 时，f (x)1，即 log2x1，解得 1x 2；当 x1 时，f (x)1，即 1，解得 x 0，综上可得
5、，原不等式的解集为 (，01,2，11 x故选 D.6(2019河北衡水中学一模)若将函数 f (x)sinxcos (0)的图(x 6)象向左平移 个单位长度后的图象关于 y 轴对称，则当 取最小整数时，函数 f 6(x)的图象的一个对称中心是 ( )A. B.(43，0) (53，0)C. D.(3，0) ( 23，0)答案 B解析 因为 f (x)sinxcos sin x cosx sinx sinx(x 6) 32 12 12cosxsin ，又将函数 f (x)的图象向左平移 个单位长度后的图象关于32 (x 3) 6y 轴对称，所以函数 f (x)的图象关于直线 x 对称，则 k
6、 (kZ)，6 6 3 2即 6k1(k Z)因为 0，所以 min1，此时 f (x)sin ，令(x 3)x k(kZ)，得 xk (kZ)，易知 B 正确3 37(2019聊城一模 )数学名著九章算术中有如下问题：“今有刍甍(mng)，下广三丈，袤(mo)四丈；上袤二丈，无广；高一丈，问：积几何？ ”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊状的楔体，下底面宽 3 丈，长 4 丈；上棱长 2 丈，高 1 丈，问它的体积是多少？”现将该楔体的三视图给出，其中网格纸上小正方形的边长为 1 丈，则该楔体的体积为(单位：立方丈)( )A5.5 B5 C6 D6.5答案 B解析 根据三视图可知，该几何体是三
7、棱柱，截去两个三棱锥，如图所示：结合图中数据，计算该几何体的体积为VV 三棱柱 2V 三棱锥 3142 3115(立方丈)故选12 13 12B.8(2019浙江高考 )若实数 x，y 满足约束条件Error!则 z3x2y 的最大值是( )A1 B1 C10 D12答案 C解析 如图，不等式组表示的平面区域是以 A(1,1)，B (1，1)，C(2,2)为顶点的ABC 区域(包含边界)作出直线 y x 并平移，知当直线32y x 经过 C(2,2)时， z 取得最大值，且 zmax322210.故选 C.32 z29(2019吉林模拟 )已知角 的顶点与坐标原点 O 重合，始边与 x 轴的非
8、负半轴重合，在 的始边上有点 A，终边上有点 B(m ，2m)(m0)，满足|OA|OB |，若OAB ，则 ( )sin2 2sin21 cos2A. B2 C4 D112答案 D解析 根据题意知 22k (kZ)，所以tan2tan(2k )tan2，即 2.整理得2tan1 tan2tantan 21，所以 tantan 21.故选 D.sin2 2sin21 cos2 2sincos 2sin22cos210(2019九江二模 )勒洛三角形是由德国机械工程专家、机构运动学家勒洛(1829 1905)首先发现，所以以他的名字命名，其作法为：以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两
9、个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形现在勒洛三角形内部随机取一点，则此点取自等边三角形内部的概率为( )A. B.2 332 3 32 3C. D.32 3 2 332 3答案 B解析 如图，设 BC2，以 B 为圆心的扇形的面积为 ，226 23ABC 的面积为 22 ，勒洛三角形的面积为 3 个扇形面积减12 32 3去 2 个正三角形的面积，即 32 2 2 ，故在勒洛三角形中随机取一23 3 3点，则此点取自正三角形的概率为 ，故选 B.32 23 32 311(2019启东中学一模 )若椭圆 1 和双曲线 1 的共同焦点x225 y216 x24 y25为 F1，
10、F2，P 是两曲线的一个交点，则 |PF1|PF2|的值为 ( )A. B84 C3 D21212答案 D解析 依据题意作出椭圆与双曲线的图象如下图所示：由椭圆的方程 1，可得 a 25，a 15，x225 y216 21由椭圆的定义可得|PF 1| |PF2|2a 110.由双曲线的方程 1，可得 a 4，a 22，x24 y25 2由双曲线的定义可得|PF 1|PF 2|2a 24.联立方程，解得|PF 1|7，|PF 2|3，所以|PF 1|PF2|3721，故选 D.12(2019江西分宜中学、玉山一中、临川一中等九校联考)已知定义在 R上的函数 f (x)是奇函数，且满足 f f (
11、x)，f (2)2，数列 an满足(32 x)a11，且 2 1(S n 为a n的前 n 项和) ，则 f (a5)( )Snn annA3 B2 C3 D2答案 D解析 函数 f (x)是奇函数，f (x)f (x )f f (x )f (3x)f f (x)f (x)f (x)是以 3 为(32 x) (32 x)周期的周期函数数列a n满足 a11，且 2 1，a 11，且Snn annSn2a nn， a531， f (a5)f (31)f (2) f (2)2.故选 D.第卷 (选择题，共 90 分)二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13(2019衡水二中
12、模拟 )已知函数 f (x)Error!则 f _.f( 254)答案 1e3解析 因为 f sin 2 tan 1 ，所以( 254) ( 254) ( 254) 12 32f e e 3 .(32)1e314(2019江苏高考 )如图，长方体 ABCDA 1B1C1D1 的体积是 120，E 为CC1 的中点，则三棱锥 EBCD 的体积是_ 答案 10解析 设长方体中 BCa，CDb，CC 1c，则 abc120，VEBCD ab c abc10.13 12 12 11215(2019天津高考 )在四边形 ABCD 中，ADBC ，AB 2 ，AD 5，A 30 ，点 E 在线段 CB 的
13、延长线上，且3AEBE，则 _.BD AE 答案 1解析 AD BC，且 DAB30，ABE30.又AEBE，EAB30.E120.在AEB 中， AEBE2. ( )( )BD AE BA AD AB BE 2 BA BA BE AD AB AD BE 122 2cos3052 cos3052cos1803 312615101.16(2019辽南一模 )若直线 yx1 是曲线 f (x)x aln x(aR)的切线，1x则 a 的值是_答案 1解析 设切点的横坐标为 x0，f(x )1 1x 0 a ，1x2 ax x2 ax 1x2 1a 1x0则有 f (x0)x 0 aln x0x 0
14、1 ln x0x 010，令 h(x)ln 1x0xx1h( x) 1 0x1，1x则 h(x)在(0,1)上单调递增，在(1，)上单调递减，又因为 h(1) 0，所以 x01a1.三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答(一)必考题： 60 分17(本小题满分 12 分)(2019 石家庄一模)已知ABC 的面积为 3 ，且内3角 A， B，C 依次成等差数列(1)若 sinC3sinA，求边 AC 的长；(2)设 D 为 AC 边的中点，求线段 BD 长的最小值解 (1) ABC
15、 的三个内角 A，B，C 依次成等差数列，B 60.设 A，B ，C 所对的边分别为 a，b，c，由 ABC 的面积 S3 acsinB312可得 ac12.sinC 3sinA，由正弦定理知 c3a，a2，c6.在ABC 中， b2a 2c 2 2accosB28，b2 .7即 AC 的长为 2 .7(2)BD 是 AC 边上的中线， ( )，BD 12BC BA 2 ( 2 22 ) (a2c 22accos ABC) (a2c 2ac)BD 14BC BA BC BA 14 14 (2acac)9，当且仅当 ac 时取“”，14| | 3，即 BD 长的最小值为 3.BD 18(本小题满
16、分 12 分)(2019 云南师大附中一模)互联网时代的今天，移动互联快速发展，智能手机(Smartphone)技术不断成熟，价格却不断下降，成为了生活中必不可少的工具中学生是对新事物和新潮流反应最快的一个群体之一逐渐地，越来越多的中学生开始在学校里使用手机手机特别是智能手机在让我们的生活更便捷的同时也会带来一些问题，同学们为了解手机在中学生中的使用情况，对本校高二年级 100 名同学使用手机的情况进行调查针对调查中获得的“每天平均使用手机进行娱乐活动的时间”进行分组整理得到如图所示的饼图注：图中 i(i1,2，7)(单位：小时) 代表分组为 i1，i)的情况(1)求饼图中 a 的值；(2)假
17、设同一组中的每个数据可用给定区间的中点值代替，试估计样本中的100 名学生每天平均使用手机的平均时间在第几组？(只需写出结论)(3)从该校随机选取一名同学，能否根据题目中所给信息估计出这名学生每天平均使用手机进行娱乐活动小于 3.5 小时的概率？若能，请算出这个概率；若不能，请说明理由解 (1)由饼图得 100%6% 9%27%12%14%3%29%.(2)假设同一组中的每个数据可用给定区间的中点值代替，估计样本中的100 名学生每天平均使用手机的平均时间在第 4 组(3)样本是从高二年级抽取的，根据抽取的样本只能估计该校高二年级学生每天使用手机进行娱乐活动的平均时间，不能估计全校学生情况，若
18、抽取的同学是高二年级的学生，则可以估计这名同学每天平均使用手机小于 3.5 小时的概率大约为 0.48，若抽到高一、高三的同学则不能估计19(本小题满分 12 分)(2019 全国卷) 如图，长方体 ABCDA 1B1C1D1 的底面 ABCD 是正方形，点 E 在棱 AA1 上，BE EC 1.(1)证明：BE平面 EB1C1；(2)若 AEA 1E，AB3，求四棱锥 EBB 1C1C 的体积解 (1)证明：由已知得 B1C1平面 ABB1A1，BE平面 ABB1A1，故 B1C1BE.又BEEC1，B 1C1EC 1C 1，所以 BE平面 EB1C1.(2)由(1)知BEB 190.由题设
19、知 RtABERtA1B1E，所以AEB A1EB145，故 AEAB3，AA 12AE6.如图，作 EFBB1，垂足为 F，则 EF平面 BB1C1C，且 EFAB3.所以四棱锥 EBB 1C1C 的体积V 36318.1320(本小题满分 12 分)(2019 烟台一模)已知 F 为抛物线 C：y 22px(p0)的焦点，过 F 的动直线交抛物线 C 于 A，B 两点当直线与 x 轴垂直时，|AB|4.(1)求抛物线 C 的方程；(2)设直线 AB 的斜率为 1 且与抛物线的准线 l 相交于点 M，抛物线 C 上存在点 P 使得直线 PA，PM，PB 的斜率成等差数列，求点 P 的坐标解
20、(1)因为 F ，在抛物线方程 y22px 中，令 x ，可得 yp.(p2，0) p2于是当直线与 x 轴垂直时， |AB|2p4，解得 p 2.所以抛物线的方程为 y2 4x.(2)因为抛物线 y24x 的准线方程为 x1，由题意可得直线 AB 的方程为 yx1，所以 M(1， 2)联立Error!消去 x，得 y24y40.设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，则 y1y 24，y 1y24.若点 P(x0，y 0)满足条件，则 2kPMk PAk PB，即 2 ，y0 2x0 1 y0 y1x0 x1 y0 y2x0 x2因为点 P，A，B 均在抛物线 C 上，所以 x0 ，x
21、 1 ，x 2 .y204 y214 y24代入化简可得 ，2y0 2y20 4 2y0 y1 y2y20 y1 y2y0 y1y2将 y1y 24，y 1y24 代入，解得 y02.将 y02 代入抛物线方程，可得 x01.于是点 P 的坐标为(1,2) 或 (1，2)21(本小题满分 12 分)(2019 汉中二模)已知函数 f (x) kx(kR)ln xx(1)当 k0 时，求曲线 yf (x)在点(1，f ( 1)处的切线方程；(2)若 f (x)0 恒成立，求 k 的取值范围解 (1)当 k0 时，f (x) ，则 f(x ) ，ln xx 1 ln xx2f (1)0，f(1)
22、1，曲线 yf (x)在点(1，f (1)处的切线方程为 yx 1.(2)若 f (x)0 对 x(0，)恒成立，即 k 对 x0 恒成立，ln xx2设 g(x) ，可得 g(x) ，ln xx2 1 2ln xx3由 g(x) 0，可得 x ，e当 0x 时，g(x)0，g(x) 单调递增；e当 x 时，g(x)0，g(x) 单调递减eg(x)在 x 处取得极大值，且极大值也是最大值为 ，k 的取值范围为e12e.(12e， )(二)选考题： 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分22(本小题满分 10 分)选修 44：坐标系与参数方程(2019郑
23、州二模 )以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 2cos23 2sin212，直线 l 的参数方程为Error!( t 为参数) 直线 l 与曲线 C 分别交于 M，N 两点(1)若点 P 的极坐标为(2，) ，求|PM|PN| 的值；(2)求曲线 C 的内接矩形周长的最大值解 (1)已知曲线 C 的标准方程为 1，P 的直角坐标为 (2,0)，x212 y24将直线 l 的参数方程Error!与曲线 C 的标准方程 1 联立，得x212 y24t2 t40，则|PM |PN| t1t2|4.2(2)由曲线 C 的标准方程为 1，可设曲线 C 上的动点x
24、212 y24A(2 cos，2sin )，则以 A 为顶点的内接矩形的周长为 4(2 cos2sin)3 316sin ，0 .( 3) 2因此该内接矩形周长的最大值为 16，当且仅当 时等号成立623(本小题满分 10 分)选修 45：不等式选讲(2019郑州二模 )设函数 f (x)| ax1| |xa|(a0)，g(x)x 2x.(1)当 a1 时，求不等式 g(x)f (x)的解集；(2)已知 f (x)2 恒成立，求 a 的取值范围解 (1)当 a 1 时，f (x)|x1|x 1|Error!当 x1 时，由 x2x2x，得 x1.当1x1 时，由 x2 x2，得 x1 或 x2，舍去当 x1 时，由 x2x2x，得 x3.综上，原不等式的解集为x| x1 或 x3(2)f (x)|ax1|xa|Error!当 0a1 时，由 f (x)minf (a)a 212，得 a1；当 a1 时，f (x) minf a 2，所以 a1；综上， a1，)( 1a) 1a
