1、1直角三角形与勾股定理一、选择题1（2018山西3 分） “算 经 十 书 ”是 指汉 唐 一 千 多 年 间 的十部 著 名 数 学 著作 ， 它们 曾 经 是 隋 唐 时 期国子 监 算 学 科的教科书，这些流传下来的古算书中凝聚着历代数学家的劳动成果. 下列四部著作中，不属于我 国 古 代 数 学 著 作 的是（ ）A. 九 章 算 术 B. 几 何 原 本 C. 海岛算经 D. 周髀算经【 答 案 】 B【 考 点 】数 学 文 化【 解 析】 几何原本的作者是欧几里得2 （2018山东滨州3 分）在直角三角形中，若勾为 3，股为 4，则弦为（ ）A5 B6 C7 D8【分
2、析】直接根据勾股定理求解即可【解答】解：在直角三角形中，勾为 3，股为 4，弦为 =5故选：A【点评】本题考查了勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方3. （2018湖北省孝感3 分）如图，菱形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点O，AC=10，BD=24，则菱形 ABCD 的周长为（ ）2A52 B48 C40 D20【分析】由勾股定理即可求得 AB 的长，继而求得菱形 ABCD 的周长【解答】解：菱形 ABCD 中，BD=24，AC=10，OB=12，OA=5，在 RtABO 中，AB= =13，菱形 ABCD 的周长 =4AB=52
3、，故选：A【点评】此题考查了菱形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握菱形的性质，属于中考常考题型4. （2018山东青岛3 分）如图，三角形纸片 ABC，AB=AC，BAC=90，点 E 为 AB 中点沿过点 E 的直线折叠，使点 B 与点 A 重合，折痕现交于点 F已知 EF= ，则 BC 的长是（ ）A B C3 D【分析】由折叠的性质可知B=EAF=45，所以可求出AFB=90，再直角三角形的性3质可知 EF= AB，所以 AB=AC 的长可求，再利用勾股定理即可求出 BC 的长【解答】解：沿过点 E 的直线折叠，使点 B 与点 A 重合，B=EAF=45
4、，AFB=90，点 E 为 AB 中点，EF= AB，EF= ，AB=AC=3，BAC=90，BC= =3 ，故选：B【点评】本题考查了折叠的性质、等腰直角三角形的判断和性质以及勾股定理的运用，求出AFB=90是解题的关键5. （2018四川自贡4 分）如图，若ABC 内接于半径为 R 的O，且A=60，连接OB、OC，则边 BC 的长为（ ）A B C D【分析】延长 BO 交圆于 D，连接 CD，则BCD=90，D=A=60；又 BD=2R，根据锐角三角函数的定义得 BC= R【解答】解：延长 BO 交O 于 D，连接 CD，则BCD=90，D=A=60，CBD=30，BD=2
5、R，DC=R，BC= R，故选：D4【点评】此题综合运用了圆周角定理、直角三角形 30角的性质、勾股定理，注意：作直径构造直角三角形是解决本题的关键6. （2018台湾分）如图 1 的矩形 ABCD 中，有一点 E 在 AD 上， 今以 BE 为折线将 A 点往右折，如图 2 所示，再作过 A 点且与 CD 垂直的直线，交 CD 于 F 点，如图 3 所示，若AB=6 ，BC=13 ，BEA=60，则图 3 中 AF 的长度为何？（ ）A2 B4 C2 D4【分析】作 AHBC 于 H则四边形 AFCH 是矩形，AF=CH，AH=CF=3 在 RtABH 中，解直角三角形即可解决问
6、题；【解答】解：作 AHBC 于 H则四边形 AFCH 是矩形，AF=CH，AH=CF=3 在 RtAHB 中，ABH=30，BH=ABcos30=9，CH=BCBH=139=4，AF=CH=4，故选：B【点评】本题考查翻折变换、矩形的性质、勾股定理、解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型7. （2018台湾分）如图，坐标平面上，A、B 两点分别为圆 P 与 x 轴、y 轴的交点，有一直线 L 通过 P 点且与 AB 垂直，C 点为 L 与 y 轴的交点若 A、B、C 的坐标分别为（a，0） ， （0，4） ， （0，5） ，其中 a0，则
7、 a 的值为何？（ ）5A2 B2 C8 D7【分析】连接 AC，根据线段垂直平分线的性质得到 AC=BC，根据勾股定理求出 OA，得到答案【解答】解：连接 AC，由题意得，BC=OB+OC=9，直线 L 通过 P 点且与 AB 垂直，直线 L 是线段 AB 的垂直平分线，AC=BC=9，在 RtAOC 中，AO= =2 ，a0，a=2 ，故选：A【点评】本题考查的是垂径定理、坐标与图形的性质以及勾股定理，掌握垂径定理的推论是解题的关键8.（2018湖北黄冈3 分）如图，在 RtABC 中，ACB=90，CD 为 AB 边上的高，CE 为AB 边上的中线，AD=2，CE=5，则 C
8、D=A.2 B.3 C.4 D.2 36（第 5 题图）【考点】直角三角形斜边上的中线的性质，勾股定 理。【分析】由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得 CE=AE=5，又知 AD=2，可得DE=AE-AD=5-2=3，在 RtCDE 中，运用勾股定理可得直角边 CD 的长。【解答】解：在 RtABC 中，ACB=90，CE 为 AB 边上的中线，CE=AE=5，又AD=2，DE=AE-AD=5-2=3，CD 为 AB 边上的高CDE=90，CDE 为
9、RtCD= DEC2= 352=4故选 C.【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线的性质，勾股定理。得出 DE 的长是解题的关键。9. （2018广西桂林3 分）如图，在正方形 ABCD 中，AB=3，点 M 在 CD 的边上，且DM=1，AEM 与 ADM 关于 AM 所在的直线对称，将 ADM 按顺时针方向绕点 A 旋转 90得到 ABF，连接 EF，则线段 EF 的长为（ ）A. 3 B. C. D. 【答案】C【解析】分析：连接 BM.证明AFEAMB 得 FE=MB，再运用勾
10、股定理求出 BM 的长即可.7详解：连接 BM，如图，由旋转的性质得：AM=AF.四边形 ABCD 是正方形，AD=AB=BC=CD，BAD=C=90,AEM 与 ADM 关于 AM 所在的直线对称，DAM=EAM.DAM+BAM=FAE+EAM=90,BAM=EAF,AFEAMBFE=BM.在 RtBCM 中，BC=3，CM=CD-DM=3-1=2,BM= FE= .故选 C.点睛：本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等也考查了正方形的性质10 （2018 四川省泸州市 3 分） “赵爽弦图”巧妙地利用面积
11、关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形设直角三角形较长直角边长为 a，较短直角边长为 b若 ab=8，大正方形的面积为 25，则小正方形的边长为（ ）A9 B6 C4 D3【分析】由题意可知：中间小正方形的边长为：ab，根据勾股定理以及题目给出的已知8数据即可求出小正方形的边长【解答】解：由题意可知：中间小正方形的边长为：ab，每一个直角三角形的面积为： ab= 8=4，4 ab+（ab） 2=25，（ab） 2=2516=9，ab=3，故选：D【点评】本题考查勾股定理，解题的关键是熟练运用勾股定理以及
12、完全平方公式，本题属于基础题型二.填空题1.（2018湖北黄冈3 分）如图，圆柱形玻璃杯高为 14cm，底面周长为 32cm，在杯内壁离杯底 5cm 的点 B 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿 3cm 与蜂蜜相对的点 A 处，则蚂蚁从外壁 A 处到内壁 B 处的最短距离为_cm（杯壁厚度不计）.（第 13 题图）【考点】平面展开-最短路径问题【分析】将圆柱体侧面展开，过 B 作 BQEF 于 Q，作 A 关于 EH 的对称点 A，连接 AB交 EH 于 P，连接 AP，则 AP+PB 就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，求出 AQ，BQ，根据勾股定理求出 AB 即可9【解答】解：沿过
13、A 的圆柱的高剪开，得出矩形 EFGH，过 B 作 BQEF 于 Q，作 A 关于 EH的对称点 A，连接 AB 交 EH 于 P，连接 AP，则 AP+PB 就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，AE=AE，AP=AP，AP+PB=AP+PB=AB，BQ= 2132cm=16cm，AQ=14cm-5cm+3cm=12cm，在 RtAQB 中，由勾股定理得：AB= 126=20cm.故答案为：20.【点评】本题考查了平面展开-最短路径问题将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键同时也考查了同学们的创造性思维能力 2. （2018天津3 分）如图，在边长为 4 的等边 中， ， 分别为
14、， 的中点，于点 ， 为 的中点，连接 ，则 的长为_10【答案】【解析】分析：连接 DE，根据题意可得 DEG 是直角三角形，然后根据勾股定理即可求解DG 的长.详解：连接 DE，D、E 分别是 AB、BC 的中点，DEAC，DE= ACABC 是等边三角形，且 BC=4DEB=60,DE=2 EFAC，C=60,EC=2FEC=30，EF=DEG=180-60-30=90G 是 EF 的中点，EG= . 在 RtDEG 中，DG= 故答案为： .点睛：本题主要考查了等边三角形的性质，勾股定理以及三角形中位线性质定理，记住和熟练运用性质是解题的关键.3 （2018天津3 分）如图
15、，在每个小正方形的边长为 1 的网格中， 的顶点 ， 均在格点上.11（1） 的大小为 _（度） ；（2）在如图所示的网格中， 是 边上任意一点. 为中心，取旋转角等于 ，把点逆时针旋转，点 的对应点为 .当 最短时，请用无刻度的直尺，画出点 ，并简要说明点 的位置是如何找到的（不要求证明）_【答案】 (1). ； (2). 见解析【解析】分析：（1）利用勾股定理即可解决问题；（2）如图，取格点 ， ，连接 交 于点 ；取格点 ， ，连接 交 延长线于点 ；取格点 ，连接 交 延长线于点 ，则点 即为所求.详解：（1）每个小正方形的边长为
16、1，AC= ，BC= ，AB= , ABC 是直角三角形，且C=90故答案为 90；（2）如图，即为所求.点睛：本题考查作图-应用与设计、勾股定理等知识，解题的关键是利用数形结合的思想解决问题，学会用转化的思想思考问题.4. （2018四川自贡4 分）如图，在ABC 中，AC=BC=2，AB=1，将它沿 AB 翻折得到12ABD，则四边形 ADBC 的形状是 菱 形，点 P、E、F 分别为线段 AB、AD、DB 的任意点，则PE+PF 的最小值是 【分析】根据题意证明四边相等即可得出菱形；作出 F 关于 AB 的对称点 M，再过 M 作MEA
17、D，交 ABA 于点 P，此时 PE+PF 最小，求出 ME 即可【解答】解：ABC 沿 AB 翻折得到ABD，AC=AD，BC=BD，AC=BC，AC=AD=BC=BD，四边形 ADBC 是菱形，故答案为菱；如图作出 F 关于 AB 的对称点 M，再过 M 作 MEAD，交 ABA 于点 P，此时 PE+PF 最小，此时PE+PF=ME，过点 A 作 ANBC，ADBC，ME=AN，作 CHAB，13AC=BC，AH= ，由勾股定理可得，CH= ， ，可得，AN= ，ME=AN= ，PE+PF 最小为 ，故答案为 【点评】此题主要考查路径和最短问题，会结合轴对称的知识和“垂线段最短”的基本事
18、实分析出最短路径是解题的关键5.（2018山东青岛3 分）如图，已知正方形 ABCD 的边长为 5，点 E、F 分别在 AD、DC上，AE=DF=2，BE 与 AF 相交于点 G，点 H 为 BF 的中点，连接 GH，则 GH 的长为 【分析】根据正方形的四条边都相等可得 AB=AD，每一个角都是直角可得BAE=D=90，然后利用“边角边”证明ABEDAF 得ABE=DAF，进一步得AGE=BGF=90，从而知 GH= BF，利用勾股定理求出 BF 的长即可得出答案【解答】解：四边形 ABCD 为正方形，BAE=D=90，AB=AD，在ABE 和DAF 中， ，ABE
19、DAF（SAS） ，14ABE=DAF，ABE+BEA=90，DAF+BEA=90，AGE=BGF=90，点 H 为 BF 的中点，GH= BF，BC=5、CF=CDDF=52=3，BF= = ，GH= BF= ，故答案为： 【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形两锐角互余等知识，掌握三角形全等的判定方法与正方形的性质是解题的关键6. （ 2018江苏盐城3 分）如图，在直角 中， ， ， ， 、 分别为边 、 上的两个动点，若要使 是等腰三角形且 是直角三角形，则 _16.【答案】 或 【考点】等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质 【解析】
20、 【解答】解：当BPQ 是直角三角形时，有两种情况：BPQ=90 度，BQP=90 度。在直角 中， ， ， ，则 AB=10，AC：BC：AB=3:4:5.( 1 )当BPQ=90 度，则BPQBCA，则 PQ：BP：BQ=AC：BC：AB=3:4:5，设 PQ=3x，则 BP=4x，BQ=5x，AQ=AB-BQ=10-5x，15此时AQP 为钝角，则当APQ 是等腰三角形时，只有 AQ=PQ，则 10-5x=3x，解得 x= ，则 AQ=10-5x= ；（ 2 ）当BQP =90 度，则BQPBCA，则 PQ：BQ：BP=AC：BC：AB=3:4:5，设 PQ=3x，则 BQ=4x，BP=
21、5x，AQ=AB-BQ=10-4x，此时AQP 为直角，则当APQ 是等腰三角形时，只有 AQ=PQ，则 10-4x=3x，解得 x= ，则 AQ=10-4x= ；故答案为： 或 【分析】要同时使 是等腰三角形且 是直角三角形，要先找突破口，可先确定当APQ 是等腰三角形时，再讨论BPQ 是直角三角形可能的情况；或者先确定BPQ 是直角三角形，再讨论APQ 是等腰三角形的情况；此题先确定BPQ 是直角三角形容易一些：BPQ 是直角三角形有两种情况，根据相似的判定和性质可得到BQP 与BCA 相似，可得到BQP 三边之比，设出未知数表示出三边的长度，再讨论APQ 是等腰三角形时，是哪两条相等，构
22、造方程解出未知数即可，最后求出 AQ。三.解答题1、 （2018湖北省宜昌8 分）如图，在ABC 中，AB=AC，以 AB 为直径的圆交 AC 于点D，交 BC 于点 E，延长 AE 至点 F，使 EF=AE，连接 FB，FC（1）求证：四边形 ABFC 是菱形；（2）若 AD=7，BE=2，求半圆和菱形 ABFC 的面积【分析】 （1）根据对角线相互平分的四边形是平行四边形，证明是平行四边形，再根据邻边相等的平行四边形是菱形即可证明；（2）设 CD=x，连接 BD利用勾股定理构建方程即可解决问题；【解答】 （1）证明：AB 是直径，AEB=90，AEBC，AB=AC，16BE=CE，AE=E
23、F，四边形 ABFC 是平行四边形，AC=AB，四边形 ABFC 是菱形（2）设 CD=x连接 BDAB 是直径，ADB=BDC=90，AB 2AD 2=CB2CD 2，（7+x） 27 2=42x 2，解得 x=1 或8（舍弃）AC=8，BD= = ，S 菱形 ABFC=8 【点评】本题考查平行四边形的判定和性质、菱形的判定、线段的垂直平分线的性质勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型2. （2018湖南省永州市10 分）如图，在ABC 中，ACB=90，CAB=30，以线段AB 为边向外作等边ABD，点 E 是线段
24、 AB 的中点，连接 CE 并延长交线段 AD 于点 F（1）求证：四边形 BCFD 为平行四边形；（2）若 AB=6，求平行四边形 BCFD 的面积【分析】 （1）在 RtABC 中，E 为 AB 的中点，则 CE= AB，BE= AB，得到BCE=EBC=60由AEFBEC，得AFE=BCE=60又D=60，得AFE=D=60 度所以 FCBD，又因为BAD=ABC=60，所以 ADBC，即 FDBC，则四边形 BCFD 是平行四边形（2）在 RtABC 中，求出 BC，AC 即可解决问题；【解答】 （1）证明：在ABC 中，ACB=90，CAB=30，ABC=60在等边ABD 中，BAD
25、=60，BAD=ABC=6017E 为 AB 的中点，AE=BE又AEF=BEC，AEFBEC在ABC 中，ACB=90，E 为 AB 的中点，CE= AB，BE= ABCE=AE，EAC=ECA=30，BCE=EBC=60又AEFBEC，AFE=BCE=60又D=60，AFE=D=60FCBD又BAD=ABC=60，ADBC，即 FDBC四边形 BCFD 是平行四边形（2）解：在 RtABC 中，BAC=30，AB=6，BC= AB=3，AC= BC=3 ，S 平行四边形 BCFD=3 =9 【点评】本题考查平行四边形的判定和性质、直角三角形斜边中线定理、等边三角形的性质、解直角三角形、勾股
26、定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型3. （2018 年江苏省泰州市12 分）对给定的一张矩形纸片 ABCD 进行如下操作：先沿 CE 折叠，使点 B 落在 CD 边上（如图），再沿 CH 折叠，这时发现点 E 恰好与点 D 重合（如图）18（1）根据以上操作和发现，求 的值；（2）将该矩形纸片展开如图，折叠该矩形纸片，使点 C 与点 H 重合，折痕与 AB 相交于点 P，再将该矩形纸片展开求证：HPC=90；不借助工具，利用图探索一种新的折叠方法，找出与图中位置相同的 P 点，要求只有一条折痕，且点 P 在折痕上，请简要说明折叠方法（不需说明理由）【分析】（1
27、）依据BCE 是等腰直角三角形，即可得到 CE= BC，由图，可得 CE=CD，而 AD=BC，即可得到 CD= AD，即 = ；（2）由翻折可得，PH=PC，即 PH2=PC2，依据勾股定理可得 AH2+AP2=BP2+BC2，进而得出AP=BC，再根据 PH=CP，A=B=90，即可得到 RtAPHRtBCP（HL），进而得到CPH=90；由 AP=BC=AD，可得ADP 是等腰直角三角形，PD 平分ADC，故沿着过 D 的直线翻折，使点 A 落在 CD 边上，此时折痕与 AB 的交点即为 P；由BCE=PCH=45，可得BCP=ECH，由DCE=PCH=45，可得PCE=DCH，进而得到
28、 CP 平分BCE，故沿着过点 C 的直线折叠，使点 B 落在 CE 上，此时，折痕与 AB 的交点即为 P【解答】解：（1）由图，可得BCE= BCD=45，又B=90，BCE 是等腰直角三角形， =cos45= ，即 CE= BC，由图，可得 CE=CD，而 AD=BC，CD= AD， = ；19（2）设 AD=BC=a，则 AB=CD= a，BE=a，AE=（ 1）a，如图，连接 EH，则CEH=CDH=90，BEC=45，A=90，AEH=45=AHE，AH=AE=（ 1）a，设 AP=x，则 BP= ax，由翻折可得，PH=PC，即 PH2=PC2，AH 2+AP2=BP2+BC2，
29、即（ 1）a 2+x2=（ ax） 2+a2，解得 x=a，即 AP=BC，又PH=CP，A=B=90，RtAPHRtBCP（HL），APH=BCP，又RtBCP 中，BCP+BPC=90，APH+BPC=90，CPH=90；折法：如图，由 AP=BC=AD，可得ADP 是等腰直角三角形，PD 平分ADC，故沿着过 D 的直线翻折，使点 A 落在 CD 边上，此时折痕与 AB 的交点即为 P；折法：如图，由BCE=PCH=45，可得BCP=ECH，由DCE=PCH=45，可得PCE=DCH，又DCH=ECH，BCP=PCE，即 CP 平分BCE，故沿着过点 C 的直线折叠，使点 B 落在 CE
30、 上，此时，折痕与 AB 的交点即为 P20【点评】本题属于折叠问题，主要考查了等腰直角三角形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质的综合运用，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，对应边和对应角相等解题时常常设要求的线段长为 x，然后根据折叠和轴对称的性质用含 x 的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案4. （2018天津10 分）在平面直角坐标系中，四边形 是矩形，点 ，点 ，点 .以点 为中心，顺时针旋转矩形 ，得到矩形 ，点 ， ， 的对应点分别为 ， ， .（）如图，当点 落在 边上时，求点 的坐标；（）如图，当点
31、 落在线段 上时， 与 交于点 .求证 ；求点 的坐标.（）记 为矩形 对角线的交点， 为 的面积，求 的取值范围（直接写出结果即可）.【答案】 （）点 的坐标为 .（）证明见解析； 点 的坐标为 .（）.【解析】分析：（）根据旋转的性质得 AD=AO=5,设 CD=x，在直角三角形 ACD 中运用勾股定理可 CD 的值，从而可确定 D 点坐标；（）根据直角三角形全等的判定方法进行判定即可；21由知 ，再根据矩形的性质得 .从而 ，故BH=AH，在 RtACH 中，运用勾股定理可求得 AH 的值，进而求得答案；（） .详解：（）点 ，点 ， ， .四边形 是矩形， ， ， .矩形 是由矩形 旋
32、转得到的， .在 中，有 ， . .点 的坐标为 .（）由四边形 是矩形，得 .又点 在线段 上，得 .由（）知， ，又 ， ， .由 ，得 .又在矩形 中， ， . . .设 ，则 ， .在 中，有 ， .解得 . .点 的坐标为 .22（） .点睛：本大题主要考查了等腰三角形的判定和性质，勾股定理以及旋转变换的性质等知识，灵活运用勾股定理求解是解决本题的关键.5. （2018四川自贡8 分）如图，在ABC 中，BC=12，tanA= ，B=30；求 AC 和AB 的长【分析】如图作 CHAB 于 H在 Rt求出 CH、BH，这种 RtACH 中求出 AH、AC 即可解决问题；【
33、解答】解：如图作 CHAB 于 H在 RtBCH 中，BC=12，B=30，CH= BC=6，BH= =6 ，在 RtACH 中，tanA= = ，AH=8，AC= =10，AB=AH+BH=8+6 【点评】本题考查解直角三角形，锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型236. （2018四川自贡10 分）如图，在ABC 中，ACB=90（1）作出经过点 B，圆心 O 在斜边 AB 上且与边 AC 相切于点 E 的O（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）（2）设（1）中所作的O 与边 AB 交于异于点 B 的另外一点 D，若O 的
34、直径为 5，BC=4；求 DE 的长 （如果用尺规作图画不出图形，可画出草图完成（2）问）【分析】 （1）作ABC 的角平分线交 AC 于 E，作 EOAC 交 AB 于点 O，以 O 为圆心，OB 为半径画圆即可解决问题；（2）作 OHBC 于 H首先求出 OH、EC、BE，利用BCEBED，可得 = ，解决问题；【解答】解：（1）O 如图所示；（2）作 OHBC 于 HAC 是O 的切线，OEAC，C=CEO=OHC=90，四边形 ECHO 是矩形，OE=CH= ，BH=BCCH= ，在 RtOBH 中，OH= =2，EC=OH=2，BE= =2 ，EBC=EBD，BED=C=90，BCE
35、BED，24 = ， = ，DE= 【点评】本题考查作图复杂作图，切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质、勾股定理、角平分线的定义，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型7. （2018台湾分）嘉嘉参加机器人设计活动，需操控机器人在 55 的方格棋盘上从A 点行走至 B 点，且每个小方格皆为正方形，主办单位规定了三条行走路径 R1，R 2，R 3，其行经位置如图与表所示：路径 编号 图例 行径位置第一条路径 R1 _ ACDB第二条路径 R2 AEDFB第三条路径 R3 AGB已知 A、B、C、D、E、F、G 七点皆落在格线的交点上，且两点之间的
36、路径皆为直线，在无法使用任何工具测量的条件下，请判断 R1、R 2、R 3这三条路径中，最长与最短的路径分别为何？请写出你的答案，并完整说明理由【分析】利用勾股定理分别计算出三条路径的长，比较大小即可得【解答】解：第一条路径的长度为 + + =2 + ，第二条路径的长度为 + +1+ = + + +1，第三条路径的长度为 + =2 + ，2 + 2 + + + +1，最长路径为 AEDFB；最短路径为 AGB【点评】本题主要考查勾股定理的应用，解题的关键是根据勾股定理求得每条线段的长度258.（2018广东9 分）如图，四边形 ABCD 中，AB=AD=CD，以 AB 为直径的O 经过点 C，
37、连接 AC，OD 交于点 E（1）证明：ODBC；（2）若 tanABC=2，证明：DA 与O 相切；（3）在（2）条件下，连接 BD 交于O 于点 F，连接 EF，若 BC=1，求 EF 的长【分析】 （1）连接 OC，证OADOCD 得ADO=CDO，由 AD=CD 知 DEAC，再由 AB 为直径知 BCAC，从而得 ODBC；（2）根据 tanABC=2 可设 BC=a、则 AC=2a、AD=AB= = ，证 OE 为中位线知OE= a、AE=CE= AC=a，进一步求得 DE= =2a，再AOD 中利用勾股定理逆定理证OAD=90即可得；（3）先证AFDBAD 得 DFBD=AD2，
38、再证AEDOAD 得 ODDE=AD2，由得DFBD=ODDE，即 = ，结合EDF=BDO 知EDFBDO，据此可得 = ，结合（2）可得相关线段的长，代入计算可得【解答】解：（1）连接 OC，在OAD 和OCD 中， ，OADOCD（SSS） ，ADO=CDO，又 AD=CD，DEAC，AB 为O 的直径，ACB=90，26ACB=90，即 BCAC，ODBC；（2）tanABC= =2，设 BC=a、则 AC=2a，AD=AB= = ，OEBC，且 AO=BO，OE= BC= a，AE=CE= AC=a，在AED 中，DE= =2a，在AOD 中，AO 2+AD2=（ ） 2+（ a）
39、2= a2，OD 2=（OF+DF） 2=（ a+2a） 2= a2，AO 2+AD2=OD2，OAD=90，则 DA 与O 相切；（3）连接 AF，AB 是O 的直径，AFD=BAD=90，ADF=BDA，AFDBAD， = ，即 DFBD=AD2，又AED=OAD=90，ADE=ODA，AEDOAD， = ，即 ODDE=AD2，由可得 DFBD=ODDE，即 = ，又EDF=BDO，EDFBDO，BC=1，AB=AD= 、OD= 、ED=2、BD= 、OB= ， = ，即 = ，27解得：EF= 【点评】本题主要考查圆的综合问题，解题的关键是掌握等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、
40、相似三角形的判定与性质及勾股定理逆定理等知识点9.（2018广东9 分）已知 RtOAB，OAB=90，ABO=30，斜边 OB=4，将 RtOAB绕点 O 顺时针旋转 60，如题图 1，连接 BC（1）填空：OBC= 60 ；（2）如图 1，连接 AC，作 OPAC，垂足为 P，求 OP 的长度；（3）如图 2，点 M，N 同时从点 O 出发，在OCB 边上运动，M 沿 OCB 路径匀速运动，N 沿 OBC 路径匀速运动，当两点相遇时运动停止，已知点 M 的运动速度为 1.5 单位/秒，点 N 的运动速度为 1 单位/秒，设运动时间为 x 秒，OMN 的面积为 y，求当 x 为何值时 y取得
41、最大值？最大值为多少？【分析】 （1）只要证明OBC 是等边三角形即可；（2）求出AOC 的面积，利用三角形的面积公式计算即可；（3）分三种情形讨论求解即可解决问题：当 0x 时，M 在 OC 上运动，N 在 OB 上运动，此时过点 N 作 NEOC 且交 OC 于点 E当 x4 时，M 在 BC 上运动，N 在 OB 上运动当 4x4.8 时，M、N 都在 BC 上运动，作 OGBC 于 G【解答】解：（1）由旋转性质可知：OB=OC，BOC=60，OBC 是等边三角形，OBC=60故答案为 60（2）如图 1 中，28OB=4，ABO=30，OA= OB=2，AB= OA=2 ，S AOC
42、 = OAAB= 22 =2 ，BOC 是等边三角形，OBC=60，ABC=ABO+OBC=90，AC= =2 ，OP= = = （3）当 0x 时，M 在 OC 上运动，N 在 OB 上运动，此时过点 N 作 NEOC 且交 OC 于点 E则 NE=ONsin60= x，S OMN = OMNE= 1.5x x，y= x2x= 时，y 有最大值，最大值= 当 x4 时，M 在 BC 上运动，N 在 OB 上运动29作 MHOB 于 H则 BM=81.5x，MH=BMsin60= （81.5x） ，y= ONMH= x2+2 x当 x= 时，y 取最大值，y ，当 4x4.8 时，M、N 都在
43、 BC 上运动，作 OGBC 于 GMN=122.5x，OG=AB=2 ，y= MNOG=12 x，当 x=4 时，y 有最大值，最大值=2 ，综上所述，y 有最大值，最大值为 【点评】本题考查几何变换综合题、30 度的直角三角形的性质、等边三角形的判定和性质、三角形的面积等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题10.（2018广西桂林10 分）如图 1，已知O 是 ADB 的外接圆，ADB 的平分线 DC 交AB 于点 M，交O 于点 C，连接 AC，BC.（1）求证：AC=BC；（2）如图 2，在图 1 的基础上做O 的直径 CF 交 AB 于点 E，连接 AF，过
44、点 A 作O 的切线 AH，若 AH/BC，求ACF 的度数；（3）在（2）的条件下，若 ABD 的面积为 ，ABD 与 ABC 的面积比为 2：9，求 CD的长.30【答案】 （1）证明见解析；（2）30；（3） 【解析】分析：（1）运用“在同圆或等圆中，弧相等，所对的弦相等”可求解；（2）连接 AO 并延长交 BC 于 I 交O 于 J,由 AH 是O 的切线且 AHBC 得 AIBC，易证IAC=30，故可得ABC=60=F=ACB，由 CF 是直径可得ACF 的度数；（3）过点 D 作 DGAB ，连接 AO，知 ABC 为等边三角形，求出 AB、AE 的长，在 RtAEO中，求出 AO 的长，得 CF 的长，再求 DG 的长，运用勾股定理易求 CD 的长.详解：（1）DC 平分ADB ADC=BDC AC=BC（2）连接 AO 并延长交 BC 于 I 交O 于 JAH 是O 的切线且 AHBCAIBCBI=ICAC=BCIC= ACIAC=30ABC=60=F=ACBFC 是直径
