1、2019-2020 北师大版九年级数学上册第一章特殊平行四边形单元培优试卷1 选择题（每小题 3 分，共 24 分）1.如图，在正方形 ABCD 的外侧，作等边三角形 ADE，AC，BE相交于点 F，则BFC 为（ ）A45 B55 C60 D752.将矩形 ABCD 按如图所示的方式折叠，BE，EG，FG 为折痕，若顶点 A，C，D 都落在点 O处，且点 B，O，G 在同一条直线上，同时点 E，O，F 在另一条直线上，则 的值为（ ）AB CD3.如 图 ， 正 方 形 ABCD 的 边 长 为 9， 将 正 方 形 折 叠 ， 使 顶 点 D 落 在 BC 边 上 的点 E 处 ， 折 痕
2、 为 GH 若 BE： EC=2： 1， 则 线 段 CH 的 长 是 （ ）A 3 B 4 C 5 D 64.如 图 ， 矩 形 ABCD 的 对 角 线 AC、 BD 相 交 于 点 O， CE BD， DE AC， 若AC=8， 则 四 边 形 OCED 的 周 长 为 （ ）A 8 B 16 C 18 D 205.如图，在菱形 ABCD 和菱形 BEFG 中，点 A、B、E 在同一直线上，P 是线段 DF 的中点，连接 PG，PC若ABC=BEF=60，则 =（ ）A B C D6.如图，在正方形 ABCD 中，点 E，F 将对角线 AC 三等分，且 AC12，点 P 在正方形的边上，
3、则满足 PE+PF9 的点 P 的个数是（ ）A0 B4 C6 D87.如 图 ， 在 矩 形 ABCD 中 ， AB=4， BC=6， 点 E 为 BC 的 中 点 ， 将 ABE 沿 AE 折叠 ， 使 点 B 落 在 矩 形 内 点 F 处 ， 连 接 CF， 则 CF 的 长 为 （ ）A B C D8.已知菱形 ABCD，E,F 是动点，边长为 4，BE=AF，BAD=120，则下列结论正确的有几个（ ）BECAFC ； ECF 为等边三角形 AGE=AFC 若 AF=1，则 31GEFA. 1 B. 2 C. 3 D. 42填空题（每小题 4 分，共 24 分）9.如图，点 P 是
4、矩形 ABCD 的对角线 AC 上一点，过点 P 作 EFBC，分别交 AB，CD 于E、F，连接 PB、PD若 AE=2，PF=8则图中阴影部分的面积为 10.矩形 ABCD 与 CEFG，如图放置，点 B，C，E 共线，点 C，D，G 共线，连接 AF，取 AF 的中点 H，连接 GH若 BC=EF=2，CD=CE=1，则 GH= 11.以正方形 ABCD 的边 AD 作等边ADE，则BEC 的度数是 12.如图，已知正方形 ABCD 的边长为 5，点 E、F 分别在 AD、DC 上，AE=DF=2，BE 与 AF 相交于点 G，点 H 为 BF 的中点，连接 GH，则 GH 的长为 13
5、.如图，将正方形 OEFG 放在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，点 E 的坐标为（2，3），则点 F 的坐标为 14.如图，在平面直角坐标系 xOy 中，菱形 OABC 的边长为 2，点 A 在第一象限，点 C 在 x轴正半轴上，AOC=60，若将菱形 OABC 绕点 O 顺时针旋转 75，得到四边形OABC，则点 B 的对应点 B的坐标为 三解答题（共 52 分）15.（6 分）如图，在四边形 ABCD 中，BC=CD，C=2BADO 是四边形 ABCD 内一点，且OA=OB=OD求证：（1）BOD=C；（2）四边形 OBCD 是菱形16.（6 分）在矩形 ABCD 中，点 E 在 BC
6、上，AE=AD，DFAE，垂足为 F（1）求证DF=AB；（2）若FDC=30，且 AB=4，求 AD17.（6 分）在正方形 ABCD 中，对角线 BD 所在的直线上有两点 E、F 满足 BE=DF，连接AE、AF、CE、CF，如图所示（1）求证：ABEADF；（2）试判断四边形 AECF 的形状，并说明理由18.（6 分）如图是一个长为 a，宽为 b 的矩形，两个阴影图形都是一对底边长为 1，且底边在矩形对边上的平行四边形（1）用含字母 a，b 的代数式表示矩形中空白部分的面积；（2）当 a3，b2 时，求矩形中空白部分的面积19.（9 分）已知:在矩形 ABCD 中,BD 是对角线,AE
7、BD 于点 E,CFBD 于点 F；(1)如图 1,求证:AE=CF；(2)如图 2,当ADB=30时,连接 AF、CE,在不添加任何辅助线的情况下,请直接写出图 2 中四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于矩形 ABCD 面积的 81。20.（9 分）如图，E，F 分别是正方形 ABCD 的边 CB，DC 延长线上的点，且 BE=CF，过点 E作 EGBF，交正方形外角的平分线 CG 于点 G，连接 GF求证：（1）AEBF；（2）四边形 BEGF 是平行四边形21.（10 分）如图，在ABCD 中，DCAD，四个角的平分线 AE，DE，BF，CF 的交点分别是E，F，过点 E，F 分别
8、作 DC 与 AB 间的垂线 MM与 NN，在 DC 与 AB 上的垂足分别是 M，N与 M，N，连接 EF（1）求证：四边形 EFNM 是矩形；（2）已知：AE=4，DE=3，DC=9，求 EF 的长2019-2020 北师大版九年级数学上册第一章特殊平行四边形单元培优试卷3 选择题（每小题 3 分，共 24 分）1.如图，在正方形 ABCD 的外侧，作等边三角形 ADE，AC，BE相交于点 F，则BFC 为（ ）A45 B55 C60 D75解：四边形 ABCD 是正方形，AB=AD，又ADE 是等边三角形，AE=AD=DE，DAE=60，AB=AE，ABE=AEB，BAE=90+60=1
9、50，ABE=（180150）2=15，又BAC=45，BFC=45+15=60故选：C2.将矩形 ABCD 按如图所示的方式折叠，BE，EG，FG 为折痕，若顶点 A，C，D 都落在点 O处，且点 B，O，G 在同一条直线上，同时点 E，O，F 在另一条直线上，则 的值为（ ）AB CD解：由折叠可得，AEOEDE，CGOGDG，E，G 分别为 AD，CD 的中点，设 CD2a，AD2b，则 AB2aOB，DGOGCGa，BG3a，BCAD2b，C90，RtBCG 中，CG 2+BC2BG 2，即 a2+（2b） 2（3a） 2，b 22a 2，即 b a， ， 的值为 ，故选：B3.如 图
10、 ， 正 方 形 ABCD 的 边 长 为 9， 将 正 方 形 折 叠 ， 使 顶 点 D 落 在 BC 边 上 的点 E 处 ， 折 痕 为 GH 若 BE： EC=2： 1， 则 线 段 CH 的 长 是 （ ）A 3 B 4 C 5 D 6解 ： 由 题 意 设 CH=xcm， 则 DH=EH=（ 9 x） cm， BE： EC=2： 1， CE= BC=3cm 在 Rt ECH 中 ， EH2=EC2+CH2，即 （ 9 x） 2=32+x2，解 得 ： x=4， 即 CH=4cm故 选 B.4.如 图 ， 矩 形 ABCD 的 对 角 线 AC、 BD 相 交 于 点 O， CE
11、BD， DE AC， 若AC=8， 则 四 边 形 OCED 的 周 长 为 （ ）A 8 B 16 C 18 D 20解 ： 四 边 形 ABCD 为 矩 形 ， OA=OC， OB=OD， 且 AC=BD， OA=OB=OC=OD=4， CE BD， DE AC， 四 边 形 DECO 为 平 行 四 边 形 ， OD=OC， 四 边 形 DECO 为 菱 形 ， OD=DE=EC=OC=4，则 四 边 形 OCED 的 周 长 为 4+4+4+4=16，故 选 B.5.如图，在菱形 ABCD 和菱形 BEFG 中，点 A、B、E 在同一直线上，P 是线段 DF 的中点，连接 PG，PC若
12、ABC=BEF=60，则 =（ ）A B C D解：如图，延长 GP 交 DC 于点 H，P 是线段 DF 的中点，FP=DP，由题意可知 DCGF，GFP=HDP，GPF=HPD，GFPHDP，GP=HP，GF=HD，四边形 ABCD 是菱形，CD=CB，CG=CH，CHG 是等腰三角形，PGPC， （三线合一）又ABC=BEF=60，GCP=60， = ；故选 B6.如图，在正方形 ABCD 中，点 E，F 将对角线 AC 三等分，且 AC12，点 P 在正方形的边上，则满足 PE+PF9 的点 P 的个数是（ ）A0 B4 C6 D8解：如图，作点 F 关于 BC 的对称点 M，连接 F
13、M 交 BC 于点 N，连接 EM，点 E，F 将对角线 AC 三等分，且 AC12，EC8，FC4，点 M 与点 F 关于 BC 对称CFCM4，ACBBCM45ACM90EM 4则在线段 BC 存在点 N 到点 E 和点 F 的距离之和最小为 4 9在线段 BC 上点 N 的左右两边各有一个点 P 使 PE+PF9，同理在线段 AB，AD，CD 上都存在两个点使 PE+PF9即共有 8 个点 P 满足 PE+PF9，故选：D7.如 图 ， 在 矩 形 ABCD 中 ， AB=4， BC=6， 点 E 为 BC 的 中 点 ， 将 ABE 沿 AE 折叠 ， 使 点 B 落 在 矩 形 内
14、点 F 处 ， 连 接 CF， 则 CF 的 长 为 （ ）A B C D解 ： 连 接 BF， BC=6， 点 E 为 BC 的 中 点 ， BE=3，又 AB=4， AE= =5， BH= ，则 BF= ， FE=BE=EC， BFC=90， CF= = 故 选 ： D8.已知菱形 ABCD，E,F 是动点，边长为 4，BE=AF，BAD=120，则下列结论正确的有几个（ ）BECAFC ； ECF 为等边三角形 AGE=AFC 若 AF=1，则 31GEFB. 1 B. 2 C. 3 D. 4解：在四边形 ABCD 是菱形，因为BAD=120，则B=DAC=60，则 AC=BC，且 BE
15、=AF，故可得BECAFC；因为BECAFC，所以 FC=EC，FCA=ECB，所以ECF 为等边三角形；因为AGE=180-BAC-AEG；AFC=180-FAC-ACF，则根据等式性质可得AGE=AFC ；因为 AF=1，则 AE=3，所以根据相似可得 31GEF.故 选 ： D4填空题（每小题 4 分，共 24 分）9.如图，点 P 是矩形 ABCD 的对角线 AC 上一点，过点 P 作 EFBC，分别交 AB，CD 于E、F，连接 PB、PD若 AE=2，PF=8则图中阴影部分的面积为 解：作 PMAD 于 M，交 BC 于 N则有四边形 AEPM，四边形 DFPM，四边形 CFPN，
16、四边形 BEPN 都是矩形，S ADC =SABC ，S AMP =SAEP ，S PBE =SPBN ，S PFD =SPDM ，S PFC =SPCN ，S DFP =SPBE = 28=8，S 阴 =8+8=16，故选答案：1610.矩形 ABCD 与 CEFG，如图放置，点 B，C，E 共线，点 C，D，G 共线，连接 AF，取 AF 的中点 H，连接 GH若 BC=EF=2，CD=CE=1，则 GH= 解：如图，延长 GH 交 AD 于点 P，四边形 ABCD 和四边形 CEFG 都是矩形，ADC=ADG=CGF=90，AD=BC=2、GF=CE=1，ADGF，GFH=PAH，又H
17、是 AF 的中点，AH=FH，在APH 和FGH 中， ，APHFGH（ASA），AP=GF=1，GH=PH= PG，PD=ADAP=1，CG=2、CD=1，DG=1，则 GH= PG= = ，故答案为： 11.以正方形 ABCD 的边 AD 作等边ADE，则BEC 的度数是 解：如图 1，四边形 ABCD 为正方形，ADE 为等边三角形，AB=BC=CD=AD=AE=DE，BAD=ABC=BCD=ADC=90，AED=ADE=DAE=60，BAE=CDE=150，又 AB=AE，DC=DE，AEB=CED=15，则BEC=AEDAEBCED=30如图 2，ADE 是等边三角形，AD=DE，四
18、边形 ABCD 是正方形，AD=DC，DE=DC，CED=ECD，CDE=ADCADE=9060=30，CED=ECD= （18030）=75，BEC=36075260=150故答案为：30或 15012.如图，已知正方形 ABCD 的边长为 5，点 E、F 分别在 AD、DC 上，AE=DF=2，BE 与 AF 相交于点 G，点 H 为 BF 的中点，连接 GH，则 GH 的长为 解：四边形 ABCD 为正方形，BAE=D=90，AB=AD，在ABE 和DAF 中， ，ABEDAF（SAS），ABE=DAF，ABE+BEA=90，DAF+BEA=90，AGE=BGF=90，点 H 为 BF
19、的中点，GH= BF，BC=5、CF=CDDF=52=3，BF= = ，GH= BF= ，故答案为： 13.如图，将正方形 OEFG 放在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，点 E 的坐标为（2，3），则点 F 的坐标为 解：如图，过点 E 作 x 轴的垂线 EH，垂足为 H过点 G 作 x 轴的垂线 EG，垂足为 G，连接GE、FO 交于点 O四边形 OEFG 是正方形，OG=EO，GOM=OEH，OGM=EOH，在OGM 与EOH 中，OGMEOH（ASA）GM=OH=2，OM=EH=3，G（3，2）O（ ， ）点 F 与点 O 关于点 O对称，点 F 的坐标为 （1，5）故答案是：（1，5
20、）14.如图，在平面直角坐标系 xOy 中，菱形 OABC 的边长为 2，点 A 在第一象限，点 C 在 x轴正半轴上，AOC=60，若将菱形 OABC 绕点 O 顺时针旋转 75，得到四边形OABC，则点 B 的对应点 B的坐标为 解：作 BHx 轴于 H 点，连结 OB，OB，如图，四边形 OABC 为菱形，AOC=180C=60，OB 平分AOC，AOB=30，菱形 OABC 绕原点 O 顺时针旋转 75至第四象限 OABC的位置，BOB=75，OB=OB=2 ，AOB=BOBAOB=45，OBH 为等腰直角三角形，OH=BH= OB= ，点 B的坐标为（ ， ）故答案为：（ ， ）三解
21、答题（共 52 分）15.（6 分）如图，在四边形 ABCD 中，BC=CD，C=2BADO 是四边形 ABCD 内一点，且OA=OB=OD求证：（1）BOD=C；（2）四边形 OBCD 是菱形证明：（1）延长 OA 到 E，OA=OB，ABO=BAO，又BOE=ABO+BAO，BOE=2BAO，同理DOE=2DAO，BOE+DOE=2BAO+2DAO=2（BAO+DAO）即BOD=2BAD，又C=2BAD，BOD=C；（2）连接 OC，OB=OD，CB=CD，OC=OC，OBCODC，BOC=DOC，BCO=DCO，BOD=BOC+DOC，BCD=BCO+DCO，BOC= BOD，BCO=
22、BCD，又BOD=BCD，BOC=BCO，BO=BC，又 OB=OD，BC=CD，OB=BC=CD=DO，四边形 OBCD 是菱形16.（6 分）在矩形 ABCD 中，点 E 在 BC 上，AE=AD，DFAE，垂足为 F（1）求证DF=AB；（2）若FDC=30，且 AB=4，求 AD证明：（1）在矩形 ABCD 中，ADBC，AEB=DAF，又DFAE，DFA=90，DFA=B，又AD=EA，ADFEAB，DF=AB（2）ADF+FDC=90，DAF+ADF=90，FDC=DAF=30，AD=2DF，DF=AB，AD=2AB=817.（6 分）在正方形 ABCD 中，对角线 BD 所在的直
23、线上有两点 E、F 满足 BE=DF，连接AE、AF、CE、CF，如图所示（1）求证：ABEADF；（2）试判断四边形 AECF 的形状，并说明理由证明：（1）正方形 ABCD，AB=AD，ABD=ADB，ABE=ADF，在ABE 与ADF 中，ABEADF（SAS）；（2）连接 AC，四边形 AECF 是菱形理由：正方形 ABCD，OA=OC，OB=OD，ACEF，OB+BE=OD+DF，即 OE=OF，OA=OC，OE=OF，四边形 AECF 是平行四边形，ACEF，四边形 AECF 是菱形18.（6 分）如图是一个长为 a，宽为 b 的矩形，两个阴影图形都是一对底边长为 1，且底边在矩形
24、对边上的平行四边形（1）用含字母 a，b 的代数式表示矩形中空白部分的面积；（2）当 a3，b2 时，求矩形中空白部分的面积解：（1）Sabab+1；（2）当 a3，b2 时，S632+12；19.（9 分）已知:在矩形 ABCD 中,BD 是对角线,AEBD 于点 E,CFBD 于点 F；(1)如图 1,求证:AE=CF；(2)如图 2,当ADB=30时,连接 AF、CE,在不添加任何辅助线的情况下,请直接写出图 2 中四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于矩形 ABCD 面积的 81。（1）证明：四边形 ABCD 是矩形，ABCD，ABCD，ADBC，ABEDF，AEBD 于点 E，C
25、FBD 于点 F，AEBCFD90，在ABE 和CDF 中， ，ABECDF（AAS） ，AECF；（2）解：ABE 的面积CDF 的面积BCE 的面积ADF 的面积矩形 ABCD 面积的 81理由如下：ADBC，CBDADB30，ABC90，ABE60，AEBD，BAE30，BE AB，AE AD，ABE 的面积 BEAE AB AD 81ABAD 矩形 ABCD 的面积，ABECDF，CDF 的面积 81矩形 ABCD 的面积；作 EGBC 于 G，如图所示：CBD30，EG BE AB AB，BCE 的面积 BCEG BC AB 81BCAB 矩形 ABCD 的面积，同理：ADF 的面积
26、 81矩形 ABCD 的面积20.（9 分）如图，E，F 分别是正方形 ABCD 的边 CB，DC 延长线上的点，且 BE=CF，过点 E作 EGBF，交正方形外角的平分线 CG 于点 G，连接 GF求证：（1）AEBF；（2）四边形 BEGF 是平行四边形证明：（1）四边形 ABCD 是正方形，AB=BC，ABC=BCD=90，ABE=BCF=90，在ABE 和BCF 中， ，AB=BCABE=BCFBE=CF ABEBCF（SAS），AE=BF，BAE=CBF，EGBF，CBF=CEG，BAE+BEA=90，CEG+BEA=90，AEEG，AEBF；（2）延长 AB 至点 P，使 BP=B
27、E，连接 EP，如图所示：则 AP=CE，EBP=90，P=45，CG 为正方形 ABCD 外角的平分线，ECG=45，P=ECG，由（1）得BAE=CEG，在APE 和ECG 中， ，P =ECGAP=CEBAE=CEGAPEECG（ASA），AE=EG，AE=BF，EG=BF，EGBF，四边形 BEGF 是平行四边形21.（10 分）如图，在ABCD 中，DCAD，四个角的平分线 AE，DE，BF，CF 的交点分别是E，F，过点 E，F 分别作 DC 与 AB 间的垂线 MM与 NN，在 DC 与 AB 上的垂足分别是 M，N与 M，N，连接 EF（1）求证：四边形 EFNM 是矩形；（2
28、）已知：AE=4，DE=3，DC=9，求 EF 的长解：（1）证明：过点 E、F 分别作 AD、BC 的垂线，垂足分别是 G、H3=4，1=2，EGAD，EMCD，EMABEG=ME，EG=EMEG=ME=ME= MM同理可证：FH=NF=NF= NNCDAB，MMCD，NNCD，MM=NNME=NF=EG=FH又MMNN，MMCD四边形 EFNM 是矩形（2）DCAB，CDA+DAB=180， ，2= DAB3+2=90在 RtDEA，AE=4，DE=3，AB= =5四边形 ABCD 是平行四边形，DAB=DCB，又2= DAB，5= DCB，2=5由（1）知 GE=NF在 RtGEA 和 RtCNF 中GEACNFAG=CN在 RtDME 和 RtDGE 中DE=DE，ME=EGDMEDGEDG=DMDM+CN=DG+AG=AB=5MN=CDDMCN=95=4四边形 EFNM 是矩形EF=MN=4
