1、第 70 讲 圆锥曲线的综合应用( 三)(与直线、圆及其他知识的交汇与综合)1(经典真题)设 F1，F 2 分别是椭圆 C： 1( ab0)的左、右焦点，M 是 C 上一x2a2 y2b2点且 MF2 与 x 轴垂直，直线 MF1 与 C 的另一个交点为 N.(1)若直线 MN 的斜率为 ，求 C 的离心率；34(2)若直线 MN 在 y 轴上的截距为 2，且|MN| 5|F 1N|，求 a，b.(1)根据 c 及题设知 M(c， )，a2 b2b2a因为 ，所以 2b23ac，将 b2a 2c 2 代入 2b23ac，b2a2c 34得 2c23ac2a 20，解得 或 2(舍去)ca 12
2、 ca故 C 的离心率为 .12(2)由题意，原点 O 为 F1F2 的中点， MF2y 轴，所以直线 MF1 与 y 轴的交点 D(0,2) 是线段 MF1 的中点，故 4，即 b24a，b2a由|MN | 5|F1N|得| DF1|2|F 1N|.设 N(x1，y 1)，由题意知 y1b0) 的右顶点为 A，上顶点为 B，已知椭圆的x2a2 y2b2离心率为 ，|AB| .53 13(1)求椭圆的方程(2)设直线 l：ykx(k 0)与椭圆交于 P，Q 两点，l 与直线 AB 交于点 M，且点 P，M均在第四象限若BPM 的面积是BPQ 面积的 2 倍，求 k 的值(1)设椭圆的焦距为 2
3、c，由已知有 ，又由 a2b 2c 2，可得 2a3b.c2a2 59又|AB| ，从而 a3，b2.a2 b2 13所以，椭圆的方程为 1.x29 y24(2)设点 P 的坐标为(x 1，y 1)，点 M 的坐标为(x 2，y 2)，由题意知， x2x10，点 Q 的坐标为( x1，y 1)由BPM 的面积是BPQ 面积的 2 倍，可得|PM| 2|PQ|，从而 x2x 12x 1(x 1)，即 x25x 1.易知直线 AB 的方程为 2x3y6，由方程组 消去 y，可得 x2 .2x 3y 6，y kx， ) 63k 2由方程组 消去 y，可得 x1 .x29 y24 1，y kx， )
4、69k2 4由 x25x 1，可得 5(3k2)，两边平方，整理得 18k225k80，解得9k2 4k ，或 k .89 12当 k 时，x 290，得 m 且 m0.12设 A(x1，y 1)， B(x2，y 2)，则 x1x 22，x 1x22m ，因为点 N，A，B 在直线 l 上，所以|NA| |x1(m2)|，|NB| |x2(m2)|，2 2所以|NA|NB|2|x 1(m 2)|x 2(m2)|2|x 1x2(m2)(x 1x 2)(m2) 2|2| 2m 2(m2)(m2) 2|2m 2，所以|NT| 2 |NA|NB|.524(2018全国卷)已知斜率为 k 的直线 l 与
5、椭圆 C： 1 交于 A，B 两点，线x24 y23段 AB 的中点为 M(1，m)(m 0)(1)证明：k ；12(2)设 F 为 C 的右焦点，P 为 C 上一点，且 0.证明：| |，| |，| |成等FP FA FB FA FP FB 差数列，并求该数列的公差(1)设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，则 1， 1.两式相减，并由 k 得 k0.y1 y2x1 x2 x1 x24 y1 y23由题设知 1， m ，于是 k .x1 x22 y1 y22 34m由题设得 0m ，故 k .32 12(2)由题意得 F(1，0) 设 P(x3，y 3)，则(x31，y 3)(x 1
6、1，y 1)(x 21，y 2)(0 ，0)由(1)及题设得 x33(x 1x 2)1，y3(y 1y 2)2m0.又点 P 在 C 上，所以 m ，从而 P(1， )，34 32| | ，FP 32于是| | FA 2 .x12同理| |2 .FB x22所以| | |4 (x1x 2)3.FA FB 12故 2| | | |，即| |，| |，| |成等差数列FP FA FB FA FP FB 设该数列的公差为 d，则2|d| | | |x1x 2|FB FA 12 .12（x1 x2）2 4x1x2将 m 代入得 k1，34所以 l 的方程为 yx ，代入 C 的方程，并整理得747x214x 0.14故 x1x 22，x 1x2 ，代入解得|d| .128 32128所以该数列的公差为 或 .32128 32128
