1、第 56 讲 空间向量的应用(一)1已知 PA平面 ABCD，四边形 ABCD 为矩形，PA AD，M、N 分别是 AB、PC 的中点，求证：(1)MN平面 PAD；(2)平面 PMC平面 PDC.建立空间直角坐标系 A(O)xyz 如图：设|PA| |AD|b，|AB|a，则 B(a,0,0)，C (a，b,0)，D (0，b,0)，P(0,0 ，b)，因为M、N 分别为 AB、PC 的中点，所以 M( ，0,0)，N ( ， ， )a2 a2 b2 b2(1)因为 (0， ， )，MN b2 b2显然 ，所以 与 、 共面，MN 12AD 12AP MN AD AP 因为 MN平面 PAD
2、，所以 MN平面 PAD.(2)因为 (a, 0,0)， (0，b，b)DC DP 所以 0， 0，MN DC MN DP 即 MNDC，MNDP MN平面 PDC，又 MN平面 PMC，所以平面 PMC平面 PDC.2如图，已知正方形 ABCD 和矩形 ACEF 所在的平面互相垂直，AB ，AF 1，M 是线段 EF 的中点2(1)求证：AM平面 BDE；(2)求证：AM平面 BDF.(1)建立如图所示的空间直角坐标系设 ACBDN，连接 NE，则点 N、E 的坐标分别是( ， ，0)、(0,0,1) ，所以22 22( ， ，1)，NE 22 22又点 A、M 的坐标分别是 ( ， ，0)
3、，( ， ，1)，2 222 22所以 ( ， ，1) AM 22 22所以 ，且 NE 与 AM 不共线，所以 NEAM.NE AM 又因为 NE平面 BDE，AM 平面 BDE，所以 AM平面 BDE.(2)由(1)知 ( ， ，1)，AM 22 22因为 D( ，0,0)，F ( ， ，1) ，所以 (0， ，1)，2 2 2 DF 2所以 0，所以 ，AM DF AM DF 所以 AMDF，同理 AMBF.又 DFBFF，所以 AM平面 BDF.3如图所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，E 是棱 DD1 的中点在棱 C1D1 上是否存在一点 F，使 B1F平面 A1BE？证明
4、你的结论设正方体的棱长为 1，如图所示，以 ， ， 为单位正交基底建立空间直角AB AD AA1 坐标系，依题意，得 B(1,0,0)，A 1(0,0,1)，E(0,1 ， )，12所以 (1,0,1)， (1,1， )，BA1 BE 12设 n(x，y，z )是平面 A1BE 的一个法向量，则由 n 0，n 0 得BA1 BE Error!所以 xz，y z，令 z2 得，n(2,1,2)，12设 F 是棱 C1D1 上的一点，则 F(t,1,1)(0t 1)，又 B1(1,0,1)，所以 (t1,1,0)，而 B1F平面 A1BE，于是，B1F B1F平面 A1BE n0(t1,1,0)(
5、2,1,2)0，B1F 所以 2(t1) 10，得 t ，12故 F 是 C1D1 的中点，这说明在棱 C1D1 上存在一点 F(C1D1 的中点) ，使 B1F平面 A1BE.4如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1 中，AC 3，BC 4， AB5，AA 14.(1)求证：ACBC 1；(2)在 AB 上是否存在点 D，使 AC1CD?(3)在 AB 上是否存在点 D，使得 AC1平面 CDB1?在直三棱柱 ABCA1B1C1 中，AC 3，BC 4，AB 5，AC，BC，CC 1 两两垂直，以 C 为坐标原点，CA，CB， CC1 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系
6、，则 C(0,0,0)，A (3，0,0)，C 1(0,0,4)，B(0,4,0) ，B 1(0,4,4)(1)证明： ( 3,0,0)， (0，4,4) ，AC BC1 因为 0，AC BC1 所以 .所以 ACBC1.AC BC1 (2)假设在 AB 上存在点 D，使得 AC1CD，则 (3，4 ，0) ，其中 01，则 D(33，4，0) AD AB 于是 (33，4 ，0)CD 由于 (3,0,4)，且 AC1CD，AC1 所以99 0，得 1.所以在 AB 上存在点 D，使得 AC1CD，且这时点 D 与点 B 重合(3)假设在 AB 上存在点 D，使得 AC1平面 CDB1，则 (3，4 ，0) ，其中 01，则 D(33，4，0) AD AB (33，44，4)B1D 又 (0，4，4)，B1C 由于 (3,0,4)，AC 1平面 CDB1，AC1 所以存在实数 m，n，使 m n 成立，AC1 B1D B1C 所以Error!所以 .12所以在 AB 上存在点 D，使得 AC1平面 CDB1，且 D 是 AB 的中点
