1、第 64 讲 双曲线1(经典真题)若双曲线 E： 1 的左、右焦点分别为 F1，F 2，点 P 在双曲线 Ex29 y216上，且| PF1|3 ，则| PF2|等于 (B)A11 B9C5 D3由题意知 a3.由双曲线的定义有|PF 1| PF2|3 |PF 2|2a6，所以|PF 2|9.2(2018银川三模)以直线 y x 为渐近线的双曲线的离心率为(C)3A2 B.233C2 或 D.233 3因为双曲线的渐近线方程为 y x，3所以 ，或 ，所以 c24a 2，或 c2 a2.ba 3 ab 3 43所以 e2，或 e .2333(经典真题)已知 M(x0，y 0)是双曲线 C： y
2、 21 上的一点，F 1，F 2 是 C 的两个焦x22点若 0，b0)的一条渐近线与圆 x2(ya) 2y2a2 x2b2相切，则该双曲线的离心率为(D)a29A3 B. 3C. D.322 324渐近线方程为 axby0，由条件 d ， 即 ，baa2 b2 a3 bc 13所以 c3b，所以 a2c 2b 29b 2b 28b 2，所以 a2 b.2所以 e .ca 3b22b 3245(2016北京卷)双曲线 1(a0，b0)的渐近线为正方形 OABC 的边x2a2 y2b2OA，OC 所在的直线，点 B 为该双曲线的焦点若正方形 OABC 的边长为 2，则 a 2 .不妨令 B 为双
3、曲线的右焦点，A 在第一象限，则双曲线如图所示因为四边形 OABC 为正方形，|OA|2，所以 c|OB |2 ，AOB .24因为直线 OA 是渐近线，方程为 y x，ba所以 tan AOB 1，即 ab.ba又因为 a2b 2c 28，所以 a2.6(2018湖北 5 月冲刺试题) 平面内，线段 AB 的长度为 10，动点 P 满足|PA|6|PB|，则 |PB|的最小值为_2_以 A，B 所在直线为 x 轴，AB 中点为坐标原点，建立平面直角坐标系，由条件知 P 点轨迹是以 A，B 为焦点，2a6，2c10 的双曲线的右支(如图) 当 P 为双曲线的右顶点时，|PB|取最小值，其最小值
4、为 ca 532.7中心在原点，焦点在 x 轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点 F1，F 2，且|F 1F2|2，椭圆的长半轴与双曲线的实半轴之差为 4，离心率之比为 37.13(1)求这两曲线的方程；(2)若 P 为这两曲线的一个交点，求 cosF 1PF2 的值(1)由已知 c ，设椭圆的长半轴长、短半轴长分别为 a，b，双曲线的实半轴13长、虚半轴长分别为 m，n.则 a m 4，7 13a 3 13m，)解得 a7，m 3，所以 b6，n2.所以椭圆方程为 1，双曲线方程为 1.x249 y236 x29 y24(2)不妨设 F1，F 2 分别为左、右焦点，P 是第一象限的一个交点，则
5、|PF 1|PF 2|14，|PF 1|PF 2|6，所以|PF 1|10， |PF2|4，又 |F1F2|2 ，13所以 cosF 1PF2|PF1|2 |PF2|2 |F1F2|22|PF1|PF2| .102 42 （213）22104 458(2018全国卷)已知双曲线 C： y 21，O 为坐标原点，F 为 C 的右焦点，过x23F 的直线与 C 的两条渐近线的交点分别为 M，N.若OMN 为直角三角形，则|MN|(B)A. B332C2 D43由已知得双曲线的两条渐近线方程为 y x.13设两渐近线夹角为 2，则有 tan ，所以 30.13 33所以MON260.又OMN 为直角
6、三角形，由于双曲线具有对称性，不妨设 MNON ，如图所示在 Rt ONF 中， |OF|2，则|ON| .3则在 RtOMN 中，|MN|ON|tan 2 tan 603.39(2017全国卷)已知双曲线 C： 1(a0 ，b0)的右顶点为 A，以 A 为圆心，x2a2 y2b2b 为半径作圆 A，圆 A 与双曲线 C 的一条渐近线交于 M，N 两点若MAN 60，则 C的离心率为_ _233如图，由题意知点 A(a，0)，双曲线的一条渐近线 l 的方程为 y x，即babxay0，所以点 A 到 l 的距离 d .aba2 b2又MAN60，MA NA b，所以MAN 为等边三角形，所以
7、d MA b，即 b，所以 a23b 2，32 32 aba2 b2 32所以 e .ca a2 b2a2 23310已知双曲线 C 的中心在坐标原点 O，对称轴为坐标轴，点(2,0) 是它的一个焦点，并且离心率为 .233(1)求双曲线 C 的方程；(2)已知点 M(0,1)，设 P(x0，y 0)是双曲线 C 上的点，Q 是点 P 关于原点的对称点，求 的取值范围MP MQ (1)设双曲线 C 的方程为 1(a0，b0)，半焦距为 c，则 c2，又由 x2a2 y2b2 ca，得 a ，b 2c 2a 21，233 3故所求双曲线 C 的方程为 y 21.x23(2)依题意有：Q(x 0，y 0)，所以 (x 0，y 01)， (x 0，y 01) ，MP MQ 所以 x y 1，又 y 1，MP MQ 20 20 x203 20所以 x 2，由 y 1 可得，x 3，MP MQ 4320 x203 20 20所以 x 22.MP MQ 4320故 的取值范围是(，2MP MQ
