1、第 57 讲 空间向量的应用(二)1(2014新课标卷改编)直三棱柱 ABCA1B1C1 中，BCA90，M、N 分别是A1B1、A 1C1 的中点， BCCA CC 1.求：(1)BM 与 AN 所成的角的余弦值；(2)BM 与平面 ABC 所成角的正弦值以 C 为原点，直线 CA 为 x 轴，直线 CB 为 y 轴，直线 CC1 为 z 轴，建立空间直角坐标系设 CACB1，则 B(0,1,0)，M ( ， ，1)，12 12A(1,0,0)，N( ，0,1)12(1)设 MB 与 AN 所成的角为 ，因为 ( ， ，1)， ( ，0,1) ，BM 12 12 AN 12所以 cos |c
2、os ， | .BM AN |BM AN |BM |AN |3462 52 3010所以 MB 与 AN 所成角的余弦值为 .3010(2)因为 ( ， ，1)，BM 12 12平面 ABC 的一个法向量为 n(0,0,1)，设 BM 与平面 ABC 所成的角为 ，则 sin |cos ，n| .BM |BM n|BM |n|162 1 63所以 MB 与平面 ABC 所成角的正弦值为 .632在长方体 ABCDA1B1C1D1 中，AD AA 11，AB2，点 E 在棱 AB 上移动当 AE为何值时，二面角 D1ECD 的大小为 .4以点 D 为坐标原点， 、 、 的方向分别为 x 轴、y
3、轴、z 轴的正方向建立DA DC DD1 空间直角坐标系 Dxyz，设 AEx，则 D(0,0,0)，C(0,2,0)，D 1(0,0,1)，E(1，x,0)设平面 D1EC 的法向量为 n( a，b，c )，因为 (1，x 2,0)， (0,2 ，1)，CE D1C 由Error!得Error!令 b1，得 c2，a2x ，故 n(2x,1,2)是平面 D1EC 的一个法向量而(0,0,1)是平面 ECD 的一个法向量，依题意，DD1 cos 得 ，4 |nDD1 |n|DD1 | 2x 22 5 22故 x12 (不合题意，舍去)，x 22 .3 3故当 AE2 时，二面角 D1ECD 的
4、大小为 .343如图所示，四边形 PCBM 是直角梯形，PCB90，PMBC，PM1，BC2，且 AC1，ACB120，AB PC ，直线 AM 与直线 PC 所成的角为 60.(1)求二面角 MACB 的余弦值；(2)求点 C 到平面 MAB 的距离(1)因为 PCAB，PCBC ，AB BC B，所以 PC平面 ABC.在平面 ABC 内，过点 C 作 CDCB 交 AB 于点 D，建立空间直角坐标系 Cxyz，如图所示设 P(0,0，x 0)，则 A( ， ，0) ，M(0,1，x 0)32 12所以 ( ， ，x 0)， (0,0 ，x 0)AM 32 32 CP 由直线 AM 与平面
5、 PC 所成的角为 60，得 | | |cos 60，AM CP AM CP 即 x x0，解得 x01.2012x20 3所以 (0,1,1)， ( ， ，0)CM CA 32 12设平面 MAC 的法向量为 n1( x1，y 1，z 1)，则Error!即Error!取 x11，得 n1(1， ， )3 3平面 ABC 的一个法向量为 n2(0,0,1)设 n1，n 2所成的角为 ，则cos .n1n2|n1|n2| 37 217由图知二面角 MACB 为锐角，故其余弦值为 .217(2)M(0,1,1)，A( ， ，0) ，B(0,2,0)，32 12所以 ( ， ，1)， (0,1，1
6、) AM 32 32 MB 设平面 MAB 的法向量为 m( x2，y 2，z 2)，则Error!即Error!令 z21，得 m( ，1,1)，53则点 C 到平面 MAB 的距离 d .|CB m|m| 293314(2017天津卷)如图，在三棱锥 PABC 中，PA底面 ABC，BAC90.点D，E ， N 分别为棱 PA，PC， BC 的中点，M 是线段 AD 的中点，PAAC4，AB2.(1)求证：MN平面 BDE；(2)求二面角 CEMN 的正弦值；(3)已知点 H 在棱 PA 上，且直线 NH 与直线 BE 所成角的余弦值为 ，求线段 AH 的721长如图，以 A 为原点，分别
7、以 ， ， 的方向为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向AB AC AP 建立空间直角坐标系，依题意可得 A(0,0,0)，B(2，0,0)，C (0,4,0)，P(0,0,4)，D(0，0,2)，E(0,2,2) ，M(0,0，1) ，N(1,2,0)(1)证明： (0,2,0)， (2,0，2)DE DB 设 n(x，y，z )为平面 BDE 的一个法向量，则Error!即Error!不妨设 z1，可得 n(1,0,1) 又 (1,2，1)，可得 n0.MN MN 因为 MN平面 BDE，所以 MN平面 BDE.(2)易知 n1(1,0,0) 为平面 CEM 的一个法向量设 n2(x 1，y
8、1，z 1)为平面 EMN 的一个法向量，则Error!因为 (0 ，2，1)， (1,2，1)，EM MN 所以Error!不妨设 y11，可得 n2(4,1 ，2) 因此有 cosn 1，n 2 ，n1n2|n1|n2| 421于是 sinn 1，n 2 .10521所以二面角 CEMN 的正弦值为 .10521(3)依题意，设 AHh(0h4)，则 H(0,0，h) ，进而可得 (1，2，h) ，NH (2,2,2)BE 由已知，得|cos ， | ，NH BE |NH BE |NH |BE | |2h 2|h2 523 721整理得 10h221h80，解得 h 或 h .85 12所以线段 AH 的长为 或 .85 12
