1、第 15 讲 导数的概念及运算1(2019江西赣州期中试卷) 若 f(x)x 22x4ln x ，则 f(x)0 的解集为(C)A(0，) B(1,0) (2，)C(2，) D(1,0)x0，f(x)2x2 0，4x 2x 2x 1x所以 x(2，)2(2018西安市长安一中第六次质检) 已知 yf(x)是可导函数，如图，直线 ykx 2是曲线 yf(x) 在 x3 处的切线，令 g(x)xf(x)，g( x)是 g(x)的导函数，则 g(3)(B)A1 B0C2 D4由图象可知曲线 yf(x)在 x3 处的切线的斜率等于 ，所以 f(3) ，且13 13f(3)1.因为 g(x)xf(x)，
2、所以 g(x)f(x)xf( x)，所以 g(3)f(3)3f(3)13( )0.133(2018全国卷)设函数 f(x)x 3( a1)x 2ax，若 f(x)为奇函数，则曲线 yf (x)在点(0，0)处的切线方程为(D)Ay2x By xCy 2x Dy x(方法 1)因为 f(x)x 3(a1)x 2ax，所以 f(x)3x 22(a1)xa.又 f(x)为奇函数，所以 f(x )f(x)恒成立，即x 3(a1)x 2axx 3(a1) x2ax 恒成立，所以 a1，所以 f(x)3x 2 1，所以 f(0)1，所以曲线 yf(x )在点(0 ，0)处的切线方程为 yx.(方法 2)因
3、为 f(x)x 3(a1)x 2ax 为奇函数，所以 f(x)3x 22(a1)xa 为偶函数，所以 a1，即 f(x)3x 21，所以 f(0)1，所以曲线 yf(x )在点(0 ，0)处的切线方程为 yx.4(2016山东卷)若函数 yf(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称 yf( x)具有 T 性质，下列函数中具有 T 性质的是(A)Aysin x Byln xCy ex Dy x 3若 yf(x )的图象上存在两点 (x1，f (x1)，(x 2，f (x2)，使得函数图象在这两点处的切线互相垂直，则 f(x 1)f (x2)1.对于 A，ycos x，
4、若有 cos x1cos x21，则存在 x12k，x 22k(k Z)时，结论成立；对于 B，y ，若有 1，即 x1x21，因为 x0，所以不存在 x1，x 2，使1x 1x11x2得 x1x21；对于 C，y ex，若有 ex1ex21，即 ex1x 21，显然不存在这样的 x1，x 2；对于 D，y3x 2，若有 3x 3x 1，即 9x x 1，显然不存在这样的 x1，x 2.21 2 212综上所述，选 A.5(2018全国卷)曲线 y( ax1)e x在点(0，1) 处的切线的斜率为2，则a_3_因为 y(axa1)e x，所以当 x0 时，ya1，所以 a12，得 a3.6如图
5、，函数 f(x)的图象是折线段 ABC，其中 A，B，C 的坐标分别为(0,4)，(2,0) ，(6,4)，则 ff(0) 2 ；li 2 .( 用数字作答)mx 0f1 x f1xff(0)f(4)2.因为直线 AB 的方程为 y2x 4(0 x 2) ，所以 y2.所以 li f(1)2.mx 0f1 x f1x7(2018佛山一模节选)已知函数 f(x)(xa)ln x x，(其中 aR )若曲线 yf(x) 在12点(x 0， f(x0)处的切线方程为 y x，求 a 的值12f(x)的定义域为(0，) ，f (x)ln x ，ax 32由题意知 则y0 12x0，y0 （x0 a）l
6、n x0 12x0，ln x0 ax0 32 12， ) （x0 a）ln x0 0，ln x0 ax0 1 0，)解得 或 所以 a1.x0 1，a 1，) x0 a，a 1，)8(2018广东七校联考)函数 f(x)x cos x 的导函数 f(x)在区间 ， 上的图象大致是(A)因为 f (x)cos x xsin x，所以 f(0) 1，所以排除 C、D，令 g(x)cos xxsin x，则 g(x)2sin xxcos x，当 x(0， )时，g( x)0，所以 g(x)即 f(x) 在(0， )上单调递减，所以排除 B，故选2 2A.9(2018重庆七校联考)若对于曲线 f(x)
7、e xx(e 为自然对数的底数 )的任意切线 l1，总存在曲线 g(x)ax 2cos x 的切线 l2，使得 l1l 2，则实数 a 的取值范围为 1,2 .设曲线 f(x)和 g(x)的切点分别为(x 1，f (x1)，(x 2，g(x 2)，易知 k1ex 11，k 2a2sin x 2，x 1，x 2R，因为 l1l2，所以(ex 11)(a 2sin x2)1，即 a2sin x 2 .1ex1 1令 u(x2)a2sin x 2，v(x 1) ，1ex1 1则它们的值域分别为a2， a2 与(0,1)，由题意知，对任意的 x1，总存在 x2，使得上述等式成立，所以(0,1) a2，
8、a2，所以 a20 且 a21，即1a2.所以 a 的取值范围为1,2 10已知函数 f(x)ax 33x 26ax 11，g( x)3x 26x 12，直线 m：ykx 9，且f(1)0.(1)求 a 的值；(2)是否存在 k 的值，使直线 m 既是曲线 yf(x)的切线，又是曲线 yg( x)的切线？如果存在，求出 k 的值；如果不存在，请说明理由(1)f(x) 3ax26x6a，f(1)0，即 3a66a 0，所以 a2.(2)直线 m 恒过定点 (0,9)，若直线 m 是曲线 yg( x)的切线，设切点为(x 0,3x 6x 012)，20因为 g(x 0)6x 06，所以切线方程为
9、y(3 x 6x 012)(6x 06)(xx 0)，20将(0,9)代入，得 x01.当 x01 时，切线方程为 y9；当 x01 时，切线方程为 y12x 9.由 f(x )0，得6x 26x 120，解得 x1 或 x2.在 x1 处，y f(x)的切线方程为 y18；在 x2 处，yf(x)的切线方程为 y9.所以 yf(x) 与 yg(x )的公切线是 y9.又由 f(x) 12，得6x 26x1212，解得 x0 或 x1，在 x0 处，yf(x)的切线方程为 y12x11；在 x1 处，yf(x)的切线方程为 y12x10.所以 yf(x) 与 yg(x )的公切线不是 y12x9.综上所述，存在 k0，使直线 m：y9 既是曲线 yf (x)的切线，又是曲线 yg( x)的切线
