1、第 14 讲 函数模型及其应用1. 已知 f(x)x 2，g(x )2 x， h(x)log 2x，当 x(4， )时，对三个函数的增长速度进行比较，下列选项中正确的是(B)Af(x)g( x)h(x) Bg(x )f(x)h(x) Cg(x)h(x)f(x ) Df(x) h(x)g(x)由图象知，当 x(4，) 时，增长速度由大到依次为 g(x)f(x)h(x)2今有一组实验数据如下表所示：t 1.99 3.0 4.0 5.1 6.12v 1.5 4.04 7.5 12 18.01现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是(C)Avlog 2t Bvlog t
2、12Cv Dv2t2t2 12作出散点图，观察可知应选 C.3某工厂一年中十二月份的产量是一月份产量的 m 倍，那么该工厂这一年中的月平均增长率是(D)A. B.m11 m12C. 1 D. 112m 1m设该厂一月份产量为 a，这一年中月平均增长率为 x，则 a(1x) 11ma ，解得x 1.1m4(2017北京卷)根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限 M 约为 3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数 N 约为 1080.则下列各数中与 最接近的是(D)MN(参考数据：lg 30.48)A10 33 B10 53C10 73 D10 93由题意，lg lg lg 3361lg 108
3、0361lg 380lg MN 33611080103610.4880193.28.故与 最接近的是 1093.MN5某商场在节假日对顾客购物实行一定的优惠，商场规定：如一次购物不超过 200 元，不给予折扣；如一次购物超过 200 元不超过 500 元，按标价给予九折优惠；如一次购物超过 500 元的，其中 500 元给予九折优惠，超过 500 元的剩余部分给予八五折优惠某人两次去购物，分别付款 176 元和 432 元，如果他只去一次购买同样的商品，则他应该付款为 582.6 元商品不打折的价钱共为 176432 656，109所以他只去一次购买，则应该付款为：5000.9(656500)
4、0.85582.6.6抽气机每次抽出容器内空气的 60%，要使容器内剩下的空气少于原来的 0.1%，则至少要抽 8 次(参考数据： lg 20.3010，lg 30.4771)设原有空气为 a，至少抽 n 次，则 a0.4nlog0.40.001，因为 log0.4 .11000lg 11000lg410 3lg 4 1 304所以 n ，nN *，故 n8.3047某民营企业生产 A，B 两种产品，根据市场调查与预测，A 产品的利润与投资成正比，其关系如图（1）所示B 产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图（2）所示( 利润与投资单位：万元 )(1)分别将 A、B 两种产品的利润表示
5、为投资的函数关系式，并写出它们的函数关系式；(2)该企业已筹集到 10 万元资金，并全部投入到 A，B 两种产品的生产，问：怎样分配这 10 万元投资，才能使企业获得最大利润，其最大利润为多少万元？(精确到万元)(1)设投资为 x 万元，A，B 两种产品的利润分别为 f(x)、g( x)，则 f(x)k 1x，g(x)k 2 ，x由图知 f(1) ，所以 k1 ，14 14又 g(4) ，所以 k2 ，52 54所以 f(x) x(x0)，g(x ) (x0)14 54x(2)设 A 产品投入 x 万元，则 B 产品投入(10x)万元，设企业利润为 y 万元所以 yf(x) g(10 x) (
6、0x 10) x4 5410 x令 t ，则 0t ，10 x 10所以 y t (t )2 .10 t24 54 14 52 6516当 t ，y max 4，此时 x3.75.52 6516所以当 A 产品投入 3.75 万元、B 产品投入 6.25 万元时，企业获得最大利润，约为 4 万元8如图所示，一直角墙角，两边的长度足够长，在 P 处有一棵树与两墙的距离分别是 a (m)(08 时，由于函数在a,12上为减函数，所以 xa 时，矩形面积取最大值 Smaxf (a)a(16a) 9为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量 y(毫克)
7、 与时间 t(小时) 成正比；药物释放完毕后，y 与 t 的函数关系为 y( )ta (a 为常数)，如图所示116根据图中提供的信息，回答下列问题：(1)从药物释放开始，每立方米空气中的含药量 y(毫克) 与时间 t(小时)之间的函数关系式为yError! ；(2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到 0.25 毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过 0.6 小时后，学生才能回到教室(1)由图可设 ykt(0t0.1)，把点(0.1,1)分别代入 ykt 和 y( )ta ，得116k10，a0.1.所以 yError!(2)由( )t0.1 0.6.116 1161
8、210提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况在一般情况下，大桥上的车流速度 v(单位：千米/时) 是车流密度 x(单位：辆/千米 )的函数当桥上的车流密度达到 200 辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为 0；当车流密度不超过 20 辆/ 千米时，车流速度为 60 千米/时研究表明：当 20x 200 时，车流速度 v 是车流密度 x 的一次函数(1)当 0x200 时，求函数 v(x)的表达式；(2)当车流密度 x 为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f(x) x v(x)可以达到最大，并求出最大值 (精确到 1 辆/时)(1)由题意：当 0x2
9、0 时，v(x) 60；当 20x200 时，设 v(x)axb，显然 v(x)ax b 在20,200 是减函数，由已知得Error!解得Error! 故函数 v(x)的表达式为v(x)Error! (2)依题意并由(1) 可得f(x)Error! 当 0x20 时，f( x)为增函数，故当 x20 时，其最大值为 60201200；当 20x200 时，f(x) x(200x) 2 ，13 13x 200 x2 100003当且仅当 x200x ，即 x 100 时，等号成立所以，当 x100 时，f( x)在区间20,200上取得最大值 .100003综上，当 x100 时，f( x)在区间0,200上取得最大值 3333，100003即当车流密度为 100 辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为 3333 辆/ 时
