1、浙江省湖州市安吉、德清、长兴等三县 2018-2019 学年高一上学期期中考试数学试题一选择题(本大题共 10 小题,共 40.0 分)1.已知集合 ,则下列关系式中,正确的是( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】由题可知:元素与集合只有属于与不属于关系,集合与集合之间有包含关系,所以可得 正确,故选 C.2.下列函数中与 y=x 表示同一个函数的是( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】对 A,函数 ,定义域为 xR ,与已知函数定义域,对应法则相同,故 A 正确,对 B,函数 的定义域为 x0,与函数的定义域不同,B 错误;对 C, ,与函数对应法则不同, C 错误;对
2、D,函数 ,的定义域为 x0,与函数的定义域不同, D 错误故选:A3.幂函数 f(x)的图象过点(27,3) ,则 f(8)=( )A. 8 B. 6 C. 4 D. 2【答案】D【解析】设幂函数 y=f(x)=x ,R,其图象过点(27,3) ,27 =3,解得 = , , 故选:D4.已知 f(x)= ,则 ff(-3) 的值为( )A. 3 B. 2 C. D. 【答案】D【解析】由题意可得: ,所以 f(-3)=-3+4=1,所以 f(1)=1-4=-3,所以 ff(-3 )=f(1)=-3故选:D5.三个数 a=0.52,b=log 20.5,c=2 0.5 的大小关系是( )A.
3、 B. C. D. 【答案】D【解析】由题意,根据指数函数的性质,可得 0a=0.5 21,c=2 0.52 0=1, 由对数函数的性质,可得 b=log20.5log 21=0, ba c,故选:D6.函数 的零点所在的区间为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】 单调递增,仅有一个零点又 , , 故函数 的零点位于区间 7.函数 的图象大致是( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】函数 的定义域为 ,排除 B,当 时, 函数在 上单调递增,在 上单调递减,故排除 A,D,故选 C8.设函数 f(x) =min|x-2|,x 2,|x+2| ,其中 minx,y ,z表示
4、x,y,z 中的最小值下列说法正确的是( )A. 函数 为奇函数B. 函数 既是奇函数又是偶函数C. 函数 为偶函数D. 函数 既不是奇函数也不是偶函数【答案】C【解析】根据题意,在同一直角坐标系中画出 y=|x-2|,y=x 2,y=|x+2| 的图象:则有 ,显然 f(- x)= f(x) ,可得 f( x)为偶函数;故选:C9.函数 f(x)= , (aR) ,若函数 f(x)在(1,+)上为减函数,则实数 a 的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】由题意,函数 , (aR ) ,函数 f(x)在( 1,+)上为减函数, 在(1,+)恒成立,a ,检验当 a=0 时
5、不符合题意,故 a0故选:C10.已知函数 ,若对 ,均有 ,则 的最小值为( )A. B. C. -2 D. 0【答案】A【解析】由题意可知函数 f(x)的对称轴为 x=1,显然 f(0)=f(-1)=0,由对称性知 f(2)=f(3)=0,所以 ,所以 , ,即 f(x)= ,不妨令 ,函数为 , ,所以当 ,时 y 取最小值 ,选 A.二.填空题(本大题共 7 小题,共 36.0 分)11. =_,lg4+lg25=_【答案】 (1). 8 (2). 2【解析】由题意,根据实数指数幂的运算,可得 ;由对数的运算性质,可得 故答案为:8,212.函数 f(x) =ax-1-2(a0 且 a
6、1)恒过定点_,f (x )的值域为_【答案】 (1). (1,-1) (2). (-2 ,+)【解析】由题意,可得 x-1=0,解得 x=1,此时 f(1)=a 0-2=1-2=-1,即函数过定点(1,-1) , a x-10, a x-1-22, f (x)的值域为(-2 ,+) 故答案为:(1,-1) , (-2,+)13.设 f(x)为定义在 R 上的奇函数,且当 x0 时,f (x)=1og 2(x+2) 则 f(0)=_,当 x0 时,f(x)=_【答案】 (1). 0 (2). -1og2(-x+2)【解析】根据题意,f(x )为定义在 R 上的奇函数,则 f(0)=0, 设 x
7、0,则-x0, 则 f(-x)=1og 2(-x+2) , 又由函数 f(x)为奇函数,则 f(x)=-f (-x)=-1og 2(- x+2) , 故答案为:0,-1og 2(-x +2) 14.函数 f(x) = ,若 f(1)=2,则 k=_,若对任意的 x1,x 2, (x 1-x2)(f(x 1)-f(x 2) )0 恒成立,则实数 k 的范围_【答案】 (1). 3 (2). 2,3【解析】根据题意,函数 ,若 f(1)=2,则 f(1)=-1+ k=2,解可得 k=3;若对任意的 x1,x 2, (x 1-x2) (f(x 1)-f(x 2) )0 恒成立,则函数 f(x)为 R
8、 上的增函数,则有 ,解可得 2k3,则 k 的取值范围为 2,3;故答案为:3,2,315.函数 f(x) =x3,若 f(a-2)+f(4+3a)0,则实数 a 的取值范围为_【答案】 (- , - )【解析】根据题意,函数 f( x)=x 3,则 f(x )为奇函数且在 R 上为增函数,若 f(a-2)+ f(4+3a)0f(a-2)-f(4+3a) ,则 f(a-2)f(-4-3 a)a-2-4-3 a,解可得:a- ,即 a 的取值范围为:(- ,- ) ;故答案为:(-,- ) 16.函数 若存在 ,使得 ,则 的最大值为_【答案】【解析】绘制函数 的图象如图所示,观察可得: ,且
9、: ,原问题等价于考查二次函数: 在区间 上的最大值,函数的对称轴 ,则函数的最大值为: .综上可得: 的最大值为 .17.设函数 f(x )=| x-1|在 xt,t +4(tR )上的最大值为 M(t ) ,则 M(t)的最小值为_【答案】2【解析】作出函数 f(x )=| x-1|的图象,如图所示,当 t+41即 t-3时,f(x )在t,t +4递减,可得最大值 M(t)=f(t )=|t-1|=1-t ,由 M(t)在 t-3递减,可得 M(t )4,即最小值为 4;当 t1时,f(x)在 t,t+4递增,可得最大值 M(t )=f(t+4)=| t+3|=t+3,由 M(t)在 t
10、1递增,可得 M(t )4,即最小值为 4;当 t1t+4,即-3t1 时,f(x )在(t,1)递减,在(1,t+4)递增,可得 f(x)的最小值为 0;当 t=-1 时,f(t)= f(t+4)=2;当-1t1 时,f(t)f(t+4) ,f(x )的最大值 M(t )=f (t+4)=t+3,且 M(t)(2,4) ;当-3t-1 时, f(t)f(t +4) ,f (x)的最大值 M(t)=f(t)=1-t ,且 M(t )(2,4) ;综上可得 M(t)的最小值为 2故答案为:2三.解答题(本大题共 5 小题,共 74.0 分)18.已知全集为 R,集合 P=x|2ax2a+3,Q
11、=x|-2x5()若 a= ,求 PQ, ( RP) Q;()若 PQ,求实数 a 的取值范围解:()a= 时,P=x|3x6, RP=x|x3 或 x6 ,PQ=x|-2 x6, ( RP) Q=x|-2x3;()P Q, ,-1a1,实数 a 的取值范围为-1,1 19.已知函数 f(x )= (aR) ()若 f(1)=2,求函数 y=f(x)-2x 在 ,2 上的值域;()当 a(0, )时,试判断 f(x)在(0,1上的单调性,并用定义证明你的结论()解:根据题意,函数 f(x )= ,若 f(1)=2 ,则 =2,解可得 a= ,则 f(x)= =x+ ,则 y=f(x)-2 x=
12、 -x,设 g(x)= -x,分析易得 g(x)在 ,2上为减函数,且 g( )=2- = ,g(2)= -2=- ;故 y=f(x)-2x 在 ,2上的值域为- , ;()f(x)= =2ax+ ,当 a(0, )时,在(0,1上为减函数,证明:设 0x 1x 21,f(x 1)-f(x 2)=(2ax 1+ )-(2ax 2+ )= (2ax 1x2-1) ,又由 a(0, )且 0x 1 x21,则(x 1-x2)0, (2ax 1x2-1)0,则 f(x 1)-f(x 2)0,即函数 f(x)在(0,1 上为减函数20.已知函数 f(x )=lg 的图象关于原点对称,其中 a 为常数(
13、)求 a 的值,并求出 f( x)的定义域()关于 x 的方程 f(2 x) +21g(2 x-1)=a 在 x , 有实数解,求 a 的取值范围解:()函数 f(x )=lg 的图象关于原点对称,函数 f(x)=lg 为奇函数,即 f(- x)+ f(x)=0, ,且 a1lg =0, =1,整理可得, (a 2-1)x 2=0 恒成立,a=1(舍)或 a=-1,f (x ) =lg ,由 可得,x-1 或 x1,即函数的定义域(-,-1 )(1,+) ,()设 2x=t,则 t ,2 ,关于 x 的方程 f(2 x)+21g(2 x-1)=a 在 x , 有实数解,lg +21g(2 x-
14、1)=lg (2 x+1) (2 x-1)=lg(2 2x-1)= a 在 x , 有实数解,设 u=22x-1,则 u(x )为增函数,y =lgu 为增函数,y=lg(2 2x-1)在 , 上为增函数, 0y lg7,a0,lg7 21.设函数 f(x )=x 2+(2a+1)x +a2+3a(aR) ()若函数 f(x )在0 ,2上单调,求 a 的取值范围;()若 f(x)在闭区间 m,n 上单调递增(其中 mn) ,且y|y=f(x) ,mxn= m,n,求 a 的取值范围解:()当- 0,即 a- 时,f (x)在0 ,2上单调递增,当- 2,即 a 时,f(x)在0,2上单调递减
15、;综上所述:a 的取值范围是(-, - ,+)()因为 f(x )在 m,n上递增,则满足 ,即方程 f(x)=x 在- , +)上有两个不相等的实数根,设 F(x )= f( x)-x =x2+2ax+a2+3a,则 ,则- ,综上所述:实数 a 的取值范围是- ,0)22.已知函数 f(x )=x| x-a|+bx(a,bR) ()当 b=-1 时,函数 f(x)恰有两个不同的零点,求实数 a 的值;()当 b=1 时,若对于任意 x1 ,3,恒有 f(x)2x 2,求 a 的取值范围;若 a2,求函数 f(x)在区间0 ,2上的最大值 g(a) 解:()当 b=-1 时,f(x )= x
16、|x-a|-x=x(|x -a|-1) ,由 f(x)=0,解得 x=0 或|x- a|=1,由|x -a|=1,解得 x=a+1 或 x=a-1由 f(x)恰有两个不同的零点且 a+1a-1,可得 a+1=0 或 a-1=0,得 a=1;()当 b=1 时,f(x )=x |x-a|+x,对于任意 x1 ,3,恒有 f(x)2x 2,即|x -a|+12x,即|x -a|2x-1,即有 1-2xx-a2x-1,即 1-x-ax-1,x1, 3时,1-x -2,0,x-10 ,2,可得 0-a0,即 a=0;f(x)= = 当 2a3 时, 2a,这时 y=f(x)在0, 上单调递增,在 ,2 上单调递减,此时 g(a)=f( )= ;当 a3时, 2,y =f(x)在0 ,2上单调递增,此时 g(a)=f( 2)=2 a-2综上所述,g(a)=