1、2019 年河南省洛阳市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （5 分）设集合 AxN *|x2x 20 ，B2，3 ，则 AB（ ）A 1，0，1，2，3 B1 ，2，3 C1，2D 1，32 （5 分）若复数 z 为纯虚数且（1+i）zai （其中 i 是虚数单位，aR） ，则|a+z| （ ）A B C2 D3 （5 分）函数 y （x0）的图象大致是（ ）A BC D4 （5 分）在区间1，1内随机取两个实数 x，y ，则满足 yx 21 的概
2、率是（ ）A B C D5 （5 分）4 名大学生到三家企业应聘，每名大学生至多被一家企业录用，则每家企业至少录用一名大学生的情况有（ ）A24 种 B36 种 C48 种 D60 种6 （5 分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）第 2 页（共 27 页）A B C D 7 （5 分）已知双曲线 C： （a0，b0） ，过左焦点 F1 的直线切圆 x2+y2a 2于点 P，交双曲线 C 右支于点 Q，若 ，则双曲线 C 的渐近线方程为（ ）Ayx By2x Cy Dy 8 （5 分）我国古代数学名著九章算术中“开立圆术”曰：置积
3、尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径 “开立圆术”相当于给出了已知球的体积 V，求其直径 d 的一个近似公式 ，人们还用过一些类似的近似公式，根据3.14159判断，下列近似公式中最精确的一个是（ ）A B C D9 （5 分）已知实数 x，y 满足约束条件 ，则 的取值范围为（ ）A BC D10 （5 分）如图，设 A、B 是半径为 2 的圆 O 上的两个动点，点 C 为 AO 中点，则第 3 页（共 27 页）的取值范围是（ ）A1，3 B1，3 C 3，1 D 3，111 （5 分）已知函数 yf（x）对任意的 x（ ，
4、）满足 f（x）cosx+f（x）sinx0 （其中 f（x）是函数 f（x）的导函数） ，则下列不等式成立的是（ ）A f（ ）f（ ） B f（ ）f （ ）Cf（0）2f（ ） Df（0） f（ ）12 （5 分）已知球 O 是正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）ABCD 的外接球，BC3， ，点 E 在线段 BD 上，且 BD6BE ，过点 E 作球O 的截面，则所得截面圆面积的取值范围是（ ）A B C D二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13 （5 分）已知 ，则 14 （5 分）数
5、列a n首项 a12，且 ，令 bnlog 3（a n+1） ，则的前 2019 项的和 S2019 15 （5 分） （3x+2y ） 2（x y） 7 的展开式中含有 x5y4 的项的系数为 16 （5 分）若函数 在（0，+）上仅有一个零点，则 a 三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17 （12 分）如图，D 是直角 ABC 斜边 BC 上一点，AC （1）若CAD30，求角 B 的大小；（2）若 BD2DC，且 AD2 ，求 CD 的长第
6、 4 页（共 27 页）18 （12 分）如图，已知多面体 PABCDE 的底面 ABCD 是边长为 2 的菱形，PA底面ABCD， EDPA，且 PA 2ED2（1）证明：平面 PAC平面 PCE；（2）若直线 PC 与平面 ABCD 所成的角为 45，求二面角 PCED 的余弦值19 （12 分）已知椭圆 C 中心在原点，焦点在坐标轴上，直线 与椭圆 C 在第一象限内的交点是 M，点 M 在 x 轴上的射影恰好是椭圆 C 的右焦点 F2，椭圆 C 另一个焦点是F1，且 （）求椭圆 C 的方程；（）直线 l 过点（1，0） ，且与椭圆 C 交于 P，Q 两点，求F 2PQ 的内切圆面积的最大
7、值20 （12 分）为了引导居民合理用电，国家决定实行合理的阶梯电价，居民用电原则上以住宅为单位（一套住宅为一户） 阶梯级别 第一阶梯 第二阶梯 第三阶梯月用电范围（度） （0，210 （210，400 （400，+ ）某市随机抽取 10 户同一个月的用电情况，得到统计表如下：居民用电户编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10用电量（度） 53 86 90 124 132 200 215 225 300 410（1）若规定第一阶梯电价每度 0.5 元，第二阶梯超出第一阶梯的部分每度 0.6 元，第三第 5 页（共 27 页）阶梯超出第二阶梯的部分每度 0.8 元，试计算 A 居民用电户用
8、电 410 度时应交电费多少元？（2）现要在这 10 户家庭中任意选取 3 户，求取到第二阶梯电量的户数的分布列与期望；（3）以表中抽到的 10 户作为样本估计全市的居民用电，现从全市中依次抽取 10 户，若抽到 k 户用电量为第一阶梯的可能性最大，求 k 的值21 （12 分）已知函数 f（x ）e x+ax+ln（x+1）1（1）求 f（x）在 x0 处的切线方程；（2）若 x0 时，f（x）0 恒成立，求实数 a 的取值范围；（3）求证：e 请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修 4-4：坐标系与参数方程22 （10 分）在平面直角坐标系 xOy
9、中，曲线 C1 的参数方程为 （ 为参数） ，以原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为4cos ，曲线 C1、C 2 的公共点为 A、B（）求直线 AB 的斜率；（）若点 C、D 分别为曲线 C1、C 2 上的动点，当|CD|取最大值时，求四边形 ACBD的面积选修 4-5：不等式选讲23已知函数 f（x ）|2x +1| xm |（mR） （1）当 m1 时，解不等式 f（x）2；（2）若关于 x 的不等式 f（x）|x 3|的解集包含3 ，4，求 m 的取值范围第 6 页（共 27 页）2019 年河南省洛阳市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解
10、析一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （5 分）设集合 AxN *|x2x 20 ，B2，3 ，则 AB（ ）A 1，0，1，2，3 B1 ，2，3 C1，2D 1，3【分析】可求出集合 A，然后进行并集的运算即可【解答】解：AxN *|1x21，2 ，B2，3；AB1，2，3故选：B【点评】考查描述法、列举法的定义，以及并集的运算2 （5 分）若复数 z 为纯虚数且（1+i）zai （其中 i 是虚数单位，aR） ，则|a+z| （ ）A B C2 D【分析】把已知等式变形，利用复数
11、代数形式的乘除运算化简，再由实部为 0 且虚部不为 0 求得 a 值，则|a+ z|可求【解答】解：由（1+i）z ai ，得 ，复数 z 为纯虚数， ，解得 a1zi，则|a +z| |1i| 故选：A【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题3 （5 分）函数 y （x0）的图象大致是（ ）第 7 页（共 27 页）A BC D【分析】判断函数的奇偶性，排除选项，利用特殊值判断即可【解答】解：函数 y （x0）是奇函数，排除 C，D当 x 时，y 0排除 B，故选：A【点评】本题考查函数的图象的判断与应用，基本知识的考查4 （5 分）在区间1，1内随机取
12、两个实数 x，y ，则满足 yx 21 的概率是（ ）A B C D【分析】该题涉及两个变量，故是与面积有关的几何概型，分别表示出满足条件的面积和整个区域的面积，最后利用概率公式解之即可【解答】解：由题意可得， 的区域为边长为 2 的正方形，面积为 4，满足 yx 21 的区域为图中阴影部分，面积为 2+ 满足 yx 21 的概率是 故选：D第 8 页（共 27 页）【点评】本题主要考查了与面积有关的几何概率的求解，解题的关键是准确求出区域的面积，属于中档题5 （5 分）4 名大学生到三家企业应聘，每名大学生至多被一家企业录用，则每家企业至少录用一名大学生的情况有（ ）
13、A24 种 B36 种 C48 种 D60 种【分析】分两类，第一类，有 3 名被录用，第二类，4 名都被录用，则有一家录用两名，根据分类计数原理即可得到答案【解答】解：分两类，第一类，有 3 名被录用，有 24 种，第二类，4 名都被录用，则有一家录用两名，有 36，根据分类计数原理，共有 24+3660（种）故选：D【点评】本题考查排列、组合的综合运用，解题时要先确定分几类，属于基础题6 （5 分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）第 9 页（共 27 页）A B C D 【分析】由三视图可得，直观图为圆锥的 与圆柱的 组合体，由图中数据可得该几何体的体积【解答
14、】解：由三视图可得，直观图为圆锥的 与圆柱的 组合体，由图中数据可得几何体的体积为 ，故选：A【点评】本题考查由三视图求面积、体积，考查学生的计算能力，确定几何体的形状是关键7 （5 分）已知双曲线 C： （a0，b0） ，过左焦点 F1 的直线切圆 x2+y2a 2于点 P，交双曲线 C 右支于点 Q，若 ，则双曲线 C 的渐近线方程为（ ）Ayx By2x Cy Dy 【分析】由已知可得：丨 OP 丨a，设双曲线的右焦点为 F，由 P 为线段 FQ 的中点，知|PF|2a，| QF|2b，由双曲线的定义知：2b2a2a，由此能求出双曲线 C：（a0，b0）的渐近线方程第 10
15、页（共 27 页）【解答】解：过双曲线 C： （a0，b0） ，左焦点 F 引圆 x2+y2a2 的切线，切点为 P，丨 OP 丨a，设双曲线的右焦点为 F，P 为线段 FQ 的中点，|QF |2a， |QF|2b，由双曲线的定义知：2b2a2a，b2a双曲线 C： （a 0，b0）的渐近线方程为 bxay0，即 2axay0，2xy0故选：B【点评】本题考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与双曲线的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化，属于中档题8 （5 分）我国古代数学名著九章算术中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径 “开
16、立圆术”相当于给出了已知球的体积 V，求其直径 d 的一个近似公式 ，人们还用过一些类似的近似公式，根据3.14159判断，下列近似公式中最精确的一个是（ ）A B C D【分析】根据球的体积公式求出直径，将四个选项逐一代入，求出最接近真实值的那一个即可【解答】解：由 V （ ） 3，解得 d ，第 11 页（共 27 页）选项 A 代入得 3.1；选项 B 代入得 3；选项 C 代入得 3.2；选项 D 代入得 3.142857由于 D 的值最接近 的真实值故选：D【点评】本题主要考查了球的体积公式及其估算，同时考查了计算能力，属于中档题9 （5 分）已知实数 x，
17、y 满足约束条件 ，则 的取值范围为（ ）A BC D【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用线性规划的知识即可得到结论【解答】解：作出的可行域为三角形（包括边界） ，把 ，看作点（x，y）和 C（5，0）之间的斜率，记为 k，由可行域可知 A（2，2） ，B（2，4） ，则 k 故选：A【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用 z 的几何意义，通过数形结合是解决本题第 12 页（共 27 页）的关键10 （5 分）如图，设 A、B 是半径为 2 的圆 O 上的两个动点，点 C 为 AO 中点，则的取值范围是（ ）A1，3 B1，3 C 3，1 D 3，1【分析】如图所
18、示，可得 O（ 0，0） ，A（2，0） ，C（1，0） ，设B（2cos，2sin ） 0，2） 利用数量积运算性质与三角函数的单调性可得范围【解答】解：如图所示，可得 O（0，0） ，A（2，0） ，C（1，0） ，设 B（2cos，2sin） 0 ，2 ） （1，0）（2cos+1，2sin）2cos+1 1， 3故选：A【点评】本题考查了向量数量积运算性质、三角函数的单调性求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题11 （5 分）已知函数 yf（x）对任意的 x（ ， ）满足 f（x）cosx+f（x）sinx0 （其中 f（x）是函数 f（x）的导函数） ，则下列不等式成立的是（ &
19、nbsp;）A f（ ）f（ ） B f（ ）f （ ）Cf（0）2f（ ） Df（0） f（ ）第 13 页（共 27 页）【分析】根据条件构造函数 g（x） ，求函数的导数，利用函数的单调性和导数之间的关系即可得到结论【解答】解：构造函数 g（x） ，则 g（x） （f（x）cosx+f（x）sinx） ，对任意的 x（ ， ）满足 f（x）cosx+f （x）sinx0，g（x）0，即函数 g（x）在 x（ ， ）单调递增，则 g（ ）g（ ） ，即 ， ，即 f（ ）f （ ） ，故 A 正确g（0）g（ ） ，即 ，f（0）2f（ ） ，故选：A【点评】本题主要考查函数单调性的应用，
20、利用条件构造函数是解决本题的关键，综合性较强，有一点的难度12 （5 分）已知球 O 是正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）ABCD 的外接球，BC3， ，点 E 在线段 BD 上，且 BD6BE ，过点 E 作球O 的截面，则所得截面圆面积的取值范围是（ ）A B C D【分析】设BDC 的中心为 O1，球 O 的半径为 R，连接 O1D，OD，O 1E，OE，可得R23+（3R） 2，解得 R2，过点 E 作圆 O 的截面，当截面与 OE 垂直时，截面的面积最小，当截面过球心时，截面面积最大，即可求解【解答】解：如图，设BDC 的中心为 O1，球 O 的半径
21、为 R，连接 O1D，OD，O 1E，OE ，第 14 页（共 27 页）则 O1D3sin60 ，AO 1 3，在 Rt OO1D 中，R 23+（3R） 2，解得 R2，BD6BE，DE2.5，在DEO 1 中， O1E ，OE ，过点 E 作圆 O 的截面，当截面与 OE 垂直时，截面的面积最小，此时截面圆的半径为 ，最小面积为 ，当截面过球心时，截面面积最大，最大面积为 4故选：A【点评】本题考查三棱锥外接球的截面圆面积的取值范围的求法，考查球、圆锥等基础知识，考查运算求解能力、空间想象能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，是中档题二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在
22、答题纸上）13 （5 分）已知 ，则 【分析】由已知利用两角和的正切函数公式 tan ，利用同角三角函数基本关系式化简所求即可计算得解【解答】解： ，则 2，解得：tan ，第 15 页（共 27 页） 故答案为： 【点评】本题主要考查了两角和的正切函数公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题14 （5 分）数列a n首项 a12，且 ，令 bnlog 3（a n+1） ，则的前 2019 项的和 S2019 【分析】首先利用递推关系式求出数列的通项公式进一步利用通项公式再利用裂项相消法求出数列的和【解答】解：数列a
23、 n首项 a12，且 ，则：a n+1+13（a n+1） ，即： （常数） ，所以：数列a n+1是以 a1+13 为首项，3 为公比的等比数列，故： ，令 bnlog 3（a n+1） ，故： 所以：S nb 1+b2+bn， ， ， 所以： ，故答案为：【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和第 16 页（共 27 页）中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型15 （5 分） （3x+2y ） 2（x y） 7 的展开式中含有 x5y4 的项的系数为 21 【分析】多项式（3x+2y ） 2（x y） 7（9x 2+12xy
24、+4y2） （xy） 7，设（xy） 7 的通项公式为 Tr+1 x7r （y ） r，分别令 r4，r3，r2 ，即可得出【解答】解：多项式（3x+2y） 2（x y） 7（9x 2+12xy+4y2） （xy） 7，设（xy） 7 的通项公式为 Tr+1 x7r （y） r，令 r4，则 T5 35x 3y4，令 r3，则 T4 35x 4y3，令 r2，则 T3 x5（y） 221x 5y2多项式（3x+2y ） 2（x y） 7 的展开式中含有 x5y4 项的系数为：3593512+21421故答案为：21【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题16 （
25、5 分）若函数 在（0，+）上仅有一个零点，则 a 5ln24 【分析】由题意将原问题转化为两个函数交点个数的问题，然后利用导函数研究函数的最大值即可确定实数 a 的值【解答】解：函数 f（x ）的零点满足 ex+ax 3+2x20，即 aln （x 32x 2）x，则原问题等价于函数 ya 与函数 g（x）ln（x 32x 2）x 有且只有一个交点注意到函数 g（x）的定义域为（2，+） ，且 ，在区间（2，4）上，g （x）0，g（x）单调递增，在区间（4，+）上，g （x）0，g（x）单调递减，则函数 g（x）的最大值为 g（4）5ln24，据此可得，实数 a 的值为 5ln24故答案为
26、：5ln24【点评】本题主要考查函数零点个数问题，等价转化的数学思想，导函数研究函数的单调性和函数的最值等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力第 17 页（共 27 页）三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17 （12 分）如图，D 是直角 ABC 斜边 BC 上一点，AC （1）若CAD30，求角 B 的大小；（2）若 BD2DC，且 AD2 ，求 CD 的长【分析】 （1）根据正弦定理即可求出，（2）根据余弦地理和同角的三角函数的关系即可求出【解答】解：（1）在ABC 中，根据正弦定理，有 ， 又 ， ， ， ；（2）设 DCx，则
27、 ， 在ABD 中，AD 2AB 2+BD22AB BDcosB，即 ，得 故 【点评】本题考查了正弦定理余弦定理的应用，以及解三角形的问题，属于中档题18 （12 分）如图，已知多面体 PABCDE 的底面 ABCD 是边长为 2 的菱形，PA底面ABCD， EDPA，且 PA 2ED2（1）证明：平面 PAC平面 PCE；（2）若直线 PC 与平面 ABCD 所成的角为 45，求二面角 PCED 的余弦值第 18 页（共 27 页）【分析】 （1）连接 BD，交 AC 于点 O，设 PC 中点为 F，连接 OF，EF，推导出四边形OFED 为平行四边形，从而 ODEF，即 BDEF，进而
28、PABD 再求出 BDAC，从而 BD平面 PAC，求出 EF平面 PAC，由此能证明平面 PAC平面 PCE（2）法 1：设 BC 的中点为 M，连接 AM，则 AMBC 以 A 为原点，AM，AD ，AP 分别为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系 Axyz，利用向量法能求出二面角 PCE D 的余弦值法 2：以点 O 为原点，OB，OC，OF 分别为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系Oxyz，利用向量法能求出二面角 PCE D 的余弦值【解答】证明：（1）连接 BD，交 AC 于点 O，设 PC 中点为 F，连接 OF，EF，O，F 分别为 AC，PC 的中点，OFPA，且 OF PA
29、，DEPA，且 ，OF DE，且 OFDE 四边形 OFED 为平行四边形，ODEF，即 BDEF PA平面 ABCD，BD平面 ABCD，PABD ABCD 是菱形，BDACPAACA，BD平面 PACBDEF，EF平面 PACFE 平面 PCE，平面 PAC平面 PCE解：（2）解法 1：因为直线 PC 与平面 ABCD 所成角为 45，PCA45，ACPA2ACAB，故 ABC 为等边三角形设 BC 的中点为 M，连接 AM，则 AMBC以 A 为原点，AM ，AD，AP 分别为 x，y ，z 轴，建立空间直角坐标系 Axyz（如图） 第 19 页（共 27 页）则 P（0，0，2） ，
30、C（ ） ，E （0，2，1） ，D（0，2，0） ，（ ） ， （ ，1，1） ， （0，0，1） 设平面 PCE 的法向量为 nx 1，y 1，z 1，则 ，即令 y11，则 ， （ ） 设平面 CDE 的法向量为 （x 2，y 2，z 2） ，则 ，即 令 x21，则 ， （1， ） 设二面角 PCED 的大小为 ，由于 为钝角，cos|cos | 二面角 PCED 的余弦值为 解法 2：因为直线 PC 与平面 ABCD 所成角为 45，且 PA平面 ABCD，所以PCA45，所以 ACPA2因为 ABBC 2，所以ABC 为等边三角形因为 PA平面 ABCD，由（1）知 PAOF，所以
31、 OF平面 ABCD因为 OB平面 ABCD，OC 平面 ABCD，所以 OFOB 且 OFOC在菱形 ABCD 中，OBOC以点 O 为原点，OB，OC，OF 分别为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系 Oxyz （如图）则 ，则 第 20 页（共 27 页）设平面 PCE 的法向量为 n（x 1，y 1，z 1） ，则 即令 y11，则 ，则法向量 n（0，1，1） 设平面 CDE 的法向量为 m（ x2，y 2，z 2） ，则 即令 x21，则 则法向量 设二面角 PCED 的大小为 ，由于 为钝角，则 二面角 PCED 的余弦值为 【点评】本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求
32、法，考查空间中线线、线第 21 页（共 27 页）面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题19 （12 分）已知椭圆 C 中心在原点，焦点在坐标轴上，直线 与椭圆 C 在第一象限内的交点是 M，点 M 在 x 轴上的射影恰好是椭圆 C 的右焦点 F2，椭圆 C 另一个焦点是F1，且 （）求椭圆 C 的方程；（）直线 l 过点（1，0） ，且与椭圆 C 交于 P，Q 两点，求F 2PQ 的内切圆面积的最大值【分析】 （）根据直线 与椭圆 C 在第一象限内的交点是 M，点 M 在 x 轴上的射影恰好是椭圆 C 的右焦点 F2，可知焦点在 x 轴上且 M 点坐标（c， ） F 1（
33、c，0） ，F2（c， 0） 利用 ，可得 c1，设椭圆 C 方程 M点代入椭圆 C 方程，即可求得椭圆 C 方程；（）要使F 2PQ 的内切圆面积最大，即使 F 2PQ 的面积最大，根据 F2F1 为定长，可得当且仅当直线 L 过（1，0） ，与 x 轴垂直时F 2PQ 的面积最大【解答】解：（）根据直线 与椭圆 C 在第一象限内的交点是 M，点 M 在 x 轴上的射影恰好是椭圆 C 的右焦点 F2，可知焦点在 x 轴上且 M 点坐标（c， ） F 1（c，0） ，F 2（c，0） ， ，c1设椭圆 C 方程：M 点坐标（1， ）代入椭圆 C 方程得 ，c 1，a2，b 椭圆 C 方程为（）
34、直线 l 过点（1，0） ，且与椭圆 C 交于 P，Q 两点，第 22 页（共 27 页）则F 2PQ 的周长为 4a8，则 4ar（r 为三角形内切圆半径） ，要使F 2PQ 的内切圆面积最大，即使F 2PQ 的面积最大，F 2F1 为定长，F 2PQ 的面积为 2|y1y 2|， （y 1，y 2 分别为 P，Q 的纵坐标） ，可设直线 l 的方程为 xmy 1，代入椭圆方程可得（4+3m 2）y 26my90，y1+y2 ，y 1y2 ，|y1 y2|2（y 1+y2） 24y 1y2 ，显然 m0 上式取得最大值，当且仅当直线 L 过（1，0） ，与 x 轴垂直时F 2PQ 的面积最大
35、此时 P（1， ） ，Q（1， ）|F 2P| |F2Q| ，|PQ|3 设F 2PQ 的内切圆半径为 r，则r ，其面积 S 【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查三角形的内切圆的面积，考查学生分析解决问题的能力，综合性强20 （12 分）为了引导居民合理用电，国家决定实行合理的阶梯电价，居民用电原则上以住宅为单位（一套住宅为一户） 阶梯级别 第一阶梯 第二阶梯 第三阶梯月用电范围（度） （0，210 （210，400 （400，+ ）某市随机抽取 10 户同一个月的用电情况，得到统计表如下：居民用电户编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10用电量（度） 53 86 90 124 132
36、 200 215 225 300 410（1）若规定第一阶梯电价每度 0.5 元，第二阶梯超出第一阶梯的部分每度 0.6 元，第三阶梯超出第二阶梯的部分每度 0.8 元，试计算 A 居民用电户用电 410 度时应交电费多少元？（2）现要在这 10 户家庭中任意选取 3 户，求取到第二阶梯电量的户数的分布列与期望；第 23 页（共 27 页）（3）以表中抽到的 10 户作为样本估计全市的居民用电，现从全市中依次抽取 10 户，若抽到 k 户用电量为第一阶梯的可能性最大，求 k 的值【分析】 （1）利用已知条件通过分段函数分段求解电费即可（2）设取到第二阶梯电量的用户数为 ，可知第二阶梯电量的用户
37、有 3 户，则 可取0，1，2，3，求出概率，得到 的分布列，然后求解期望即可（3）利用独立重复试验，求出概率，列出不等式组求解即可【解答】解：（1）2100.5+（400210）0.6+（410400）0.8227 元 （2 分）（2）设取到第二阶梯电量的用户数为 ，可知第二阶梯电量的用户有 3 户，则 可取0，1，2，3故 的分布列是 0 1 2 3p所以 （7 分）（3）可知从全市中抽取 10 户的用电量为第一阶梯，满足 XB（10， ） ，可知 （k0，1，2，3，10），解得 ，kN *所以当 k6 时，概率最大，所以 k6（12 分）【点评】本题考查独立重复试验概率的求法，分布列以
38、及期望的期望的求法，考查分析问题解决问题的能力21 （12 分）已知函数 f（x ）e x+ax+ln（x+1）1（1）求 f（x）在 x0 处的切线方程；（2）若 x0 时，f（x）0 恒成立，求实数 a 的取值范围；第 24 页（共 27 页）（3）求证：e 【分析】 （1）求得 f（x ）的导数，可得切线的斜率，进而得到 f（x）在 x0 处的切线方程；（2）f（x） ex+a+ ， ， 在0，+ ）上单调递增，可得 f（x）f （0）a+2 ，讨论（ i）当 2+a0 时， （ii ）当 2+a0 时；（3）由（1）知，当 a2 时，f（x ）e x2x+ln （x+1）1 在0，+）
39、上单调递增则 f（ ）f（0） ，即 e 1+ln （ ）10，由 ln ，即可得到证明【解答】解：（1）f（x ）e x+a+ ，f（0）2+a ，又 f（0）0，f（x）在 x0 处的切线方程为：y（a+2）x；（2）若 x0 时，则 f（x）e x+a+ ， ，在0， +）上单调递增，f （x）f（0）0则 f（x）在0，+ ）上单调递增，f （x）f（0）a+2，当 a+20，即 a2 时， f（x）0，则 f（x）在0，+）上单调递增此时 f（x） f（0）0，满足题意若 a 2，由 f（x ）在 0，+）上单调递增由于 f（0）2+a0，x + 时，f （x）0故x 0（ 0，+）
40、 ，使得 f（ x0）0则当 0xx 0 时， f（x ）f （x 0）0函数 f（x）在（ 0，x 0）上单调递减f（x 0）f（0） 0，不恒成立舍去综上所述，实数 a 的取值范围是2，+ ） （3）证明：由（1）知，当 a2 时，f（x ）e x2x+ln（x+1）1 在0，+）上单调递增则 f（ ）f（0） ，即 e 1+ln （ ）10第 25 页（共 27 页）ln ，即 e【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率、单调区间和极值、最值，考查不等式恒成立问题的解法，以及不等式的证明，注意运用分类讨论和构造函数法，考查化简整理的运算能力，属于难题请考生在 22、23 两题中任选一题作
41、答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修 4-4：坐标系与参数方程22 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为 （ 为参数） ，以原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为4cos ，曲线 C1、C 2 的公共点为 A、B（）求直线 AB 的斜率；（）若点 C、D 分别为曲线 C1、C 2 上的动点，当|CD|取最大值时，求四边形 ACBD的面积【分析】 （I）曲线 C1 的参数方程为 （ 为参数） ，利用平方关系消去参数化为普通方程，曲线 C2 的极坐标方程为 4cos，即 24cos ，利用互化公式可得普通方程上述两个方程相减
42、可得直线 AB 的方程及其斜率（）当且仅当直线 CD 经过两个圆的圆心时，线段 CD 取得最大值，此时|CD| 3+ +3直线 C1C2 的方程为：y x+1，可得 C1C2AB利用弦长公式可得|AB|，当| CD|取最大值时，四边形 ACBD 的面积 S |AB|CD|【解答】解：（I）曲线 C1 的参数方程为 （ 为参数） ，消去参数化为：x2+（y1） 2 1曲线 C2 的极坐标方程为 4cos，即 24cos ，化为普通方程：x 2+y24x上述两个方程相减可得：2xy0则直线 AB 的斜率为 2（）当且仅当直线 CD 经过两个圆的圆心时，线段 CD 取得最大值，此时|CD| 3+ +
43、3第 26 页（共 27 页）|AB|2 直线 C1C2 的方程为：y x+1，可得 C1C2AB当|CD|取最大值时，四边形 ACBD 的面积 S |AB|CD| （3+ ）2+【点评】本题考查了直线与圆的参数方程极坐标方程、点到直线的距离公式、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题选修 4-5：不等式选讲23已知函数 f（x ）|2x +1| xm |（mR） （1）当 m1 时，解不等式 f（x）2；（2）若关于 x 的不等式 f（x）|x 3|的解集包含3 ，4，求 m 的取值范围【分析】 （1）通过 x 讨论去掉绝对值符号，求解不等式的解集即可（2）题目转化为当 x
44、3，4时，|2x +1|xm|x 3|恒成立，即|xm|x+4，转化求解即可【解答】解：（1）当 时，f（x ）2x1+（x1）x2，由 f（x）2 解得 x4，综合得 x4；当 时，f（x ）（2x+1）+（x1）3x，由 f（x）2 解得 ，综合得 ；当 x1 时，f（ x）（2x+1）（x1）x+2，由 f（x）2 解得 x0，综合得 x1所以 f（x）2 的解集是 （2）f（x） |2x+1|xm |x3| 的解集包含3 ，4，当 x3，4时，|2x +1|xm|x 3|恒成立原式可变为 2x+1|x m|x3，即|xm|x+4，x4xmx+4 即4m2x+4 在 x3，4上恒成立，显然当 x3 时，2x +4 取得最小值 10，即 m 的取值范围是4，10【点评】本题考查不等式的解法，绝对值的几何意义，考查转化思想以及计算能力
