1、2.2 抛物线的简单性质第 1 课时 抛物线的简单性质学习目标 1.了解抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等简单性质.2.会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题知识点一 抛物线的简单性质思考 类比椭圆的简单性质，结合图像，你能说出抛物线 y22px( p0)中 x 的范围、对称性、顶点坐标吗？答案 范围 x0，关于 x 轴对称，顶点坐标(0,0)梳理 标准方程 y22px( p0) y22px(p0) x22py(p0) x22py(p0)图形范围 x 0，yR x0，yR xR，y0 xR，y0对称轴 x 轴 y 轴顶点 (0,0)离心率 e1开口方向 向右 向左 向上 向下性质通径
2、过焦点垂直于对称轴的直线与抛物线交于两点 A，B，线段 AB 叫抛物线的通径，长度|AB|2p知识点二 焦点弦设过抛物线焦点的弦的端点为 A(x1，y 1)，B( x2，y 2)，则y22px(p0) |AB|x 1x 2py22px(p 0) |AB|p(x 1x 2)x22py(p0) |AB|y 1y 2px22py(p 0) |AB|p(y 1y 2)1抛物线有一个顶点，一个焦点，一条对称轴，一条准线，一条通径( )2当抛物线的顶点在坐标原点时，其方程是标准方程( )3抛物线的离心率均为 1，所以抛物线形状都相同( )4焦准距 p 决定抛物线的张口大小，即决定抛物线的形状( )类型一
3、抛物线简单性质的应用例 1 已知抛物线的焦点 F 在 x 轴上，直线 l 过 F 且垂直于 x 轴，l 与抛物线交于 A，B 两点，O 为坐标原点，若OAB 的面积等于 4，求此抛物线的标准方程考点 抛物线的标准方程题点 求抛物线方程解 由题意，设抛物线方程为 y22mx(m0)，焦点 F .直线 l：x ，(m2，0) m2所以 A，B 两点的坐标分别为 ， ，(m2，m) (m2， m)所以|AB|2| m|.因为OAB 的面积为 4，所以 2|m|4，12|m2|所以 m2 .2所以抛物线的标准方程为 y24 x.2引申探究 等腰直角三角形 AOB 内接于抛物线 y22px (p0)，O
4、 为抛物线的顶点，OAOB ，则AOB的面积是_答案 4p 2解析 因为抛物线的对称轴为 x 轴，内接AOB 为等腰直角三角形，所以由抛物线的对称性知，直线 AB 与抛物线的对称轴垂直，从而直线 OA 与 x 轴的夹角为 45.由方程组Error!得Error!或Error!所以易得 A，B 两点的坐标分别为(2p,2p) 和(2p，2p)所以|AB|4p，所以 SAOB 4p2p4p 2.12反思与感悟 把握三个要点确定抛物线简单性质(1)开口：由抛物线标准方程看图像开口，关键是明确二次项是 x 还是 y，一次项的系数是正还是负(2)关系：顶点位于焦点与准线中间，准线垂直于对称轴(3)定值：
5、焦点到准线的距离为 p；过焦点垂直于对称轴的弦 (又称为通径)长为 2p；离心率恒等于 1.跟踪训练 1 已知抛物线关于 x 轴对称，它的顶点在坐标原点，其上一点 P 到准线及对称轴的距离分别为 10 和 6，求抛物线的方程考点 抛物线的标准方程题点 求抛物线方程解 设抛物线的方程为 y22ax(a0)，点 P(x0，y 0)因为点 P 到对称轴的距离为 6，所以 y06.因为点 P 到准线的距离为 10，所以 10.|x0 a2|因为点 P 在抛物线上，所以 362ax 0，由，得Error!或Error!或Error!或Error!所以所求抛物线的方程为 y24x 或 y236x.类型二
6、抛物线的焦点弦问题例 2 已知直线 l 经过抛物线 y26x 的焦点 F，且与抛物线相交于 A，B 两点若直线 l 的倾斜角为 60，求 |AB|的值考点 抛物线的焦点弦问题题点 求抛物线的焦点弦长解 因为直线 l 的倾斜角为 60，所以其斜率 ktan 60 .3又 F ，(32，0)所以直线 l 的方程为 y .3(x 32)联立Error!消去 y，得 x25x 0.94设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，则 x1x 25，所以|AB| AF|BF|x 1 x 2p2 p2x 1x 2p538.引申探究 1若本例中“直线 l 的倾斜角为 60”改为“直线 l 垂直于 x 轴”
7、，求| AB|的值解 直线 l 的方程为 x ，32联立Error!解得Error!或Error!所以|AB|3(3)6.2若本例中“直线 l 的倾斜角为 60”改为“|AB| 9” ，求线段 AB 的中点 M 到准线的距离解 设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，由抛物线的定义知|AB| AF|BF| x 1x 2px 1x 23，所以 x1x 26，于是线段 AB 的中点 M 的横坐标是 3.又准线方程是 x ，32所以点 M 到准线的距离为 3 .32 92反思与感悟 1.解决抛物线的焦点弦问题时，要注意抛物线定义在其中的应用，通过定义将焦点弦长度转化为端点的坐标问题，从而可借助
8、根与系数的关系进行求解2设直线方程时要特别注意斜率不存在的直线应单独讨论跟踪训练 2 已知抛物线方程为 y22px(p0)，过此抛物线的焦点的直线与抛物线交于A，B 两点，且|AB| p，求 AB 所在直线的方程52考点 抛物线的焦点弦问题题点 知抛物线焦点弦长求方程解 由题意可知，焦点 F .(p2，0)设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)若 ABx 轴，则|AB|2p p，不合题意，52故直线 AB 的斜率存在，设为 k，则直线 AB 的方程为 yk .(x p2)联立Error!消去 x，整理得 ky22pykp 20，则 y1y 2 ，y 1y2p 2.2pk|AB| (1 1
9、k2)y1 y22 1 1k2 y1 y22 4y1y22p p，(1 1k2) 52解得 k2，AB 所在直线方程为 y2 或 y2 .(x p2) (x p2)类型三 与抛物线有关的最值问题例 3 设 P 是抛物线 y24x 上的一个动点， F 为抛物线的焦点(1)求点 P 到点 A(1,1)的距离与点 P 到直线 x1 的距离之和的最小值；(2)若点 B 的坐标为(3,2) ，求|PB| PF|的最小值考点 抛物线的定义题点 由抛物线的定义求最值解 (1)如图，易知抛物线的焦点为 F(1,0)，准线方程是 x1.由抛物线的定义知，点 P 到直线 x1 的距离等于点 P 到焦点 F 的距离
10、于是问题转化为在曲线上求一点 P，使点 P到点 A(1,1) 的距离与点 P 到 F(1,0)的距离之和最小显然，连接 AF，AF 与抛物线的交点即为点 P，故最小值为 ，即点 P 到点 A(1,1)的距离与点 P 到直线 x1 的距22 12 5离之和的最小值为 .5(2)如图，把点 B 的横坐标代入 y24x 中，得 y2 .因为 2 2，所以点 B 在抛物线内3 3部过点 B 作 BQ 垂直于准线，垂足为点 Q，交抛物线于点 P1，连接 P1F.此时，由抛物线的定义知，|P 1Q| P1F|.所以|PB |PF| |P 1B|P 1Q|BQ|314，即|PB| |PF|的最小值为 4.反
11、思与感悟 抛物线的定义在解题中的作用，就是灵活地对抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离进行转化，另外要注意平面几何知识的应用，如两点之间线段最短，三角形中三边间的不等关系，点与直线上点的连线垂线段最短等跟踪训练 3 已知点 P 是抛物线 y22x 上的一个动点，则点 P 到点 A(0,2)的距离与点 P 到该抛物线的准线的距离之和的最小值为( )A. B2172C. D.592考点 抛物线的定义题点 由抛物线的定义求最值答案 A解析 如图，由抛物线的定义知|PA| PQ| PA|PF|，则所求距离之和的最小值转化为求|PA |PF| 的最小值，则当 A，P ，F 三点共线时，| PA|PF |
12、取得最小值又 A(0,2)，F ，(12，0)(| PA|PF|) min| AF| .(0 12)2 2 02 1721以 x 轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与对称轴垂直的弦 )长为 8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为( )Ay 28x By 28xCy 2 8x 或 y28x Dx 28y 或 x28y考点 抛物线的标准方程题点 求抛物线方程答案 C解析 设抛物线的方程为 y22px 或 y22px(p0)，由题意将 x 或 x 分别代入 y22px 和 y22px，得 |y|p，p2 p22| y|2p8，p4.即抛物线方程为 y28 x.2设抛物线 y28x 上一点 P 到
13、y 轴的距离是 4，则点 P 到该抛物线焦点的距离是( )A4 B6 C8 D12考点 抛物线的定义题点 由抛物线定义求距离答案 B解析 由抛物线的定义可知，点 P 到抛物线焦点的距离是 426.3已知抛物线 yax 2 的准线方程是 y2，则此抛物线上的点到准线距离的最小值为 ( )A1 B2 C3 D4考点 抛物线的定义题点 由抛物线定义求距离答案 B解析 由题意知抛物线顶点到准线的距离最短，故最小值为 2.4过抛物线 y28x 的焦点作倾斜角为 45的直线，则被抛物线截得的弦长为 _考点 抛物线的焦点弦问题题点 求抛物线的焦点弦长答案 16解析 由 y28x 得焦点坐标为(2,0)，由此
14、直线方程为 yx 2，由Error!联立得 x212x 40，设交点为 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，由方程知 x1x 212，弦长|AB|x 1x 2p12 416.5已知正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线 y22px( p0)上，求这个正三角形的边长考点 抛物线的简单性质题点 抛物线性质的综合应用解 如图OAB 为正三角形，设|AB| a，则 OD a，32将 A 代入 y22px ，(32a，a2)即 2p a，a24 32解得 a4 p.3正三角形的边长为 4 p.31讨论抛物线的简单性质，一定要利用抛物线的标准方程；利用简单性质，也可以根据待定系数法求抛
15、物线的方程2抛物线中的最值问题：注意抛物线上的点到焦点的距离与点到准线的距离的转化，其次是平面几何知识的应用一、选择题1设 AB 为过抛物线 y28x 的焦点的弦，则|AB| 的最小值为( )A2 B4 C8 D无法确定答案 C解析 当 AB 垂直于对称轴时，| AB|取最小值，此时 AB 为抛物线的通径，长度等于2p，|AB|的最小值为 8.2若抛物线 y2x 上一点 P 到准线的距离等于它到顶点的距离，则点 P 的坐标为( )A. B.(14， 24) (18， 24)C. D.(14，24) (18，24)考点 抛物线的定义题点 由抛物线的定义求点坐标答案 B解析 由题意知，点 P 到焦
16、点 F 的距离等于它到顶点 O 的距离，因此点 P 在线段 OF 的垂直平分线上，而 F ，所以点 P 的横坐标为 ，代入抛物线方程得 y ，故点 P 的坐(14，0) 18 24标为 ，故选 B.(18， 24)3已知抛物线 y2px 2(p0)的焦点为 F，点 P 在抛物线上，过点 P 作 PQ 垂直于抛物(1，14)线的准线，垂足为点 Q，若抛物线的准线与对称轴相交于点 M，则四边形 PQMF 的面积为( )A. B.134 132C. D.138 1316考点 抛物线的标准方程题点 抛物线方程的应用答案 C解析 由 P 在抛物线上，得 p ，故抛物线的标准方程为 x24y，焦点为 F(
17、0,1)，准(1，14) 18线为 y1，|FM |2，|PQ| 1 ，|MQ|1，14 54则四边形 PQMF 的面积为 1 .12 (54 2) 1384已知直线 l1：4x 3y60 和直线 l2：x 1，抛物线 y24x 上一动点 P 到直线 l1 和直线 l2 的距离之和的最小值是( )A2 B3C. D.115 3716考点 抛物线的定义题点 由抛物线定义求最值答案 A解析 如图所示，动点 P 到 l2：x1 的距离可转化为 PF 的距离，由图可知，距离和的最小值即 F 到直线 l1 的距离 d 2.|4 6| 32 425已知抛物线 y22px (p0)的准线与曲线 x2y 24
18、x50 相切，则 p 的值为( )A2 B1C. D.12 14考点 抛物线的简单性质题点 抛物线与其他曲线结合有关问题答案 A解析 曲线的标准方程为(x2) 2y 29，其表示圆心为(2,0)，半径为 3 的圆，又抛物线的准线方程为 x ，由抛物线的准线与圆相切得 2 3，解得 p2.p2 p26过抛物线 y22px (p0)的焦点作直线交抛物线于 P，Q 两点，若线段 PQ 中点的横坐标为3，|PQ |10，则抛物线方程是( )Ay 28x By 22xCy 2 6x Dy 24x考点 抛物线的焦点弦问题题点 知抛物线焦点弦长求方程答案 A解析 设 P(x1，y 1)，Q(x 2，y 2)
19、，则 3，即 x1x 26.x1 x22又|PQ |x 1x 2p10，即 p4，抛物线方程为 y28x.7经过抛物线 y22px (p0)的焦点作一直线交抛物线于 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)两点，则的值是( )y1y2x1x2A4 B4 Cp 2 Dp 2考点 抛物线的焦点弦问题题点 与焦点弦有关的其他问题答案 B解析 采用特例法，当直线与 x 轴垂直时，易得 A ，B ， 4.(p2，p) (p2， p) y1y2x1x28设 F 为抛物线 C：y 23x 的焦点，过 F 且倾斜角为 30的直线交 C 于 A，B 两点，O 为坐标原点，则OAB 的面积为( )A. B.334
20、 939C. D.6332 94考点 抛物线的焦点弦问题题点 抛物线焦点弦的其他问题答案 D解析 由已知得焦点坐标为 F ，(34，0)因此直线 AB 的方程为 y .33(x 34)即 4x4 y30.3联立直线和抛物线方程，并化简得 x2 x 0，212 916故 xAx B .212根据抛物线的定义有|AB|x Ax Bp 12，212 32同时原点到直线 AB 的距离为 h ，| 3|42 432 38因此 SOAB |AB|h .12 94二、填空题9抛物线 y24x 的焦点为 F，过 F 的直线交抛物线于 A，B 两点，|AF|3，则|BF|_.考点 抛物线的焦点弦问题题点 与焦点
21、弦有关的其他问题答案 32解析 由题意知 F(1,0)，且 AB 与 x 轴不垂直，则由|AF|3，知 xA2.设 lAB：yk( x1)，代入 y24x，得 k2x2(2k 2 4)xk 20，所以 xAxB1，故 xB ，12故|BF| xB1 .3210已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为 x 轴，且与圆 x2y 24 相交的公共弦长等于2 ，则这条抛物线的方程为_3考点 抛物线的标准方程题点 求抛物线方程答案 y 23x解析 由题意设抛物线方程为 y2ax(a0)，当 a0 时，弦的端点坐标为(1 ， )，代入抛物线方程得 y23x，3同理，当 a0)，A(x 0，y 0)，由题知 M
22、 .(0， p2)|AF| 3，y 0 3.p2|AM | ， x 217，17 20 (y0 p2)x 8，代入方程 x 2py 0，得20 2082p ，解得 p2 或 p4.(3 p2)所求抛物线的标准方程为 x24y 或 x28y.13已知抛物线 C：y 22px( p0)，其准线为 l，过 M(1,0)且斜率为 的直线与 l 相交于 A 点，3与 C 的一个交点为 B，若 ，求抛物线方程AM MB 考点 抛物线的标准方程题点 求抛物线方程解 由题意知，准线 l：x ，过 M(1,0)且斜率为 的直线方程为 y (x1)，p2 3 3联立Error!解得Error!点 A 的坐标为 .
23、( p2， 3(p2 1)又 ，M 是 AB 的中点，AM MB B 点坐标为 ，(p2 2，3(p2 1)将 B 代入 y2 2px(p0)，得(p2 2，3(p2 1)3 22p ，解得 p2 或 p6(舍去)，(p2 1) (p2 2)抛物线方程为 y24x .四、探究与拓展14.如图，过抛物线 y22px (p0)的焦点 F 的直线 l 交抛物线于 A，B 两点，交其准线于点C，若|BC|2|BF|且| AF|3，则此抛物线的方程为( )Ay 23x By 29xCy 2 x Dy 2 x32 92考点 抛物线的标准方程题点 求抛物线方程答案 A解析 作 AM，BN 分别垂直准线于点
24、M，N ，则|BN | |BF|，|AM | AF|.又|BC | 2|BF|，|BC| 2|BN|，NCB 30，|AC|2| AM|2|AF| 6.设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，|BF|x ，则 2xx36，得 x1，而 x1 3，x 2 1，p2 p2且 x1x2 ，p24 ，p ，(3 p2)(1 p2) p24 32得抛物线方程为 y23x .15已知抛物线 y22x .(1)设点 A 的坐标为 ，求抛物线上距离点 A 最近的点 P 的坐标及相应的距离|PA|；(23，0)(2)在抛物线上求一点 P，使 P 到直线 xy30 的距离最短，并求出距离的最小值考点 抛物线的定义题点 由抛物线的定义求最值解 (1)设抛物线上任一点 P 的坐标为( x，y)，则|PA| 2 2y 2 22x 2 .(x 23) (x 23) (x 13) 13x0 ，)，且在此区间上函数是增加的，故当 x0 时，|PA |min ，23故距离点 A 最近的点的坐标为(0,0)(2)设点 P(x0， y0)是 y22x 上任一点，则 P 到直线 x y30 的距离为d ，|x0 y0 3|2 |y202 y0 3|2 |y0 12 5|22当 y01 时，d min ，522 524点 P 的坐标为 .(12，1)
