1、3.1 双曲线及其标准方程,第二章 3 双曲线,学习目标 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程. 2.掌握双曲线的标准方程及其求法. 3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题,问题导学,达标检测,题型探究,内容索引,问题导学,知识点一 双曲线的定义,思考 若取一条拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在点F1，F2上，把笔尖放在点M处，拉开或闭拢拉链，笔尖经过的点可画出一条曲线，那么曲线上的点应满足怎样的几何条件？,答案 如图，曲线上的点满足条件：|MF1|MF2|常数(小于|F1F2|)；如果改变一下笔尖位置，使|MF2|MF1|常数(小于|F1F2|)
2、，可得到另一条曲线,梳理 (1)平面内到两个定点F1，F2的距离之差的 等于非零常数(小于|F1F2|)的点的集合叫作双曲线 叫作双曲线的焦点，两焦点间的距离叫作双曲线的 (2)关于“小于|F1F2|”：若将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”，其余条件不变，则动点轨迹是以F1，F2为端点的 (包括端点)；若将“小于|F1F2|”改为“大于|F1F2|”，其余条件不变，则动点轨迹不存在,绝对值,这两个定点,焦距,两条射线,(3)若将“绝对值”去掉，其余条件不变，则动点的轨迹只有双曲线的 (4)若常数为零，其余条件不变，则点的轨迹是 ,一支,线段F1F2的中垂线,知识点二 双曲线的标准方
3、程,思考 双曲线中a，b，c的关系如何？与椭圆中a，b，c的关系有何不同？,答案 双曲线标准方程中的两个参数a和b，确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件，这里b2c2a2，即c2a2b2，其中ca，cb，a与b的大小关系不确定；而在椭圆中b2a2c2，即a2b2c2，其中ab0，ac，c与b大小不确定,梳理 (1)双曲线两种形式的标准方程,F1(c,0)，F2(c,0),F1(0，c)，F2(0，c),a2b2c2,(2)焦点F1，F2的位置是双曲线定位的条件，它决定了双曲线标准方程的类型“焦点跟着正项走”，若x2项的系数为正，则焦点在 上；若y2项的系数为正，则焦点在 上 (3)双曲
4、线的焦点位置不确定时可设其标准方程为Ax2By21(AB0) (4)标准方程中的两个参数a和b，确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件，注意这里的b2 与椭圆中的b2 相区别,x轴,y轴,c2a2,a2c2,思考辨析 判断正误 1.平面内到两定点距离的差的绝对值等于常数的点的集合是双曲线. ( ) 2.平面内到两定点的距离之差等于常数(大于零且小于|F1F2|)的点的轨迹是双曲线( ),题型探究,类型一 求双曲线的标准方程,解答,例1 求适合下列条件的双曲线的标准方程.,解 当焦点在x轴上时，,当焦点在y轴上时，,把A点的坐标代入，得b29，,(2)经过点(3,0)，(6，3).,解答,
5、解 设双曲线的方程为mx2ny21(mn0)， 双曲线经过点(3,0)，(6，3)，,反思与感悟 求双曲线方程的方法 (1)求双曲线的标准方程与求椭圆标准方程类似，也是“先定型，后定量”，利用待定系数法求解. (2)当焦点位置不确定时，应按焦点在x轴上和焦点在y轴上进行分类讨论. (3)当已知双曲线经过两点，求双曲线的标准方程时，把双曲线方程设成mx2ny21(mn0)的形式求解.,跟踪训练1 根据下列条件，求双曲线的标准方程.,双曲线经过点(5,2)，,解答,解答,类型二 由双曲线的标准方程求参数,解析,A.(2，1) B.(2，) C.(，1) D.(，2)(1，),答案,解析 由题意可知
6、，(2m)(m1)0，2m1，则关于x，y的方程(1k)x2y2k21所表示的曲线是 A.焦点在x轴上的椭圆 B.焦点在y轴上的椭圆 C.焦点在y轴上的双曲线 D.焦点在x轴上的双曲线,解析,答案,k1，k210，k10. 方程所表示的曲线为焦点在y轴上的双曲线.,类型三 双曲线的定义及应用,命题角度1 双曲线中的焦点三角形,答案,解析,4a2m,解析 由双曲线的定义，知|AF1|AF2|2a， |BF1|BF2|2a. 又|AF2|BF2|AB|， 所以ABF1的周长为|AF1|BF1|AB| 4a2|AB|4a2m.,答案,解析,12,解析 由已知得2a2， 又由双曲线的定义，得|PF1|
7、PF2|2， 因为|PF1|PF2|32，所以|PF1|6，|PF2|4.,所以F1PF2为直角三角形.,引申探究 本例(2)中，若将“|PF1|PF2|32”改为“|PF1|PF2|24”，求PF1F2的面积.,解答,因为|PF1|PF2|24，,所以PF1F2为直角三角形.,(1)方法一： 根据双曲线的定义求出|PF1|PF2|2a； 利用余弦定理表示出|PF1|，|PF2|，|F1F2|之间满足的关系式； 通过配方，利用整体的思想求出|PF1|PF2|的值；,特别提醒：利用双曲线的定义解决与焦点有关的问题，一是要注意定义条件|PF1|PF2|2a的变形使用，特别是与|PF1|2|PF2|
8、2，|PF1|PF2|之间的关系.,跟踪训练3 已知F1，F2分别为双曲线C：x2y21的左、右焦点，点P在C上，F1PF260，则|PF1|PF2|等于 A.1 B.4 C.6 D.8,答案,解析,解析 设|PF1|m，|PF2|n， 由余弦定理得|F1F2|2m2n22mncosF1PF2， 即m2n2mn8， (mn)2mn8，mn4， 即|PF1|PF2|4.,命题角度2 由双曲线定义求轨迹方程 例4 已知圆C1：(x3)2y21和圆C2：(x3)2y29，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为_.,答案,解析,解析 如图，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A和B
9、， 根据两圆外切的条件 |MC1|AC1|MA|， |MC2|BC2|MB|, 因为|MA|MB|，所以|MC1|AC1|MC2|BC2|， 即|MC2|MC1|2，这表明动点M与两定点C2，C1的距离的差是常数2且26|C1C2|. 根据双曲线的定义，动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大，与C1的距离小)， 这里a1，c3，则b28，设点M的坐标为(x，y)，,反思与感悟 定义法求双曲线方程的注意点 (1)注意条件中是到定点距离之差，还是差的绝对值. (2)当差的绝对值为常数时要注意常数与两定点间距离的大小问题. (3)求出方程后要注意表示满足方程的解的坐标是否都在所给的曲线上.,
10、跟踪训练4 已知动圆M与圆C1：(x4)2y22外切，与圆C2：(x4)2y22内切，则动圆圆心M的轨迹方程为,答案,解析,解析 设动圆M的半径为r，则由已知得,又C1(4,0)，C2(4,0)，,根据双曲线定义知，点M的轨迹是以C1(4,0)，C2(4,0)为焦点的双曲线的右支，,达标检测,1.已知F1(3,3)，F2(3,3)，动点P满足|PF1|PF2|4，则P点的轨迹是 A.双曲线 B.双曲线的一支 C.不存在 D.一条射线,答案,解析,1,2,3,4,5,解析 因为|PF1|PF2|4，且42,1,2,3,4,5,答案,解析,解析 由题意知，k30且k20， 3k0,0a24，且4a2a2，可解得a1.,5.P是双曲线x2y216的左支上一点，F1，F2分别是左、右焦点，则|PF1|PF2|_.,1,2,3,4,5,答案,解析,8,所以a216,2a8， 因为P点在双曲线左支上， 所以|PF1|PF2|8.,1.双曲线定义中|PF1|PF2|2a(2ab不一定成立，要注意与椭圆中a，b，c的区别.在椭圆中a2b2c2，在双曲线中c2a2b2. 3.用待定系数法求双曲线的标准方程时，要先判断焦点所在的位置，设出标准方程后，由条件列出a，b，c的方程组. 如果焦点不确定要分类讨论，采用待定系数法求方程或用形如mx2ny21(mn0)的形式求解.,规律与方法,
