1、章末检测试卷(三)(时间：120 分钟 满分：150 分)一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分)1下列导数运算正确的是( )A. 1(x 1x) 1x2B(2 x)x2 x1C(cos x)sin xD(xln x) ln x1考点 导数公式及运算法则的应用题点 导数公式及运算法则的应用答案 D解析 根据导数的运算公式可得 1 ，故 A 错误；(2 x)2 xln 2，故 B 错误；(x 1x) 1x2(cos x)sin x，故 C 错误； (xln x)ln x1，故 D 正确2f(x)ax 33x 22，若 f(1) 4，则 a 的值为( )A. B. C. D
2、.193 163 133 103答案 D解析 f(x) 3ax 26x ，f(1) 3a64，a .1033已知函数 f(x)x 2f(2)(ln xx)，则 f(1)等于( )A1 B2 C3 D4考点 题点 答案 B解析 f(x)2xf(2) ，f(2) ，(1x 1) 83f(x )2x ，f(1)2.83(1x 1)4若函数 ya( x3x )的单调递增区间是 ， ，则 a 的取值范围是( )( ， 33) ( 33， )Aa0 B11 D00 的解集为 ， ，a0.( ， 33) ( 33， )5如图所示，yf( x)是可导函数，直线 l：ykx3 是曲线 yf(x) 在 x1 处的
3、切线，令 h(x)xf( x)， h(x)是 h(x)的导函数，则 h(1) 的值是( )A2 B1C1 D.12考点 导数的几何意义题点 导数几何意义的理解答案 B解析 由题图可知曲线的切线经过点(1,2)，则 k32，得 k1，即 f(1)1，且 f(1)2.h(x)xf(x)，h(x )f(x) xf(x )，则 h(1)f(1)f(1)211，故选 B.6对于实数集 R 上的可导函数 f(x)，若满足(x 23x 2)f ( x)0，得 cos x ，此时原函数是减函数，结合余弦函数图象，可得 C 正12 14确11f(x )是定义在(0，)上的非负可导函数，且满足 xf(x )f(x
4、)0，对任意的正数a，b，若 a2，则方程 x3ax 210 在(0,2)上根的个数为( )13A0 B1 C2 D3考点 函数极值的应用题点 函数的零点与方程的根答案 B解析 设 f(x) x3ax 21，13则 f(x )x 22ax x (x2a)，因为 a2，所以 2a4，所以当 x(0,2)时，f(x)0 的解集是 x|002x x 2000，f(x )2 2 2 2单调递增，f( )是极小值，f( )是极大值，故正确2 2由题意知，f( )为最大值，且无最小值，故错误，正确2三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分)17(10 分) 设 a1，函数 f(x)x 3 ax2b(
5、1x1)的最大值为 1，最小值为 ，求23 32 62常数 a，b.考点 题点 解 令 f(x) 3x 23ax 0， 1x 1，得 x10，x 2a.f(0)b，f(a) b，f(1)1 ab，a32 32f(1)1 ab.32因为 a1，所以 1 a0， 1 a，23 32 a32 32故最大值为 f(0)b1，所以 f(x)的最小值为 f(1)1 ab a，32 32所以 a ，所以 a .32 62 63故 a ，b1.6318(12 分) 设函数 f(x)6x 33(a2)x 22ax.(1)若 f(x)的两个极值点为 x1，x 2，且 x1x21，求实数 a 的值；(2)是否存在实
6、数 a，使得 f(x)是( ，)上的单调函数？若存在，求出 a 的值；若不存在，说明理由考点 利用导数研究函数的单调性、极值与最值题点 利用导数研究函数的单调性、极值与最值解 (1)因为 f( x)18x 26(a2) x2a.由已知有 f(x 1)f(x 2)0，从而 x1x2 1，2a18所以 a9.(2)由于 36(a2) 24182a36( a24)0，所以不存在实数 a，使得 f(x)是(，) 上的单调函数19(12 分) 已知函数 f(x)x 3x 16.(1)求曲线 yf(x )在点(2，6)处的切线的方程；(2)如果曲线 yf(x )的某一切线与直线 y x3 垂直，求切点坐标
7、与切线的方程14考点 切线方程的求解及应用题点 切线方程的求解及应用解 (1)因为 f( x)( x3x16) 3x 21，所以 f(x)在点(2，6)处的切线的斜率为kf(2)13.所以切线的方程为 y13( x2)6，即 13xy320.(2)因为切线与直线 y 3 垂直，所以切线的斜率为 k4.x4设切点的坐标为(x 0，y 0)，则 f(x 0)3x 14，所以 x01，20所以Error!或Error!即切点坐标为(1，14)或( 1，18) ，所以切线方程为 y4( x1)14 或 y4(x1) 18，即 4xy180 或 4xy140.20(12 分) 已知命题 p：f( x)x
8、 在区间1，)上是增函数；命题 q：f(x)axx 3ax 23x 1 在 R 上有极值若命题“pq”为真命题，求实数 a 的取值范围解 对于命题 p，f(x )1 .ax2f(x)x 在区间1 ，) 上是增函数，ax则 f(x )1 0 在1 ，) 上恒成立，ax2即 ax 2 在1 ，)上恒成立，a(x 2)min，a1.命题 p：A a|a1对于命题 q，f(x )3x 22ax3.要使得 f(x)x 3ax 23x 1 在 R 上有极值，则 f(x )3x 22ax 30 有两个不相等的实数解，4a 2 4330，解得 a3.命题 q：B a|a3命题“pq”为真命题，ABa|a1，或
9、 a3所求实数 a 的取值范围为(，1 (3，) 21(12 分) 已知函数 f(x) ax22x ln x.12(1)当 a0 时，求 f(x)的极值；(2)若 f(x)在区间 上是增函数，求实数 a 的取值范围13，2考点 利用导数研究函数的单调性、极值与最值题点 利用导数研究函数的单调性、极值与最值解 (1)函数的定义域为(0， )因为 f(x) ax22x ln x，12当 a0 时，f(x )2xln x，则 f(x )2 ，令 f(x )0，得 x ，1x 12当 x 变化时，f( x)，f( x)的变化情况如下表：x (0，12) 12 (12， )f(x ) 0 f(x) 极小
10、值 所以当 x 时，f( x)的极小值为 1ln 2，无极大值12(2)由已知，得 f(x) ax22xln x，且 x0，12则 f(x )ax2 .1x ax2 2x 1x若 a0，由(1)中 f( x)0，得 x ，显然不符合题意；12若 a0，因为函数 f(x)在区间 上是增函数，13，2所以 f(x) 0 对 x 恒成立，13，2即不等式 ax22x 10 对 x 恒成立，13，2即 a 21 对 x 恒成立，故 a max.1 2xx2 1x2 2x (1x 1) 13，2 (1x 1)2 1而当 x 时，函数 21 的最大值为 3，13 (1x 1)所以实数 a 的取值范围为3，
11、 ) 22(12 分) 已知函数 f(x)x 33ax 29a 2xa 3.(1)设 a1，求函数 f(x)的单调区间；(2)若 a ，且当 x1,4a时，f (x)a 312a 恒成立，试确定 a 的取值范围13考点 函数最值的应用题点 恒成立中参数的取值范围解 (1)当 a1 时，f (x)x 33x 29x1，则 f(x )3x 26x 9，由 f(x )0，得 x1 或 x3.当 x0；当13 时，f(x )0.所以 f(x)的单调递增区间为(，1) ，(3，) ，单调递减区间为(1,3)(2)因为 f(x) 3x26ax9a 23(x a)(x3a)，a ，13所以当 1x0.所以当 x1,4a时，f(x)的最小值为 f(3a)26a 3.由 f(x)a 312a 在1,4a上恒成立，得26a 3a 312a，解得 a .23 23又 a ，所以 a .即 a 的取值范围为 .13 13 23 (13，23
