1、2019 年广东省广州二中中考数学一模试卷一、选择题（本大题共有 10 小题，每小题 3 分，共 30 分，每小题有且只有一个正确答案）1 （3 分）下列无理数中，在2 与 1 之间的是（ ）A B C D2 （3 分）下列图形中，属于中心对称图形的是（ ）A BC D3 （3 分）下列运算正确的是（ ）A （x 2） 3x 5 Bxy 2 2xy （y0）C2 +3 5 D6a 62a23a 44 （3 分）如图，将一张含有 30角的三角形纸片的两个顶点放在直尺的两条对边上，若120，则2 的度数是（ ）A30 B40 C50 D605 （3
2、分）小明和小华两同学某学期数学四次测试的平均成绩恰好都是 87 分，方差分别为S 小明 20.75，S 小华 22.37，则成绩最稳定的是（ ）A小明 B小华 C小明和小华 D无法确定6 （3 分）如图是一个几何体的三视图，则该几何体的展开图是（ ）第 2 页（共 31 页）A BC D7 （3 分）当 k0 时，一次函数 ykxk 的图象不经过（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限8 （3 分）若一元二次方程 x22x+m 0 有两个不相同的实数根，则实数 m 的取值范围是（ ）Am1 Bm1 Cm1 Dm 19 （3 分）如图，
3、等腰直角ABC 的直角边长为 1，正方形 MNPQ 的边长为2，C、M、A、N 在同一条直线上，开始时点 A 与点 M 重合，让ABC 向右平移，当ABC 完全移出正方形 MNPQ 时停止，设三角形与正方形重合的面积为 S，点 A 平移的距离为 x，则 S 关于 x 的大致图象是（ ）A BC D10 （3 分）如图，在菱形 ABCD 中，BAD120，AB2，点 E 是 AB 边上的动点，过点 B 作直线 CE 的垂线，垂足为 F，当点 E 从点 A 运动到点 B 时，点 F 的运动路径长为（ ）第 3 页（共 31 页）A B C D 二、填空题（本大题共有 6 小
4、题，每题小 3 分，共 18 分）11 （3 分）分解因式：4ax 29ay 2 12 （3 分）分式方程 + 1 的解为 13 （3 分）若扇形的面积为 ，圆心角为 60，则该扇形的半径为 14 （3 分）抛物线 yax 2+bx+c 过点 A（2，0） ，且 a+b+c0，则抛物线的对称轴是 15 （3 分）如图，第一角限内的点 A 在反比例函数 的图象上，第四象限内的点 B 在反比例函数 图象上，且 OAOB ，OAB60 度，则 k 值为
5、; 16 （3 分）如图，将矩形 ABCD 点 A 逆时针方向旋转一定角度后，BC 的对应边 B1C1 交CD 边于点 G，AB 1B 1G 时，AD ，CG3，连接 BB1，CC 1，则 第 4 页（共 31 页）三、解答题（水大共有身小，共 102 分）17 （9 分）解方程：2x 24x10（用配方法）18 （9 分）如图，在矩形 ABCD 中，ADAE（1）尺规作图：作 DFAE 于点 F；（保留作图痕迹，不写作法）（2）求证：ABDF 19 （10 分）先化简，再求值： ，其中 a 是满足不等式3a14 的最小整数解20 （10 分）为了解某中学学生课余生
6、活情况，对喜爱看课外书、体育活动、看电视、社会实践四个方面的人数进行调查统计现从该校随机抽取 n 名学生作为样本，采用问卷调查的方法收集数据（参与问卷调查的每名学生只能选择其中一项） 并根据调查得到的数据绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图由图中提供的信息，解答下列问题：（1）求 n 的值；（2）若该校学生共有 1200 人，试估计该校喜爱看电视的学生人数；（3）若调查到喜爱体育活动的 4 名学生中有 3 名男生和 1 名女生，现从这 4 名学生中任意抽取 2 名学生，求恰好抽到 2 名男生的概率21 （12 分）如图在ABC 中，C90，点 O 在 AC 上，以 AO 为半径的O 交 AB
7、于D，BD 的垂直平分线交 BD 于 F，交 BC 于 E，连接 DE（1）求证：DE 是O 的切线；（2）若B30，BC ，且 AD：DF1：2，求 O 的直径第 5 页（共 31 页）22 （12 分）如图，双曲线 y （x0）经过AOB 的点顶 A（2，3） ，AB x 轴，OB 交双曲线于点 C，且 OB3OC（1）求 k 的值；（2）连接 AC，求点 C 的坐标和ABC 的面积23 （12 分）如图，一般捕鱼船在 A 处发出求救信号，位于 A 处正西方向的 B 处有一艘救援艇决定前去数援，但两船之间有大片暗礁，无法直线到达救援艇决定马上调整方向，先向北偏东 60方以每小时 30 海里
8、的速度航行，同时捕鱼船向正北低速航行30 分钟后，捕鱼船到达距离 A 处 1.5 海里的 D 处，此时救援艇在 C 处测得 D 处在南偏东 53的方向上（1）求 C、D 两点的距离；（2）捕鱼船继续低速向北航行，救援艇决定再次调整航向，沿 CE 方向前去救援，并且捕鱼船和救援艇同达时到 E 处，若两船航速不变，求ECD 的正弦值 （参考数据：sin530.8，cos530.6，tan53 ）24 （14 分）如图 1，抛物线 C1：y ax 2+bx2 与直线 l： y x 交于 x 轴上的一点A，和另一点 B（3，n）第 6 页（共 31 页）（1）求抛物线 C1 的解析式；（2）点 P 是
9、抛物线 C1 上的一个动点（点 P 在 A，B 两点之间，但不包括 A，B 两点）PMAB 于点 M，PNy 轴交 AB 于点 N，求 MN 的最大值；（3）如图 2，将抛物线 C1 绕顶点旋转 180后，再作适当平移得到抛物线 C2，已知抛物线 C2 的顶点 E 在第一象限的抛物线 C1 上，且抛持线 C2 与抛物线 C1 交于点 D，过点D 作 DFx 轴交抛物线 C2 于点 F，过点 E 作 EGx 轴交抛物线 C1 于点 G，是否存在这样的抛物线 C2，使得四边形 DFEG 为菱形？若存在，请求 E 点的横坐标；若不存在，请说明理由25 （14 分）如图 1，在平面直角坐标系 xOy
10、中， M 与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴于C，D 两点，其中 A（4，0） ，B（1，0） ，C（0，2） （1）求圆心 M 的坐标；（2）点 P 为 上任意一点（不与 A、D 重合） ，连接 PC，PD，作 AEDP 的延长线于点 E当点 P 在 上运动时， 的值发生变化吗？若不变，求出这个值，若变化，请说明理由（3）如图 2，若点 Q 为直线 y1 上一个动点，连接 QC，QO，当 sinOQC 的值最大时，求点 Q 的坐标第 7 页（共 31 页）第 8 页（共 31 页）2019 年广东省广州二中中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共有 10 小题，每小题 3
11、 分，共 30 分，每小题有且只有一个正确答案）1 （3 分）下列无理数中，在2 与 1 之间的是（ ）A B C D【分析】根据无理数的定义进行估算解答即可【解答】解：A. ，不成立；B2 ，成立；C. ，不成立；D. ，不成立，故选：B【点评】此题主要考查了实数的大小的比较，解答此题要明确，无理数是不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数2 （3 分）下列图形中，属于中心对称图形的是（ ）A BC D【分析】根据中心对称图形的概念求解【解答】解：A、不是中心对称图形，故本选项错误；B、是中心对称图形，故本选项正确；C、不是中心对称图形，故本选项错误；D、不
12、是中心对称图形，故本选项错误故选：B【点评】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180度后两部分重合3 （3 分）下列运算正确的是（ ）第 9 页（共 31 页）A （x 2） 3x 5 Bxy 2 2xy （y0）C2 +3 5 D6a 62a23a 4【分析】直接利用积的乘方运算法则以及同底数幂的乘除运算法则分别化简得出答案【解答】解：A、 （x 2） 3x 6，故此选项错误；B、xy 2 2xy 3（y0） ，故此选项错误；C、2 +3 ，无法计算，故此选项错误；D、6a 62a23a 4，故此选项正确故选：D【点评】此题主要考查了积的乘方运算以
13、及同底数幂的乘除运算、二次根式的加减运算，正确掌握相关运算法则是解题关键4 （3 分）如图，将一张含有 30角的三角形纸片的两个顶点放在直尺的两条对边上，若120，则2 的度数是（ ）A30 B40 C50 D60【分析】利用平行线的性质，三角形的外角的性质解决问题即可【解答】解：如图，ABCD，32，31+30，120，2350，故选：C【点评】本题考查平行线的性质，三角形的外角等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型5 （3 分）小明和小华两同学某学期数学四次测试的平均成绩恰好都是 87 分，方差分别为第 10 页（共 31 页）S 小明 20.75，S 小华 2
14、2.37，则成绩最稳定的是（ ）A小明 B小华 C小明和小华 D无法确定【分析】根据方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立解答【解答】解：0.752.37，S 小明 2S 小华 2，成绩最稳定的是小明，故选：A【点评】本题考查的是方差的性质，方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立6 （3 分）如图是一个几何体的三视图，则该几何体的展开图是（ ）A BC D【分析】首先根据三视图确定该几何体的形状，然后确定其展开图即可【解答】解：主视图和左视图均为等腰三角形，底面为圆，所以该几何体为圆锥，圆锥的侧面展开图是扇形，底面是圆，B
15、 符合，故选：B【点评】本题考查了由三视图判断几何体及几何体的展开图的知识，解题的关键是能够确定该几何体的形状，难度不大7 （3 分）当 k0 时，一次函数 ykxk 的图象不经过（ ）第 11 页（共 31 页）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【分析】由 k0 可得出k 0，结合一次函数图象与系数的关系即可得出一次函数ykx k 的图象经过第一、二、四象限，此题得解【解答】解：k0，k0，一次函数 ykxk 的图象经过第一、二、四象限故选：C【点评】本题考查了一次函数图象与系数的关系，牢记“k0，b0ykx+b 的图象在一、二、四象限”是解题的关键8 （3 分）若一
16、元二次方程 x22x+m 0 有两个不相同的实数根，则实数 m 的取值范围是（ ）Am1 Bm1 Cm1 Dm 1【分析】根据方程的系数结合根的判别式0，即可得出关于 m 的一元一次不等式，解之即可得出实数 m 的取值范围【解答】解：方程 x22x +m0 有两个不相同的实数根，（2） 24m0，解得：m1故选：D【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当0 时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键9 （3 分）如图，等腰直角ABC 的直角边长为 1，正方形 MNPQ 的边长为2，C、M、A、N 在同一条直线上，开始时点 A 与点 M 重合，让ABC 向右平移，当ABC 完全移出正方
17、形 MNPQ 时停止，设三角形与正方形重合的面积为 S，点 A 平移的距离为 x，则 S 关于 x 的大致图象是（ ）A B第 12 页（共 31 页）C D【分析】根据三角形在移动过程中，重合面积和 x 之间的关系建立分段函数，利用分段函数确定函数的图象即可【解答】解：当 0xa 时，S ，此时为抛物线，排除 B，D当 axb 时，S 为常数，故选：C【点评】本题考查了动点问题的函数图象，此类题目的图象往往是几个函数的组合体10 （3 分）如图，在菱形 ABCD 中，BAD120，AB2，点 E 是 AB 边上的动点，过点 B 作直线 CE 的垂线，垂足为 F，当点 E 从点 A
18、 运动到点 B 时，点 F 的运动路径长为（ ）A B C D 【分析】因为AFB90，推出点 F 的运动轨迹是以 BC 为直径的，圆弧 BM，求出圆心角BOM 即可解决问题；【解答】解：如图，取 BC 的中点 O，连接 OFAFB 90，点 F 的运动轨迹是以 BC 为直径的，圆弧 BM，当点 E 与 A 重合时，点 F 与 AC 中点 M 重合，四边形 ABCD 是菱形，BAD120，第 13 页（共 31 页）BCM60，OM OCOB1，OMC 是等边三角形，MOC60，BOM120， 的长 故选：B【点评】本题考查轨迹、菱形的性质、弧长公式、等边三角形的判定和性质等知识，
19、解题的关键是学会准确寻找点的运动轨迹，所以中考常考题型二、填空题（本大题共有 6 小题，每题小 3 分，共 18 分）11 （3 分）分解因式：4ax 29ay 2 a（2x +3y） （2x3y） 【分析】原式提取 a，再利用平方差公式分解即可【解答】解：原式a（4x 29y 2）a（2x +3y） （2x3y） ，故答案为：a（2x+3y ） （2x 3y）【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键12 （3 分）分式方程 + 1 的解为 x1 【分析】根据解分式方程的步骤，即可解答【解答】解：方程两边都乘以 x2，得：32x2x 2，解得：x1，
20、检验：当 x1 时，x 21210，所以分式方程的解为 x1，故答案为：x1【点评】本题考查了解分式方程， （1）解分式方程的基本思想是“转化思想” ，把分式方程转化为整式方程求解 （2）解分式方程一定注意要验根13 （3 分）若扇形的面积为 ，圆心角为 60，则该扇形的半径为 【分析】利用扇形的面积公式构建方程即可解决问题【解答】解：设扇形的半径为 r，第 14 页（共 31 页）由题意： ，r （负根已经舍弃） ，故答案为 【点评】本题考查扇形的面积，解题的关键是记住扇形的面积公式14 （3 分）抛物线 yax 2+bx+c 过点 A（2，0） ，且 a+b+c
21、0，则抛物线的对称轴是 x 【分析】根据点 A、B 的纵坐标相等，利用二次函数的对称性列式计算即可得解【解答】解：抛物线 yax 2+bx+c 中 a+b+c0，该抛物线必过点 B（1，0） ，点 A（2，0） ，B（1，0）纵坐标都是 0，此抛物线的对称轴是直线 x 故答案为：直线 x ；【点评】本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的对称，关键在于观察出点A、B 的纵坐标相同15 （3 分）如图，第一角限内的点 A 在反比例函数 的图象上，第四象限内的点 B 在反比例函数 图象上，且 OAOB ，OAB60 度，则 k 值为 6 【分析】作 ACy 轴于 C，BDy 轴
22、于 D，如图，根据反比例函数图象上点的坐标特征，设 A（a， ） ，B（b， ） ，再证明 RtOACRtBOD，根据相似的性质得 ，而在 RtAOB 中，根据正切的定义得到 tanOAB ，即 ，然后利用比例性质先求出 ab 的值再计算 k 的值第 15 页（共 31 页）【解答】解：作 ACy 轴于 C，BDy 轴于 D，如图，设 A（a， ） ，B（b， ） ，AOB90，AOC+DOB90，而AOC+OAC90，OACDOB，RtOAC RtBOD ， ，在 RtAOB 中，tan OABtan60 ， ，即 ，ab2 ，k ab 2 6故答案为6【点评】本题考查了反比例函数图象上点的
23、坐标特征：反比例函数 y （k 为常数，k0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y ）的横纵坐标的积是定值 k，即 xyk也考查了相似三角形的判定与性质16 （3 分）如图，将矩形 ABCD 点 A 逆时针方向旋转一定角度后，BC 的对应边 B1C1 交CD 边于点 G，AB 1B 1G 时，AD ，CG3，连接 BB1，CC 1，则 第 16 页（共 31 页）【分析】连接 AC，AG，AC 1，由旋转可得，ABAB 1，ACAC 1，BAB 1CAC 1，证明ABB 1ACC 1，得出 ，证明AB 1G 是等腰直角三角形，得出 AGAB1，设 ABAB 1x，则 AG x，DG
24、x3，在 RtADG 中，由勾股定理得出方程，解方程得出 AB4，在 RtABC 中，AC ，即可得出答案【解答】解：连接 AC，AG，AC 1，如图所示：由旋转可得，ABAB 1，ACAC 1，BAB 1CAC 1， ，ABB 1ACC 1， ，AB 1B 1G，AB 1GABC90，AB 1G 是等腰直角三角形，AG AB1，设 ABAB 1x ，则 AG x，DGx 3，RtADG 中，AD 2+DG2 AG2，（ ） 2+（x3） 2（ x） 2，解得：x 14，x 210（舍去） ，AB4，RtABC 中，AC ， ，第 17 页（共 31 页）故答案为： 【点评】本题考查了翻折变换
25、的性质、相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握翻折变换的性质，证明三角形相似是解题的关键三、解答题（水大共有身小，共 102 分）17 （9 分）解方程：2x 24x10（用配方法）【分析】解题时要注意解题步骤的准确应用，把左边配成完全平方式，右边化为常数然后利用直接开平方法即可求解【解答】解：2x 24x 10x22x 0x22x+1 +1（x1） 2x 11+ ，x 21 【点评】用配方法解一元二次方程的步骤：（1）形如 x2+px+q0 型：第一步移项，把常数项移到右边；第二步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第三步左边写成完全平方式；第四步，
26、直接开方即可（2）形如 ax2+bx+c0 型，方程两边同时除以二次项系数，即化成 x2+px+q0，然后配方18 （9 分）如图，在矩形 ABCD 中，ADAE（1）尺规作图：作 DFAE 于点 F；（保留作图痕迹，不写作法）（2）求证：ABDF 第 18 页（共 31 页）【分析】 （1）利用基本作图作 DFAE 于 F 点即可；（2）证明ABEDFA 即可【解答】 （1）解：如图，F 点为所作；（2）证明：四边形 ABCD 为矩形，ADBC，B90，DAEAEB，DFAE，AFD90，在ABE 和DFA 中，ABE DFA（AAS ） ，ABDF 【点评】本题考查了作图基本作图：熟练掌握
27、基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线） 也考查了矩形的性质19 （10 分）先化简，再求值： ，其中 a 是满足不等式3a14 的最小整数解【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，求出不等式的最小整数解，代入计算即可求出值第 19 页（共 31 页）【解答】解：A ，由 3a14，解得：a1，即 a2（a0 与 a1 原式没有意义） ，则原式1【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键20 （10 分）为了解某中学学生课余生活情况，
28、对喜爱看课外书、体育活动、看电视、社会实践四个方面的人数进行调查统计现从该校随机抽取 n 名学生作为样本，采用问卷调查的方法收集数据（参与问卷调查的每名学生只能选择其中一项） 并根据调查得到的数据绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图由图中提供的信息，解答下列问题：（1）求 n 的值；（2）若该校学生共有 1200 人，试估计该校喜爱看电视的学生人数；（3）若调查到喜爱体育活动的 4 名学生中有 3 名男生和 1 名女生，现从这 4 名学生中任意抽取 2 名学生，求恰好抽到 2 名男生的概率【分析】 （1）用喜爱社会实践的人数除以它所占的百分比得到 n 的值；（2）先计算出样本中喜爱看电视的人数
29、，然后用 1200 乘以样本中喜爱看电视人数所占的百分比可估计该校喜爱看电视的学生人数；（3）画树状图展示 12 种等可能的结果数，再找出恰好抽到 2 名男生的结果数，然后根据概率公式求解【解答】解：（1）n510%50；（2）样本中喜爱看电视的人数为 501520510（人） ，1200 240，所以估计该校喜爱看电视的学生人数为 240 人；（3）画树状图为：第 20 页（共 31 页）共有 12 种等可能的结果数，其中恰好抽到 2 名男生的结果数为 6，所以恰好抽到 2 名男生的概率 【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件 A
30、或 B 的结果数目 m，然后利用概率公式计算事件 A 或事件 B的概率也考查了统计图21 （12 分）如图在ABC 中，C90，点 O 在 AC 上，以 AO 为半径的O 交 AB 于D，BD 的垂直平分线交 BD 于 F，交 BC 于 E，连接 DE（1）求证：DE 是O 的切线；（2）若B30，BC ，且 AD：DF1：2，求 O 的直径【分析】 （1）直线 DE 与圆 O 相切，理由如下：连接 OD，由 ODOA，利用等边对等角得到一对角相等，等量代换得到ODE 为直角，即可得证；（2）利用B30，BC ，且 AD：DF1：2，求得 AD 的长，再根据AOD是等边三角形，可得 AOAD
31、，进而得到 O 的直径为 【解答】解：（1）如图，连接 OD，ODOA ，AODA ，EF 是 BD 的垂直平分线，EBED ，BEDB ，C90，A+B90，ODA +EDB 90，ODE 180 9090 ，第 21 页（共 31 页）直线 DE 与O 相切；（2）如图，B30，BC ，AC4，AB 8，EF 垂直平分 BD，DFBF，BEDE，又AD：DF 1：2，BF AB ，AD8 ，又AOOD ， A90B60，AOD 是等边三角形，AOAD ， O 的直径为 【点评】此题考查了直线与圆的位置关系，以及线段垂直平分线定理，熟练掌握直线与圆相切的性质是解本题的关键22 （12 分）如
32、图，双曲线 y （x0）经过AOB 的点顶 A（2，3） ，AB x 轴，OB 交双曲线于点 C，且 OB3OC（1）求 k 的值；（2）连接 AC，求点 C 的坐标和ABC 的面积第 22 页（共 31 页）【分析】 （1）把点 A 的坐标代入可直接求出 k 的值；（2）通过作垂线，将坐标、线段的比、相似三角形联系起来，根据 OB3OC，可求出CD，即点 C 的纵坐标，再代入求横坐标即可，最后将 OB3OC，转化为三角形的面积比，从而解决问题【解答】解：（1）把 A（2，3）代入 y 得：k 236，答：k 的值为：6（2）过点 A、C、B 分别作 AFx 轴，CDx 轴，BEx 轴，垂足为
33、 F、D 、E，A（2，3）OF2，AF3，由OCDOBE 得： ，CD1，把 y1 代入 y 得：x 6，C（6，1） ，OE18，S OAB S 梯形 OABES OBE （18+16 ）3 18324，OB3OC，S ABC SAOB 16答：点 C 的坐标为（6，1） ， ABC 的面积为 16【点评】考查反比例函数的图象和性质、相似三角形的性质和判定以及三角形梯形的面积公式等知识，恰当的转化是解决问题的关键，同时注意将点的坐标与相应的线段的长联系起来23 （12 分）如图，一般捕鱼船在 A 处发出求救信号，位于 A 处正西方向的 B 处有一艘救第 23 页（共 31 页）援艇决定前去
34、数援，但两船之间有大片暗礁，无法直线到达救援艇决定马上调整方向，先向北偏东 60方以每小时 30 海里的速度航行，同时捕鱼船向正北低速航行30 分钟后，捕鱼船到达距离 A 处 1.5 海里的 D 处，此时救援艇在 C 处测得 D 处在南偏东 53的方向上（1）求 C、D 两点的距离；（2）捕鱼船继续低速向北航行，救援艇决定再次调整航向，沿 CE 方向前去救援，并且捕鱼船和救援艇同达时到 E 处，若两船航速不变，求ECD 的正弦值 （参考数据：sin530.8，cos530.6，tan53 ）【分析】 （1）过点 C、D 分别作 CGAB，DFCG，垂足分别为 G，F，根据直角三角形的性质得出
35、CG，再根据三角函数的定义即可得出 CD 的长；（2）如图，设渔政船调整方向后 t 小时能与捕渔船相会合，由题意知CE30t，DE1.52t3t ，EDC53，过点 E 作 EHCD 于点 H，根据三角函数表示出 EH，在 RtEHC 中，根据正弦的定义求值即可【解答】解：（1）过点 C、 D 分别作 CGAB，DFCG，垂足分别为 G，F，在 RtCGB 中，CBG 906030，CG BC （30 ）7.5 海里，DAG 90 ，四边形 ADFG 是矩形，GFAD 1.5 海里，CFCGGF7.51.56 海里，在 Rt CDF 中， CFD90 ，DCF53，COSDCF ，第 24 页
36、（共 31 页）CD 10（海里） 答：CD 两点的距离是 10 海里；（2）如图，设渔政船调整方向后 t 小时能与捕渔船相会合，由题意知 CE30t，DE1.52t3t ，EDC53，过点 E 作 EH CD 于点 H，则EHDCHE90，sinEDH ，EHED sin533t0.82.4t ，在 RtEHC 中，sin ECD 0.08答：sinECD 的正弦值是 0.08【点评】考查了解直角三角形的应用方向角问题，此题是一道方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想24 （14 分）如图 1，抛物线 C1：y ax 2+bx2 与
37、直线 l： y x 交于 x 轴上的一点A，和另一点 B（3，n）（1）求抛物线 C1 的解析式；（2）点 P 是抛物线 C1 上的一个动点（点 P 在 A，B 两点之间，但不包括 A，B 两点）PMAB 于点 M，PNy 轴交 AB 于点 N，求 MN 的最大值；（3）如图 2，将抛物线 C1 绕顶点旋转 180后，再作适当平移得到抛物线 C2，已知抛物线 C2 的顶点 E 在第一象限的抛物线 C1 上，且抛持线 C2 与抛物线 C1 交于点 D，过点D 作 DFx 轴交抛物线 C2 于点 F，过点 E 作 EGx 轴交抛物线 C1 于点 G，是否存在这样的抛物线 C2，使得四边形 DFEG
38、 为菱形？若存在，请求 E 点的横坐标；若不存在，请说明理由第 25 页（共 31 页）【分析】 （1）求直线 l 与 x 轴交点 A 坐标、B 坐标，用待定系数法求抛物线 C1 的解析式（2）延长 PN 交 x 轴于点 H，设点 P 横坐标为 m，由 PNy 轴可得点 N、H 横坐标也为 m，即能用 m 表示 PN、NH、AH 的长由AHN PMN90及对顶角ANHPNM 可得NAHNPM发现在 RtPMN 中，MN 与 PN 比值即为sinNPM，故先在 RtANH 中求 sinNAH 的值，再代入 MNPNsinNPM，即得到MN 与 m 的函数关系式，配方即求得 MN 最大值（3）设点
39、 E（e ， e2 e2） ，所以可设抛物线 C2 顶点式为 y （xe）2+ e2 e2 令两抛物线解析式 y0 列得关于 x 的方程，解得两抛物线的另一交点D 即为抛物线 C1 的顶点，故 DGDEEF，且求得 DF 平行且等于 GE，即四边形DFEG 首先一定是平行四边形由DFEG 为菱形可得 DFDG，故此时DEF 为等边三角形利用特殊三角函数值作为等量关系列方程，即求得 e 的值【解答】解：（1）直线 l：y x 交 x 轴于点 A x 0，解得：x 1A（1，0）点 B（3，n）在直线 l 上n 3 2B（3，2）抛物线 C1：y ax 2+bx2 经过点 A、B第 26 页（共
40、31 页） 解得：抛物线 C1 的解析式为 y x2 x2（2）如图 1，延长 PN 交 x 轴于点 HAHN90设 P（m， m2 m2） （1m3）PNy 轴x Nx Hx P mN（m， m ） ，AHm+1 ，NH（ m ） m+ ，PN m （ m2 m2） m2+m+RtAHN 中， tanNAHsinNAH PMAB 于点 MAHNPMN90ANHPNMNAHNPMRtPMN 中，sinNPMMN PN （ m2+m+ ） （m 1） 2+MN 的最大值为（3）存在满足条件的抛物线 C2，使得四边形 DFEG 为菱形如图 2，连接 DE，过点 E 作 E
41、QDF 于点 Q第 27 页（共 31 页）y x2 x2 （x ） 2抛物线 C1 顶点为（ ， ）设 E（e ， e2 e2） （e4）抛物线 C2 顶点式为 y （xe） 2+ e2 e2当 （xe） 2+ e2 e2 x2 x2解得：x 1e，x 2两抛物线另一交点 D（ ， ）为抛物线 C1 顶点EGx 轴，DFx 轴EGDF 2DQ2（e ）2e 3，EQ e2 e2+ e2 e+四边形 DFEG 是平行四边形若DFEG 为菱形，则 DGDF由抛物线对称性可得：DGDEEFDEEFDFDEF 是等边三角形 tanEDQ e2 e+ （e ）解得：e 1 （舍去） ，e 22 +E
42、点的横坐标为（2 ）时，四边形 DFEG 为菱形第 28 页（共 31 页）【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，三角函数的应用，求二次函数最值，二元一次方程组和一元二次方程的解法，菱形的判定和性质第（3）题问是否存在满足条件的点 E，使四边形 DFEG 为菱形，需要先证明它一定是平行四边形，才有可能存在25 （14 分）如图 1，在平面直角坐标系 xOy 中， M 与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴于C，D 两点，其中 A（4，0） ，B（1，0） ，C（0，2） （1）求圆心 M 的坐标；（2）点 P 为 上任意一点（不与 A、D 重合） ，连接 PC，PD，作 AEDP 的延长线
43、于点 E当点 P 在 上运动时， 的值发生变化吗？若不变，求出这个值，若变化，请说明理由（3）如图 2，若点 Q 为直线 y1 上一个动点，连接 QC，QO，当 sinOQC 的值最大时，求点 Q 的坐标【分析】 （1）利用中点坐标公式计算即可（2）结论： 的值不变如图 1 中，连接 AC，BC，BD ，PA，PB，作 AHPC于 H，在 PC 上截取一点 K，使得 PKPD ，连接 BK想办法证明 CKAH，AE AH即可解决问题第 29 页（共 31 页）（3）如图 2 中，作线段 OC 的垂直平分线 GF 交 OC 于 G，以 N 为圆心，NC 为半径作N，当N 与直线 y1 相切于点
44、Q 时，CQO 的值最大，此时 sinCQO 的值最大求出 HQ 的长即可解决问题【解答】解：（1）A（4，0） ，B（1，0） ，MAMB，M（1.5，0） （2）结论： 的值不变理由：如图 1 中，连接 AC， BC，BD，PA，PB，作 AHPC 于 H，在 PC 上截取一点K，使得 PKPD，连接 BKABCD，AB 是直径，OCOD， ，BPDBPK，PKPD，PB PB，PBDPBK（SAS） ，BDBKBC，以 B 为圆心，BC 为半径作 B，AB 是M 的直径，ACB90，ACBC，AC 是B 的切线，ACHCDK，AHCAOC90，第 30 页（共 31 页）A，H，O，C 四点共圆，ACHAOH，OAH KCD，AOH CDK，A（4，0） ，C（0，2） ，OA4，OCOD2，OACD4，AOH CDK（ASA ） ，AHCK，PCPDPCPKCK HA，APE +APD180，APD+ABD180，APE ABD，ABCD， ，ABDAPC，APE APC，AEPE，AHPC，AHAE， 1（3）如图 2 中，作线段 OC 的垂直平分线 GF 交 OC 于 G，以 N 为圆心，NC 为半径作N，当N 与直线 y1 相切于点 Q 时，CQO 的值最大，此时 sinCQO 的值最大NQHQHGNGH90
