1、课时规范练(授课提示:对应学生用书第 313 页)A 组 基础对点练1若方程 x2 1(a 是常数 ),则下列结论正确的是 ( B )y2aA任意实数 a,方程表示椭圆B存在实数 a,方程表示椭圆C任意实数 a,方程表示双曲线D存在实数 a,方程表示抛物线2设点 A 为圆( x1) 2y 21 上的动点,PA 是圆的切线,且|PA| 1,则点 P的轨迹方程是( D )Ay 22x B(x1) 2y 24Cy 22x D(x1) 2y 22解析:如图,设 P(x,y),圆心为 M(1,0),连接 MA,则 MAPA,且|MA |1,又 |PA|1,|PM| ,|MA|2 |PA|2 2即|PM|
2、 22, (x1) 2y 22.3在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,A(1,0),B(2,2),若点 C 满足 t( ),其中 tR,则点 C 的轨迹方程是 y2x 2 .OC OA OB OA 解析:设 C(x,y ),则 (x,y), t ( )(1t, 2t),所以Error!消OC OA OB OA 去参数 t 得点 C 的轨迹方程为 y2x2.4与圆(x2) 2y 21 外切,且与直线 x10 相切的动圆圆心的轨迹方程是 y28x .解析:设动圆圆心为 P(x, y),则 | x1|1,依据抛物线的定义x 22 y2结合题意可知动圆圆心 P(x,y)的轨迹是以(2,0)为焦点,x2
3、 为准线的抛物线,故方程为 y2 8x.5已知点 P 是直线 2xy 30 上的一个动点,定点 M(1,2),Q 是线段 PM延长线上的一点,且|PM| |MQ|,则点 Q 的轨迹方程是 2xy50 .解析:由题意知,M 为 PQ 中点,设 Q(x,y),则 P 为(2 x,4y),代入 2xy30,得 2xy50.6已知双曲线 y 21 的左,右顶点分别为 A1,A 2,点 P(x1,y 1),x22Q(x1,y 1)是双曲线上不同于 A1,A 2 的两个不同的动点,则直线 A1P 与 A2Q 交点的轨迹方程为 y 21(x0,且 x ) .x22 2解析:由题设知|x 1| , A1( ,
4、0),A 2( ,0),则有直线 A1P 的方程为 y2 2 2(x ),y1x1 2 2直线 A2Q 的方程为 y (x ), y1x1 2 2联立,解得Error!Error!x 0,且|x|0),则点 F(x 0,y 0)由Error!消去 y 得 x2 .41 4k2x0 ,则 y0 .21 4k2 2k1 4k2直线 AE 的方程为 y (x2)k1 1 4k2即 M .(0, 2k1 1 4k2)同理可得点 N .(0, 2k1 1 4k2)|MN| .|2k1 1 4k2 2k1 1 4k2| 1 4k2|k|设 MN 的中点为 P,则点 P 的坐标为 .(0, 12k)则以 M
5、N 为直径的圆的方程为 x2 2 2,(y 12k) ( 1 4k22|k| )即 x2y 2 y1.1k令 y0,得 x21,即 x1 或 x1.故以 MN 为直径的圆经过两定点(1,0),(1,0) B 组 能力提升练1(2018广州模拟 )已知点 C(1,0),点 A,B 是圆 O:x 2y 29 上任意两个不同的点,且满足 0,设 P 为弦 AB 的中点AC BC (1)求点 P 的轨迹 T 的方程;(2)试探究在轨迹 T 上是否存在这样的点:它到直线 x1 的距离恰好等于到点 C 的距离?若存在,求出这样的点的坐标;若不存在,请说明理由解析:(1)连接 CP,OP,由 0,知 ACB
6、C,AC BC |CP|AP|BP| |AB|,12由垂径定理知|OP| 2|AP| 2|OA| 2,即|OP| 2|CP |29.设点 P(x,y),有(x 2y 2)(x1) 2y 29,化简,得 x2 xy 24.(2)存在根据抛物线的定义,到直线 x1 的距离等于到点 C(1,0)的距离的点都在抛物线 y22px (p0)上,其中 1,p2p 2,故抛物线方程为 y24x.由方程组Error!得 x23x40,解得 x11, x24,又 x0,故取 x1,此时 y2.故满足条件的点存在,其坐标为(1,2)和(1,2) 2已知动圆 C 过点 A(2,0),且与圆 M:( x2) 2y 2
7、64 相内切(1)求动圆 C 的圆心的轨迹方程;(2)设直线 l: ykxm(其中 k,m Z )与(1)中所求轨迹交于不同两点 B,D ,与双曲线 1 交于不同两点 E,F ,问是否存在直线 l,使得 0?x24 y212 DF BE 若存在,指出这样的直线有多少条;若不存在,请说明理由解析:(1)圆 M:(x2) 2y 264,圆心 M 的坐标为(2,0),半径 R8.|AM|4|AM|.圆心 C 的轨迹是中心在原点,焦点为 A,M,长轴长为 8 的椭圆,设其方程为 1( ab0),则 a4,c2,b 2a 2c 2 12.x2a2 y2b2动圆 C 的圆心的轨迹方程为 1.x216 y2
8、12(2)存在满足条件的直线 l.由Error!消去 y 并整理得,(34k 2)x28kmx4m 2 480.设 B(x1,y 1),D(x 2,y 2),则 x1x 2 .8km3 4k21(8km )24(34k 2)(4m248)0.由Error!消去 y 并整理得,(3k 2)x22kmx m 212 0.设 E(x3,y 3),F(x 4,y 4),则 x3x 4 ,2km3 k22(2km )24(3k 2)(m212)0. 0,( x4x 2)(x 3x 1)0,DF BE 即 x1x 2x 3x 4, ,8km3 4k2 2km3 k2km0 或 ,43 4k2 13 k2解
9、得 k0 或 m0.当 k0 时,由 得2 .12即当 k(,1) 时,直线 l 与 C1没有公共点,与 C2有一个公共(12, )点,故此时直线 l 与轨迹 C 恰好有一个公共点b若Error!或Error!由(* 2)(*3)解得 k 或 k0. 1,12 12即当 k 时,直线 l 与 C1只有一个公共点,与 C2有一个公共点 1,12当 k 时,直线 l 与 C1有两个公共点,与 C2没有公共点 12,0)故当 k 时,直线 l 与轨迹 C 恰好有两个公共点 12,0) 1,12c若Error! 由(* 2)(*3)解得1k 或 0k .12 12即当 k 时,直线 l 与 C1有两个公共点,与 C2有一个公共点,( 1, 12) (0,12)故此时直线 l 与轨迹 C 恰好有三个公共点综合可知,当 k( ,1) 0时,直线 l 与轨迹 C 恰好有(12, )一个公共点;当 k 时,直线 l 与轨迹 C 恰好有两个公共点; 12,0) 1,12当 k 时,直线 l 与轨迹 C 恰好有三个公共点( 1, 12) (0,12)