1、考点规范练 43 分类加法计数原理与分步乘法计数原理一、基础巩固1.已知两条异面直线 a,b 上分别有 5 个点和 8 个点,则这 13 个点可以确定不同的平面个数为( )A.40 B.16C.13 D.102.某市汽车牌照号码可以上网自编,但规定从左到右第二个号码只能从字母 B,C,D 中选择,其他四个号码可以从 09 这十个数字中选择(数字可以重复), 有车主第一个号码(从左到右)只想在数字3,5,6,8,9 中选择,其他号码只想在 1,3,6,9 中选择,则他的车牌号码可选的所有可能情况有( )A.180 种 B.360 种C.720 种 D.960 种3.设集合 A=-1,0,1,集合
2、 B=0,1,2,3,定义 A*B=(x,y)|x AB,yAB,则 A*B 中元素的个数是( )A.7 B.10C.25 D.524.我们把各位数字之和为 6 的四位数称为“六合数”(如 2 013 是“六合数”),则首位为 2 的“六合数”的个数为( )A.18 B.15C.12 D.95.将 3 张不同的电影票分给 10 名同学中的 3 人,每人 1 张,则不同分法的种数是( )A.2 160 B.720C.240 D.1206.已知集合 M=1,-1,2,N=-3,4,6,-8,从两个集合中各取一个元素作为点的坐标 ,则在平面直角坐标系中位于第一、第二象限内的不同点的个数为( )A.1
3、8 B.16C.14 D.127.某同学有同样的画册 2 本,同样的集邮册 3 本,从中取出 4 本赠送给 4 位朋友,每位朋友 1 本,则不同的赠送方法共有( )A.4 种 B.10 种C.18 种 D.20 种8.某中学高三年级的三个班去甲、乙、丙、丁四个工厂参加社会实践,但去哪个工厂可自由选择,甲工厂必须有班级要去,则不同的分配方案有( )A.16 种 B.18 种C.37 种 D.48 种9.甲、乙两人从 4 门课程中各选修 2 门,则甲、乙所选的课程中恰有 1 门相同的选法共有 种. 10.三边长均为正整数,且最大边长为 11 的三角形的个数是 . 11.在数字 0,1,2,3,4,
4、5,6 中,任取 3 个不同的数字为系数 a,b,c 组成二次函数 y=ax2+bx+c,则一共可以组成 个不同的解析式. 12.我们把中间位上的数字最大,而两边依次减小的多位数称为“凸数”.如 132,341 等,则由 1,2,3,4,5 可以组成无重复数字的三位凸数的个数是 . 二、能力提升13.一排 9 个座位坐了 3 个三口之家.若每家人坐在一起,则不同的坐法种数为( )A.33!B.3(3!)3C.(3!)4D.9!14.从集合1,2,3,10中任意选出三个不同的数,使这三个数成等比数列 ,这样的等比数列的个数为( )A.3 B.4C.6 D.815.某校开设 8 门课程供学生选修,
5、其中 A,B,C 三门由于上课时间相同,至多选一门,学校规定:每名同学选修三门,则每名同学不同的选修方案种数为( )A.30 B.40C.90 D.14016.如图所示,一个地区分为 5 个行政区域,现给该地区的地图涂色,要求相邻区域不得使用同一种颜色,现有 4 种颜色可供选择,则涂色方法共有的种数为 . 17.已知集合 M=1,2,3,4,集合 A,B 为集合 M 的非空子集,若对xA,yB,xy 恒成立,则称( A,B)为集合 M 的一个“子集对”,则集合 M 的“子集对”共有 个. 三、高考预测18.若 m,n 均为非负整数,在做 m+n 的加法时各位均不进位( 例如:134 +3 80
6、2=3 936),则称(m ,n)为“简单的”有序对,而 m+n 称为有序对(m ,n)的值,那么值为 1 942 的“简单的”有序对的个数是 . 考点规范练 43 分类加法计数原理与分步乘法计数原理1.C 解析 分两类情况讨论:第一类,直线 a 分别与直线 b 上的 8 个点可以确定 8 个不同的平面;第二类,直线 b 分别与直线 a 上的 5 个点可以确定 5 个不同的平面.根据分类加法计数原理知,共可以确定 8+5=13 个不同的平面 .2.D 解析 按照车主的要求,从左到右第一个号码有 5 种选法,第二个号码有 3 种选法,其余三个号码各有 4 种选法.因此车牌号码可选的所有可能情况有
7、 53444=960(种).3.B 解析 因为集合 A=-1,0,1,集合 B=0,1,2,3,所以 AB=0,1,AB=-1,0,1,2,3,所以 x 有 2 种取法,y 有 5 种取法,根据分步乘法计数原理有 25=10(个).4.B 解析 由题意知,这个四位数的百位数、十位数、个位数之和为 4.由 4,0,0 组成 3 个数,分别为400,040,004;由 3,1,0 组成 6 个数,分别为 310,301,130,103,013,031;由 2,2,0 组成 3 个数,分别为 220,202,022;由 2,1,1 组成 3 个数,分别为 211,121,112,共有 3+6+3+3
8、=15 个.5.B 解析 分步来完成此事.第 1 张电影票有 10 种分法;第 2 张电影票有 9 种分法;第 3 张电影票有8 种分法,共有 1098=720 种分法.6.C 解析 分两类:第一类,M 中的元素作为点的横坐标,N 中的元素作为点的纵坐标,在第一象限内的点共有 22=4 个,在第二象限内的点共有 12=2 个;第二类 ,M 中的元素作为点的纵坐标,N 中的元素作为点的横坐标,在第一象限内的点共有 22=4 个,在第二象限内的点共有 22=4 个.故所求不同点的个数为 4+2+4+4=14.7.B 解析 分两类:第一类赠送 1 本画册,3 本集邮册,需从 4 人中选取一人赠送画册
9、,其余送集邮册,有种方法.14第二类赠送 2 本画册,2 本集邮册,只需从 4 人中选出 2 人送画册,其余 2 人送集邮册,有 种方法.24由分类加法计数原理,不同的赠送方法有 =10 种.14+248.C 解析 三个班去四个工厂,不同的分配方案共 43 种,甲工厂没有班级去的分配方案共 33 种,因此满足条件的不同的分配方案共有 43-33=37 种.9.24 解析 分步完成,首先甲、乙两人从 4 门课程中同选 1 门,有 4 种方法,其次甲从剩下的 3 门课程中任选 1 门,有 3 种方法,最后乙从剩下的 2 门课程中任选 1 门,有 2 种方法,故甲、乙所选的课程中恰有 1 门相同的选
10、法共有 432=24 种.10.36 解析 另两边长用 x,y(x,yN *)表示,且不妨设 1xy11,要构成三角形,必须 x+y12.当 y取 11 时,x 可取 1,2,3,11,有 11 个三角形; 当 y 取 10 时,x 可取 2,3,10,有 9 个三角形;当 y 取 6时,x 只能取 6,只有 1 个三角形.所以所求三角形的个数为 11+9+7+5+3+1=36.11.180 解析 分三步完成,第一步任取一个数为 a,由于 a 不为零有 6 种方法; 第二步从剩余的 6 个数中任取一个数为 b 有 6 种方法;第三步从剩余的 5 个数中任取一个数为 c 有 5 种取法,由分步乘
11、法计数原理得,共有 665=180 个不同的解析式.12.20 解析 根据“ 凸数”的特点,中间的数字只能是 3,4,5,故分三类,第一类,当中间数字为“3” 时,此时有 2 种(132,231);第二类,当中间数字为“4” 时,从 1,2,3 中任取两个放在 4 的两边,故有 =6 种;23第三类,当中间数字为“5” 时,从 1,2,3,4 中任取两个放在 5 的两边,故有 =12 种;24根据分类加法计数原理,得到由 1,2,3,4,5 可以组成无重复数字的三位凸数的个数是 2+6+12=20.13.C 解析 第一步,分别将三口之家“捆绑”起来,共有 3!3!3!种排法;第二步,将三个“捆
12、绑” 起来的整体排列顺序,共有 3!种排法 ;故不同的作法种数为 3!3!3!3!=(3!)4,故选 C.14.D 解析 当公比为 2 时,等比数列可为 1,2,4 或 2,4,8;当公比为 3 时,等比数列可为 1,3,9;当公比为时,等比数列可为 4,6,9.同理,公比为 时,也有 4 个.故共有 8 个等比数列.32 12,13,2315.B 解析 因为 A,B,C 三门由于上课时间相同 ,至多选一门,所以可分两类,第一类,A,B,C 三门课都不选,有 =10 种方案;35第二类,A,B,C 中选一门,剩余 5 门课中选 2 门,有 =30 种方案.1325故根据分类计数原理知共有 10
13、+30=40 种方案.16.72 解析 因为区域 1 与其他 4 个区域都相邻,首先考虑区域 1,有 4 种涂法,然后再按区域 2,4 同色和不同色,分为两类:第一类,区域 2,4 同色,有 3 种涂法,此时区域 3,5 均有 2 种涂法,共有 4322=48 种涂法;第二类,区域 2,4 不同色,先涂区域 2,有 3 种涂法,再涂区域 4,有 2 种涂法,此时区域 3,5 都只有 1 种涂法,共有 43211=24 种涂法.根据分类加法计数原理,共有 48+24=72 种满足条件的涂色方法 .17.17 解析 当 A=1时,B 有 23-1=7 种情况;当 A=2时,B 有 22-1=3 种
14、情况;当 A=3时,B 有 1 种情况;当 A=1,2时,B 有 22-1=3 种情况;当 A=1,3,2,3,1,2,3时,B 均有 1 种情况.故满足题意的“子集对” 共有 7+3+1+3+3=17 个.18.300 解析 第 1 步,1=1+0,1= 0+1,共 2 种组合方式;第 2 步,9=0+9,9=1+8,9= 2+7,9=3+6,9=9+0,共 10 种组合方式;第 3 步,4=0+4,4=1+3,4= 2+2,4=3+1,4=4+0,共 5 种组合方式;第 4 步,2=0+2,2=1+1,2= 2+0,共 3 种组合方式.根据分步乘法计数原理,值为 1 942 的“简单的”有序对的个数为 21053=300.
