1、3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)学习目标 1.理解函数的和、差、积、商的求导法则.2.理解求导法则的证明过程，能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数.知识点 导数运算法则法则 语言叙述f(x)g(x)f( x)g(x)两个函数的和(或差) 的导数，等于这两个函数的导数的和(或差)f(x)g(x)f(x)g(x)f( x)g(x)两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘上第二个函数，加上第一个函数乘上第二个函数的导数f（x）g（x）f（x）g（x） f（x）g（x）g（x）2(g(x)0)两个函数的商的导数，等于分子的导数乘上分母减去分子乘上分母的导数，再除以分
2、母的平方【预习评价】思考 若 f(x)x 2sin x，则 f(x)(x 2)(sin x)2xcos x 是否正确？提示 不正确.f(x )(x 2)sin xx 2(sin x)2xsin xx 2cos x.题型一 利用导数的运算法则求函数的导数【例 1】 求下列函数的导数：(1)y(x 21)( x1)；(2)y3 xlg x .解 (1)方法一 y (x 21)(x 1)(x 21)(x 1)2x(x 1) x 213x 2 2x1.方法二 y (x 21)(x1)x 3x 2x1，y(x 3)(x 2)x 3x 22x1.(2)(3xlg x)(3 x)(lg x)3 xln 3
3、.1xln 10规律方法 本题是基本初等函数和(差)的求导问题，求导过程要紧扣求导法则，联系基本函数求导法则，对于不具备求导法则结构形式的可先进行适当的恒等变形转化为较易求导的结构形式再求导数.【训练 1】 求下列函数的导数：(1)yx 3x 2x 3；(2)y ；2x2 3x3(3)y ；1 sin x1 cos x(4)y .1 x1 x 1 x1 x解 (1)y(x 3x 2x 3)(x 3)(x 2)x 33x 22x1.(2)方法一 因为 y2x 2 3x 3 ，所以 y(2x 23x 3 )(2x 2 )(3x 3 )4x 3 9 x4 .4x3 9x4方法二 y (2x2 3x3
4、) (2x2) (3x3) 2x2 2（x2）x4 3x3 3（x3）x6 .4x3 9x4(3)y (1 sin x1 cos x)（1 sin x）（1 cos x） （1 sin x）（1 cos x）（1 cos x）2 cos x cos2x sin x sin2x（1 cos x）2 . 1 cos x sin x（1 cos x）2(4)因为 y 1 x1 x 1 x1 x （1 x）21 x （1 x）21 x 2，2（1 x）1 x 41 x所以 y .(41 x 2) 4（1 x） 4（1 x）（1 x）2 4（1 x）2题型二 导数的应用【例 2】 求过点(1，1)与曲线
5、 f(x)x 32x 相切的直线方程 .解 设 P(x0，y 0)为切点，则切线斜率为kf(x 0)3x 2.20故切线方程为 yy 0(3x 2)(xx 0).20(x 0，y 0)在曲线上，y 0x 2x 0，30又(1 ，1)在切线上，将式和(1，1) 代入式，得1(x 2x 0)(3x 2)(1 x 0).30 20解得 x01 或 x0 .12P 点坐标为(1 ，1)或( ， )，12 78故所求的切线方程为 y 1x 1 或 y (x )，78 54 12即 xy20 或 5x4y10.规律方法 (1，1) 虽然在曲线上，但是经过该点的切线不一定只有一条，即该点有可能是切点，也可能
6、是切线与曲线的交点，解题时注意不要失解.【训练 2】 若函数 f(x) 在 xc 处的导数值与函数值互为相反数，求 c 的值.exx解 因为 f(x) ，所以 f(c) ，exx ecc又因为 f(x) ，exx exx2 ex（x 1）x2所以 f(c) .ec（c 1）c2依题意，知 f(c)f(c)0，所以 0，ecc ec（c 1）c2所以 2c1 0，解得 c .12课堂达标1.函数 y( 1)( 1)的导数等于( )x xA.1 B. C. D.12x 12x 14x解析 因为 y( 1)( 1)x1，x x所以 yx11.答案 A2.函数 y 的导数是( )cos x1 xA.
7、B. sin x xsin x（1 x）2 xsin x sin x cos x（1 x）2C. D.cos x sin x xsin x（1 x）2 cos x sin x xsin x1 x解析 y .(cos x1 x) （ sin x）（1 x） cos x（ 1）（1 x）2 cos x sin x xsin x（1 x）2答案 C3.曲线 y 在点(1， 1)处的切线方程为( )xx 2A.y2x1 B.y2x1C.y2x 3 D.y2x 2解析 y ，x（x 2） x（x 2）（x 2）2 2（x 2）2ky| x1 2，2（ 1 2）2切线方程为 y12(x 1)，即 y2x1
8、.答案 A4.直线 y xb 是曲线 yln x(x0)的一条切线，则实数 b_.12解析 设切点为(x 0，y 0)，(x 00)， y ， ，1x 12 1x0x 02，y 0ln 2，ln 2 2b，bln 2112答案 ln 215.曲线 yxe x2x 1 在点 (0，1)处的切线方程为_.解析 ye xx ex2，k y| x0 e 0023，所以切线方程为 y13(x0)，即 3xy10.答案 3xy10课堂小结求函数的导数要准确把函数分割为基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导数.在求导过程中，要仔细分析出函数解析式的结构特征，根据导数运算法则，联系基本函数的导数公式.对于不具备导数运算法则结构形式的要进行适当恒等变形，转化为较易求导的结构形式，再求导数，进而解决一些切线斜率、瞬时速度等问题.
