1、第四章 圆与方程4.1 圆的方程4.1.2 圆的一般方程学习目标1.在掌握圆的标准方程的基础上,理解记忆圆的一般方程的代数特征,由圆的一般方程确定圆的圆心、半径.掌握方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 表示圆的条件.2.能通过配方等手段,把圆的一般方程化为圆的标准方程.能用待定系数法求圆的方程.3.体会数形结合思想,初步形成代数方法处理几何问题能力.能根据不同的条件,利用待定系数法求圆的标准方程.学习过程一、设计问题,创设情境我们已经学习了圆的标准方程,请同学们思考方程(x-1) 2+(y+2)2=4 表示什么图形?它与方程 x2+y2-2x+4y+1=0 是什么关系?问题 1:把圆的标准方
2、程(x-a) 2+(y-b)2=r2 展开后是什么形式?问题 2:方程:x 2+y2-6x+8y+20=0 表示的曲线是什么图形?二、自主探索,尝试解决1.我们知道,圆的一般方程是(x-a) 2+(y-b)2=r2,它体现了圆心和半径.展开后是一个关于x,y 的二元二次式: ; 2.圆的标准方程展开都是一个关于 x,y 的二元二次式 x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0,反之关于 x、y 的二元二次方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 都表示圆吗?三、信息交流,揭示规律3.圆的一般方程是(x-a) 2+(y-b)2=r2,它体现了圆心和半径.展开后是一个关于 x,y 的二元二次式:
3、x 2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0.关于 x,y 的二元二次式 x2+y2+Dx+Ey+F=0 表示圆,通过对其进行配方得: ;当 ,即 时表示圆心为(- ,- ),半径为 r= 的圆. 22 2+2-42当 D2+E2-4F=0 时,方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 表示 . 当 D2+E2-4F0)2.求圆的一般方程的方法:待定系数法 .3.求圆的一般方程需要三个条件:待定方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F0)中的 D,E,F.参考答案二、1.x 2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0三、3.不都,(x+ )2+(y+ )2= 0,D2+E2
4、-4F0,一个点(- ,- )2 2 2+2-44 ,2+2-44 22四、4.(1)(x-3) 2+y2=9 圆心(3,0) 半径 r=3(2)x2+(y+b)2=b2 圆心(0,-b) 半径 r=|b|(3)(x-a)2+(y- a)2=a2 圆心(a, a) 半径 r=|a|3 35.设所求圆的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F0)则 解得=0,1+1+=0,16+4+4+2+=0,=-8,=6,=0. 所求圆的方程为:x 2+y2-8y+6x=0圆心为(4,-3), 半径为 r=5五、6.设经过 A,B,C 三点的圆的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0,把 A(0,1),B(2,1),C(3,4)的坐标分别代入圆的方程,得 解得1+=0,5+2+=0,25+3+4+=0,=-2,=-6,=5. 经过 A,B,C 三点的圆方程为 x2+y2-2x-6y+5=0.再将点 D 的坐标(-1,2)代入上面方程的左边,得(-1) 2+22-2(-1)-62+5=0,所以点 D 也在经过 A,B,C 三点的圆上,即 A,B,C,D 这四点在同一个圆上.
