1、第三章 直线与方程3.2 直线的方程3.2.3 直线的一般式方程学习目标1.明确直线方程一般式的形式特征,了解直线与二元一次方程的关系;2.会把直线方程的一般式化为斜截式,进而求斜率和截距;3.会把直线方程的点斜式、两点式化为一般式.合作学习一、设计问题、创设情境问题 1:我们前面学习了直线的几种形式的方程 ,它们分别是什么形式?这些方程中都有几个变量,为什么? 这些方程的共同特征是什么?问题 2:平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于 x,y 的二元一次方程表示吗?问题 3:设直线 l 是平面内任意一条直线,它的方程可以怎样写出 ?由于直线 l 是任意的,其斜率一定存在吗? 应该怎样处
2、理?二、学生探索、尝试解决问题 4:二元一次方程有没有一般形式 ?能写出来吗?其中的系数 A,B 可以任意取值吗? 问题 5:方程 2x+3y+6=0 表示直线吗?它表示的是怎样的一条直线?每一个关于 x,y 的二元一次方程 Ax+By+C=0(A,B 不同时为 0)都表示一条直线吗 ?三、信息交流、揭示规律问题 6:方程 x-2y+ =0 表示的直线与方程 2x-4y+3=0 表示的直线是否相同 ?只有当32A,B,C 都确定时,方程 Ax+By+C=0 表示的直线才确定吗?四、运用规律、解决问题【例题】 把直线 l 的一般式方程 x-2y+6=0 化成斜截式 ,求出直线 l 的斜率以及它在
3、 x轴与 y 轴上的截距 ,并画出图形.问题 7:结合例题思考:二元一次方程的解和对应的直线上的点有什么关系 ?方程和直线能联系起来是谁的“功劳” ?五、变式演练、深化提高变式训练:(1)直线 l 过点 P(-6,3),且它在 x 轴上的截距是它在 y 轴上截距的 3 倍,求直线 l的方程.(2)设 P0(x0,y0)是直线 Ax+By+C=0(其中 A,B 不同时为 0)上一点.证明:这条直线的方程可以写成 A(x-x0)+B(y-y0)=0.六、信息交流、教学相长问题 8:直线的一般式方程与前面学习的其他形式的直线方程的联系与区别是什么?七、反思小结,观点提炼问题 9:(1)求直线方程应具
4、有多少个条件?求出直线方程后应该将方程化为哪种形式? (2)二元一次方程 Ax+By+C=0 描述的是数 x 和 y 之间的一种关系,而直线是几何图形,它们是如何联系起来的?这体现了什么数学思想?今后我们能用直线的方程研究直线的问题吗? 布置作业课本 P100习题 3.2 A 组第 11 题,B 组第 3,4,5 题.参考答案一、问题 1:四种;点斜式、斜截式、两点式、截距式;两个,x 和 y,因为直线的方程是描述直线上任意一点的坐标(x,y)的方程;都是关于 x 和 y 的二元一次方程.问题 2:对任意一条直线 l,在其上任取一点 P0(x0,y0),然后可以按照其斜率 k 是否存在,分两种
5、情形求其方程.当直线 l 的斜率 k 存在时,其方程为 y-y0=k(x-x0),这是关于 x,y 的二元一次方程;当直线 l 的斜率 k 不存在时,即直线 l 的倾斜角 =90时 ,直线的方程为 x-x0=0,也可以认为是关于 x,y 的二元一次方程 ,此时方程中 y 的系数为 0.由可知,平面上的任意一条直线都可以用一个关于 x,y 的二元一次方程表示.问题 3:可以在直线上任取一点 P0(x0,y0),再设其斜率为 k,然后用点斜式写出来;不一定; 按照斜率是否存在分类讨论.二、问题 4:有;二元一次方程的一般形式 Ax+By+C=0;A,B 不可以同时为零.问题 5:表示过(0,-2)
6、 且斜 为 - 的直线; 当 B0 时,方程可变形为 y=- x- ,它表示过点(0, - ),23 斜率为- 的直线 .当 B=0 时,A 一定不为 0,方程可变形为 x=- ,它表示过点(- ,0),且垂直于 x 轴的直线. 三、问题 6: 将两方程都化成斜截式后得到的方程都为 y= x+ ,因此两方程表示的直线12 34是相同( 重合) 的 .当 B0 时,方程 Ax+By+C=0 可变形为 y=- x- ,因此只需确定 两个比值即 ,能确定直线; 当 B=0 时,方程 Ax+By+C=0 可变形为 x=- ,因此只需再确定 的值即可. 四、 【例题】 解:将直线 l 的一般式化成斜截式
7、 y= x+3.12因此,直线 l 的斜率 k= ,它在 y 轴上的截距是 3.12在直线 l 的方程 x-2y+6=0 中,令 y=0,得 x=-6.即直线 l 在 x 轴上的截距是 -6.由上面可得直线 l 与 x 轴、y 轴的交点分别为 A(-6,0),B(0,3).过点 A,B 作直线,就得直线 l 的图形.问题 7: 一一对应,即二元一次方程的每一组解都可以看成平面直角坐标系中一个点的坐标,这个方程的全体解组成的集合,就是坐标满足二元一次方程的全体点的集合,这些点的集合就组成一条直线;直角坐标系 .五、 变式演练习,深化提高变式训练:(1)x+3y- 3=0 或 x+2y=0.(2)证明:因为点 P0(x0,y0)是直线 Ax+By+C=0 上一点,所以 Ax0+By0+C=0,即 C=-Ax0-By0,代入 Ax+By+C=0,得A(x-x0)+B(y-y0)=0.六、信息交流,教学相长问题 8:其他形式的方程都可以转化为一般式方程 ;其他形式的方程都不能表示与 x 轴垂直的直线,而一般式方程可以表示平面上任何位置的所有直线,也就是说它更具有一般性.七、 反思小结、观点提炼问题 9:(1)两个;一般式.(2)通过直角坐标系使得二元一次方程 Ax+By+C=0 的每一组解(x,y )与直线上的每一个点有了一一对应的关系;数形结合 ;应该可以.
