1、第三章 直线与方程3.3 直线的交点坐标与距离公式3.3.3 点到直线的距离学习目标1.理解点到直线的距离公式的推导过程;2.掌握点到直线的距离公式;3.掌握点到直线的距离公式的应用;4.会求两条平行线间的距离.合作学习一、设计问题,创设情境问题 1:已知直线 l:x+y-2=0,O 为坐标原点.问: 直线 l 上是否存在点 P,到原点 O 的距离为,若存在,这样的点有几个?若不存在,请说明理由.2二、信息交流,揭示规律问题 2:通过问题 1,我们知道点在直线外时 ,可以用点到直线的距离定量地刻画点与直线的位置关系.你能将这个问题推广到一般情形,得到点到直线的距离公式吗?大家自己提出问题,并制
2、定解决思路或方案.三、运用规律,解决问题【例 1】 求点 P0(-1,2)到下列直线的距离:(1)y=10-2x; (2)3x=2.问题 3:在公式的推导过程中, A,B 可以为零吗?我们得到的点到直线的距离公式中 A,B 是否可以为零? 【例 2】 已知点 A(1,3),B(3,1),C(-1,0),求ABC 的面积.四、变式演练,深化提高【例 3】 已知直线 l1:2x-7y-8=0,l2:6x-21y-1=0,l1与 l2是否平行?若平行,求 l1与 l2间的距离.问题 4:如何求两平行线之间的距离 ?为什么?你能解决下面的问题吗?求两条平行直线l1:Ax+By+C1=0 和 l2:Ax
3、+By+C2=0 之间的距离.五、信息交流,教学相长问题 5:点到直线的距离公式以及两条平行直线之间的距离公式的推导过程体现出了怎样的数学思想方法?六、反思小结,观点提炼问题 6:本节课我们学习了什么知识 ?布置作业课本 P109习题 3.3 A 组第 9,10 题,B 组第 2,4 题.参考答案一、问题 1:思路一:(函数思想) 设点 P(x,y)是直线 l 上任意一点 ,则 y=2-x,所以|OP|2=x2+y2=x2+(2-x)2=2x2-4x+4=2(x-1)2+22,所以|OP| .2因此, 直线 l 上到原点 O 的距离为 的点 P,仅有一个,即 P(1,1).2思路二:(转化为两
4、点间的距离)直线 l 的斜率为-1,所以过原点且与直线 l 垂直的直线方程为 y=x,与 x+y-2=0 联立,解得垂足 Q 的坐标为(1,1), 所以原点到直线 l 的距离为 .(1-0)2+(1-0)2=2思路三:(解三角形)如图,易知 OAQ=45,在 RtOAQ 中,|OA|= 2,所以|OQ|=|OA|sin OAQ=2 .22=2思路四:(等面积法)如图,易知 |OA|=|OB|=2,所以|AB|=2 ,2|OQ|= .| =2二、问题 2:将问题推广到一般情形 :求点 P0(x0,y0)到直线 l:Ax+By+C=0 距离.根据问题 1 的求解,制定以下思路:思路一(函数思想)步
5、骤:设出直线 l 上任意一点 Q 的坐标;用两点间距离公式表示|P 0Q|,并借助直线方程消元;将|P 0Q|关于横坐标 x 的二次函数后求最值 .思路二(转化为两点间距离)的步骤:确定直线 l 的斜率 k(k0);求与 l 垂直的直线 l的斜率 k=- ;求过点 P0垂直于 l 的1直线 l的方程 ;求 l 与 l的交点 Q;求点 P0与点 Q 的距离 ,得到点 P0到 l 的距离 d=|PQ|.思路三(解三角形)的步骤( 如图)过点 P0作 x 轴,y 轴的垂线交 l 于点 S,R;用 x0,y0表示点 R,S 的坐标;求出|P0R|,|P0S|;利用勾股定理求出|RS|,并计算 sinP
6、0SR= ;解 P0SQ 得|0|P0Q|=|P0S|sinP0SR.思路四(等面积法)的步骤( 如图):过点 P0作 x 轴、y 轴的垂线交 l 于点 R,S;用 x0,y0表示点 R,S 的坐标;求出|P0R|,|P0S|;利用勾股定理求出|RS|;根据面积相等,求出|P 0Q|= .|0|0|推导公式:过点 P0作 x 轴 ,y 轴的垂线交 l 于点 R,S;则直线 P0R 的方程为 y=y0,R 的坐标为(- ,y0);0+同理 S 的坐标为(x 0,- ).0+于是有|P0R|= ,|P0S|= ,所以|0+0+| |0+0+|RS|= .|0+0+| 2+2|由三角形的面积公式可得
7、|P0Q|= .|0|0| =|0+0+|2+2三、 【例 1】 解:(1)先将方程 y=10-2x 化为一般式为 2x+y-10=0,由点到直线的距离公式得d= =2 .|2(-1)+2-10|22+12 5(2)d= .|3(-1)-2|32+02=53问题 3:不能;可以,一方面 A2+B20,另一方面,可以验证,当 A=0 或 B=0 时,公式仍然成立.【例 2】 解:设 AB 边上的高为 h,则 SABC= |AB|h.12|AB|= =2 .(3-1)2+(1-3)2 2AB 边上的高 h 就是点 C 到 AB 的距离.AB 边所在的直线方程为 ,-31-3=-13-1即 x+y-
8、4=0.点 C(-1,0)到 x+y-4=0 的距离 h= .|-1+0-4|12+12=52因此, S ABC= 2 =5.12 252四、 【例 3】 解:l 1的斜率 k1= ,l2的斜率 k2= .27 621=27l1的纵截距 b1=- ,l2的纵截距 b2=- .87 121因为 k1=k2,b1b2,所以 l1l2.求得 l1与 x 的交点 A 的坐标为(4,0).点 A 到直线 l2的距离 d= .|64-210-1|62+212 =2315953所以 l1与 l2间的距离 .2315953问题 4:可以求一条直线上任意一点到另一条直线的距离 ;两条平行线之间的距离是指夹在两条平行线间的公垂线段的长,而所有公垂线段长度都相等.当 A0 时,求得 l1与 x 轴的交点 A 的坐标为(- ,0).1点 A 到直线 l2的距离 d= .|-1+0+2|2+2 =|2-1|2+2当 A=0 时,经验证上述公式也成立.五、问题 5:体现了化归转化的数学思想和数形结合的数学思想.六、问题 6:点到直线的距离公式的推导和简单应用 ;两条平行直线间的距离 .
