1、第一章 解三角形1.2 应用举例1.2 应用举例( 第 2 课时)学习目标1.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关底部不可到达的物体高度测量的问题.2.本节课是解三角形应用举例的延伸.可以在温故知新中学会正确识图、画图、想图,逐步构建知识框架.3.进一步提升学习数学、应用数学的意识及观察、归纳、类比、概括的能力.合作学习一、设计问题,创设情境塞乐斯生于公元前 624 年,是古希腊第一位闻名世界的大数学家.他原是一位很精明的商人,靠卖橄榄油积累了相当财富后,塞乐斯便专心从事科学研究和旅行.他游历埃及时,曾用一种巧妙的方法算出了金字塔的高度,使古埃及国王阿美西斯钦羡不已.塞乐斯的方法
2、既巧妙又简单:选一个天气晴朗的日子,在金字塔边竖立一根小木棍,然后观察木棍阴影的长度变化,等到阴影长度恰好等于木棍长度时,赶紧测量金字塔影的长度,因为在这一时刻,金字塔的高度也恰好与塔影长度相等.设问:现实生活中,人们是怎样测量底部不可到达的建筑物的高度的呢?又是怎样在水平飞行的飞机上测量飞机下方山顶的海拔高度的呢?今天我们就来共同探讨这方面的问题.二、信息交流,揭示规律思考:解决一些有关底部不可到达的物体高度测量的问题和解决距离问题是否具有一定的相似性?三、运用规律,解决问题【例 1】 AB 是底部 B 不可到达的一个建筑物,A 为建筑物的最高点,设计一种测量建筑物高度 AB 的方法 .问题
3、 1:这个建筑物就不好到达它的底部去测量 ,如果好到达的话,那直接用尺子去量一下就行了,那么大家思考一下如何去测量这个建筑物的高呢?问题 2:求 AB 长的关键是先求 AE,那如何求 AE?问题 3:通过以上讨论问题就转化成如何去求 CA 的长?问题 4:通过这道题我们是不是可以得到一般的求解这种建筑物的高的方法呢?【例 2】如图,在山顶铁塔上 B 处测得地面上一点 A 的俯角 =5440,在塔底 C 处测得A 处的俯角 =501.已知铁塔 BC 部分的高为 27.3m,求出山高 CD(精确到 1m).问题 5:根据已知条件,大家能设计出解题方案吗 ?若在ABD 中求 CD 的长,则关键需要求
4、出哪条边呢?四、变式训练,深化提高【例 3】如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到 A 处时测得公路南侧远处一山顶 D 在西偏北 15的方向上,行驶 5km 后到达 B 处,测得此山顶在西偏北 25的方向上,仰角为 8,求此山的高度 CD.问题 6:欲求出 CD,大家思考在哪个三角形中研究比较适合呢?问题 7:在BCD 中,已知 BD 或 BC 都可求出 CD,根据条件,易计算出哪条边的长?练习:用同样高度的两个测角仪 AB 和 CD 同时望见气球 E 在它们的正西方向的上空,分别测得气球的仰角 和 ,已知 BD 间的距离为 a,测角仪的高度为 b,求气球的高度.五、限时训练1.从 A
5、 处望 B 处的仰角为 ,从 B 处望 A 处的仰角为 ,则 , 的关系为( )A. B.+=90C.= D.+=1802.如图,三点 B,C,D 在地面的同一直线上,DC=a,在 D,C 两点测得点 A 的仰角分别为,(),则点 A 离地面的高为( )A. B.(-) (-)C. D.(-) (-)3.在 200m 的山顶上,测得山下一塔塔顶与塔底的俯角分别为 30,60,则塔高为( )A. m B. m C. m D. m4003 40033 20033 20034.在某点 B 处测得建筑物 AE 的顶端 A 的仰角为 ,沿 BE 方向前进 30m 至点 C 处测得顶端 A 的仰角为 2,
6、再继续前进 10 m 至 D 点,测得顶端 A 的仰角为 4,则 = . 35.飞机的航线和山顶在同一个铅直平面内,已知飞机的高度为海拔 20250m,速度为180km/h,飞行员先看到山顶的俯角为 1830,经过 120 秒后又看到山顶的俯角为 81,求山顶的海拔高度(精确到 1m).六、反思小结,观点提炼解三角形应用题的一般步骤:参 考答案三、运用规律,解决问题【例 1】解:选择一条水平基线 HG,使 H,G,B 三点在同一条直线上.由在 H,G 两点用测角仪器测得由 C,D 两点观察 A 的仰角分别是 ,CD=a,测角仪器的高是 h,那么,在 ACD 中,根据正弦定理可得 AC= ,AB
7、=AE+h=ACsin+h= +h.(-) (-)问题 1:要求建筑物 AB 的高,只要能把 AE 的长求出来,然后再加上测角仪的高度 EB 的长就行了.问题 2:由解直角三角形的知识 ,在 ADC 中,如能求出 C 点到建筑物顶部 A 的距离 CA,再测出由 C 点观察 A 的仰角 ,就可以计算出 AE 的长.问题 3:为了求 CA 的长,应该把 CA 放到 DCA 中,由于基线 DC 可以测量,且 也可以测量,这样在DCA 中就已知两角和一边 ,所以由正弦定理可以解出 CA 的长.问题 4:要测量某一高度 AB,只要在地面某一条过 AB 底端的直线上取两点 D,C,量出CD=a 的长并在
8、C,D 两点测出到 AB 顶端的仰角 ,则高度 AB= +h,其中 h 为测角仪(-)的高.【例 2】解:在ABC 中,BCA=90+ ,ABC=90-,BAC=-,BAD=. 根据正弦定理,(-)= (90+)所以 AB= .(90+)(-) =(-)解 RtABD,得 BD=ABsinBAD= .(-)把测量数据代入上式,得BD=27.35015440(5440-501)=27.35015440439177.4(m)CD=BD-BC177.4-27.3=150(m).答:山的高度约为 150 米.问题 5:需求出 BD 边,可首先求出 AB 边,再根据BAD= 求得.四、变式训练,深化提高
9、【例 3】解:在ABC 中,A=15,C= 25-15=10,根据正弦定理,=BC= 7.4524(km).=51510CD=BCtanDBC BCtan 81047(m).答:山的高度约为 1047 米.问题 6:在BCD 中.问题 7:BC 边.练习:解:AC=BD=a,在ACE 中 ,ACE=,AEC=- ,根据正弦定理,得AE= .在 RtAEG 中,EG=AEsin = .(-) (-)所以 EF=EG+b= +b.(-)答:气球的高度是 +b.(-)五、限时训练1.C 2.A 3.A 4.155.解:设飞行员的两次观测点依次为 A 和 B,山顶为 M,山顶到直线 AB 的距离为 M
10、D.如图,在ABM 中,由已知,得A=1830 ,ABM= 180-81=99,AMB= 81-1830=6230.又 AB=180 =6(km),1206060根据正弦定理,可得 BM= ,618306230进而求得 MD= ,所以 MD2120(m),61830816230可得山顶的海拔高度为 20250-2120=18130(m).六、反思小结,观点提炼(1)分析:理解题意,分清已知与未知,画出示意图;(2)建模:根据已知条件与求解目标,把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中,建立一个解三角形的数学模型;(3)求解:利用正弦定理或余弦定理有序地解三角形,求得数学模型的解;(4)检验:检验上述所求的解是否符合实际意义,从而得出实际问题的解.
