1、第一章 解三角形1.2 应用举例1.2 应用举例( 第 3 课时)学习目标1.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关计算角度的实际问题.2.本节课是在学习了相关内容后的第三节课,在对解法有了基本了解的基础上,通过综合训练强化相应的能力.3.提升提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力,并在学习过程中发扬探索精神.合作学习一、设计问题,创设情境提问:前面我们学习了如何测量距离和高度 ,这些实际上都可转化为已知三角形的一些边和角求其余边的问题.然而在实际的航海生活中,人们又会遇到新的问题,在浩瀚无垠的海面上如何确保轮船不迷失方向,保持一定的航速和航向呢?今天我们接着探讨这方面的测量问
2、题.二、信息交流,揭示规律在实际的生活中,人们又会遇到新的问题,仍然需要用我们学过的解三角形的知识来解决,大家身边有什么例子吗?三、运用规律,解决问题【例 1】如图,一艘海轮从 A 出发,沿北偏东 75的方向航行 67.5n mile 后到达海岛 B,然后从 B 出发,沿北偏东 32的方向航行 54.0n mile 后到达海岛 C.如果下次航行直接从 A 出发到达 C,此船应该沿怎样的方向航行 ,需要航行多少距离?(角度精确到 0.1,距离精确到 0.01n mile)问题 1:要想解决这个问题,首先应该搞懂 “北偏东 75的方向”这指的是什么?【例 2】某巡逻艇在 A 处发现北偏东 45相距
3、 9 海里的 C 处有一艘走私船,正沿南偏东75的方向以 10 海里/时的速度向我海岸行驶,巡逻艇立即以 14 海里/时的速度沿着直线方向追去,问巡逻艇应该沿什么方向去追?需要多长时间才追赶上该走私船?问题 2:你能否根据题意画出方位图 ?问题 3:以上是用正弦定理、余弦定理来解决的 ,我们能不能都用余弦定理来解决呢?四、变式训练,深化提高【例 3】如图,海中小岛 A 周围 38 海里内有暗礁,船正向南航行,在 B 处测得小岛 A 在船的南偏东 30,航行 30 海里到 C 处,在 C 处测得小岛 A 在船的南偏东 45,如果此船不改变航向,继续向南航行,有无触礁的危险?练习:如图,有两条相交
4、成 60角的直线 XX,YY,交点是 O,甲、乙分别在 OX,OY 上,起初甲在离 O 点 3 千米的 A 点,乙在离 O 点 1 千米的 B 点,后来两人同时以每小时 4 千米的速度,甲沿 XX方向 ,乙沿 YY 方向步行.(1)起初,两人的距离是多少?(2)用包含 t 的式子表示 t 小时后两人的距离;(3)什么时候两人的距离最短?五、限时训练1.在某电场中,一个粒子的受力情况如图所示,则粒子的运动方向为( )A.南偏西B.北偏西C.北偏东D.南偏东2.如图,位于 A 处的信息中心获悉: 在其正东方向相距 40 海里的 B 处有一艘渔船遇险,在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西
5、 30、相距 20 海里的 C 处的乙船,现乙船朝北偏东 的方向沿直线 CB 前往 B 处救援,则 cos= . 3.一辆汽车从 A 点出发,沿一条笔直的海岸公路以 100km/h 向东匀速行驶,汽车开动时,在点 A 的南偏东方向距点 A 500km 的 B 处的海上有一快艇,此时,快艇所在 B 处距海岸300km.现快艇上有一快递要送给汽车的司机 ,求快艇以最小速度行驶时的行驶方向与 AB 所成的角,并求出快艇的最小速度.六、反思小结,观点提炼解三角形应用题的一般步骤:参考答案三、运用规律,解决问题【例 1】解:在ABC 中,ABC=180-75+ 32=137,根据余弦定理,AC= 112
6、+2-2=67.52+54.02-267.554.01373.15(n mile),根据正弦定理, ,= sinCAB= 0.3255,=54.0137113.15所以CAB19.0,75 -CAB=56.0 .答:此船应该沿北偏东 56.0的方向航行,需要航行 113.15n mile.问题 1:这是方位角,这实际上就是解三角形 ,由方位角的概念可知,首先根据三角形的内角和定理求出 AC 边所对的角 ABC,即可用余弦定理算出 AC 边,再根据正弦定理算出 AC边和 AB 边的夹角 CAB ,就可以知道 AC 的方向和路程.【例 2】解:如图,设该巡逻艇沿 AB 方向经过 x 小时后在 B
7、处追上走私船,则CB=10x,AB=14x,AC=9,ACB= 75+45=120,则由余弦定理,可得(14x)2=92+(10x)2-2910xcos120,化简得 32x2-30x-27=0,即 x= 或 x=- (舍去).32 916所以 BC=10x=15,AB=14x=21.又因为 sinBAC= ,120=152132=5314所以BAC=3813,或BAC= 14147(钝角不合题意,舍去) .所以 3813+45=8313.答:巡逻艇应沿北偏东 8313的方向追赶,经过 1.5 小时追赶上该走私船.问题 2:在解三角形中有很多问题都要画出平面示意图 ,图画的好坏有时也会影响到解
8、题,这是建立数学模型的一个重要方面.问题 3:同例 2 中解得 BC=15,AB=21,在ABC 中,由余弦定理,得cosCAB= 0.7857,2+2-22=81+441-2252921=1114所以CAB3813,3813+45= 8313.所以巡逻艇应沿北偏东 8313的方向追赶,经过 1.5 小时追赶上该走私船.四、变式训练,深化提高【例 3】解:在ABC 中,BC=30,B= 30,ACB=180 -45=135,则 A=15.由正弦定理知 ,即 .= 3015=30所以 AC= =60cos15=15 +15 .303015 6 2所以 A 到 BC 所在直线的距离为ACsin45
9、=(15 +15 ) =15( +1)40.9838(海里).6 222 3答:不改变航向,继续向南航行 ,无触礁的危险.练习:解:(1)因为甲、乙两人起初的位置是 A,B,则 AB2=OA2+OB2-2OAOBcos60=32+12-231 =7,12所以起初,两人的距离是 千米.7(2)设甲、乙两人 t 小时后的位置分别是 P,Q,则 AP=4t,BQ=4t,当 0t 时,PQ 2=(3-4t)2+(1+4t)2-2(3-4t)(1+4t)cos60=48t2-24t+7;34当 t 时,PQ 2=(4t-3)2+(1+4t)2-2(4t-3)(1+4t)cos120=48t2-24t+7
10、,34所以,PQ=48t 2-24t+7.(3)PQ2=48t2-24t+7=48 +4,(-14)2所以当 t= 时,即在第 15 分钟末,PQ 最短.14答:在第 15 分钟末,两人的距离最短 .五、限时训练1.D2. 2114解析:如图所示,在ABC 中,AB=40,AC= 20,BAC= 120,由余弦定理,知 BC2=AB2+AC2-2ABACcos120=2800,即得 BC=20 (海里).7由正弦定理,= 所以 sinACB= sinBAC= . 217由BAC=120,知ACB 为锐角 ,cosACB= .277由 =ACB+30,则 cos=cos(ACB+30)= cos
11、ACBcos30-sinACBsin30= .21143.分析:设快艇在 B 处以 v km/h 的速度出发,在 ABC 中,由正弦定理 求= 解.解:如图,设快艇在 B 处以 v km/h 的速度出发,沿 BC 方向航行 t 小时与汽车相遇(在 C 点).在ABC 中,AB=500km,BQ=300km,AC=100t ,BC=vt.则 sinBAC= .=35在ABC 中,由正弦定理得,= 即 ,35=100则 v= 60,当且仅当 ABC=90时等号成立.60故快艇最小速度为 60km/h 且行驶方向与 AB 成直角.六、反思小结,观点提炼根据题意作出示意图;明确所涉及的三角形,搞清已知和未知;选用合适的定理进行求解;给出答案.
