1、2018 年甘肃省河西五市部分普通高中高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的1 （5 分）设全集 UR，A x|x22x0， ，则 A UB（ ）A （2，+） B （，0）（2，+）C （，1）（2，+ ） D （， 0）2 （5 分）已知复数 （i 是虚数单位） ，则 （ ）A B C D3 （5 分）已知向量 ，若 ，则 （ ）A4 B3 C2 D14 （5 分）下列有关命题的说法正确的是（ ）A命题“若 x21，则 x1”的否命题为：“若 x21，则 x1”
2、B “x 1” 是“x 25x60”的必要不充分条件C命题“xR，使得 x2+x+10”的否定是：“ xR，均有 x2+x+10”D命题“若 xy，则 sinx siny”的逆否命题为真命题5 （5 分）如图所示的程序框图，程序运行时，若输入的 S12，则输出的 S 的值为（ ）第 2 页（共 27 页）A4 B5 C8 D96 （5 分）某学校为了更好的培养尖子生，使其全面发展，决定由 3 名教师对 5 个尖子生进行“包教” ，要求每名教师的“包教”学生不超过 2 人，则不同的“包教”方案有（ ）A60 B90 C150 D1207 （5 分）如图，网格纸上小正方形的
3、边长为 1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A B C D8 （5 分）若（x+ +1） n 的展开式中各项的系数之和为 81，则分别在区间0，和0 ， 内任取两个实数 x，y，满足 ysinx 的概率为（ ）A1 B1 C1 D9 （5 分）已知函数 的部分图象如图第 3 页（共 27 页）所示，EFG 是正三角形，为了得到 的图象，只需将 f（x）的图象（ ）A向左平移 个单位长度 B向右平移 个单位长度C向左平移 1 个单位长度 D向右平移 1 个单位长度10 （5 分） 九章算术中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑若三棱
4、锥PABC 为鳖臑， PA平面 ABC，PA AB2，AC 4，三棱锥 PABC 的四个顶点都在球 O 的球面上，则球 O 的表面积为（ ）A8 B12 C20 D2411 （5 分）直线 y2b 与双曲线 （a0，b0）的左、右两支分别交于 B，C两点，A 为右顶点，O 为坐标原点，若 AOCBOC ，则该双曲线的离心率为（ ）A B C D12 （5 分）已知定义在 R 上的函数 yf（x）对任意的 x 都满足 f（x+2）f（x） ，当1x 1 时， f（x ）sin x，若函数 g（x）f（x）log a|x|至少 6 个零点，则 a 的取值范围是（
5、;）A （0， （5，+） B （0， ）5，+）C （ ， （5，7） D （ ， ）5 ，7）二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分13 （5 分）在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边长分别为a，b，c asin BcosC+csinBcosA 且 ab，则B 14 （5 分）甲、乙、丙三名同学中只有一人考了满分，当他们被问到谁考了满分时，甲说：丙没有考满分；第 4 页（共 27 页）乙说：是我考的；丙说：甲说真话事实证明：在这三名同学中，只有一人说的是假话，那么得满分的同学是 15 （5 分）已知点 P（x ，y ）满足
6、，过点 P 的直线与圆 x2+y250 相交于 A，B两点，则| AB|的最小值为 16 （5 分）设函数 与 g（x）a 2lnx+b 有公共点，且在公共点处的切线方程相同，则实数 b 的最大值为 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17 （12 分）设数列a n的前 n 项和 Sn2a na 1，且 a1， a2+1，a 3 成等差数列（1）求数列a n的通项公式；（2）记数列 的前 n 项和 Tn，求得 成立的 n 的最小值18 （12 分）某校高一年级学生全部参加了体育科目的达标测试，现从中随机抽取 40
7、 名学生的测试成绩，整理数据并按分数段40，50） ，50 ， 60） ，60，70） ，70，80） ，80，90 ） ，90，100 进行分组，假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，则得到体育成绩的折线图（如图） （）体育成绩大于或等于 70 分的学生常被称为“体育良好” 已知该校高一年级有1000 名学生，试估计高一年级中“体育良好”的学生人数；（）现从体育成绩在60， 70）和80 ，90）的样本学生中随机抽取 2 人，求在抽取的2 名学生中，体育成绩在60， 70）的学生人数 X 的分布列及数学期望19 （12 分）如图，矩形 ACEF 和等边三角形 ABC 中，AC2，C
8、E1，平面 ABC平面ACEF第 5 页（共 27 页）（1）在 EF 上找一点 M，使 BMAC ，并说明理由；（2）在（1）的条件下，求平面 ABM 与平面 CBE 所成锐二面角余弦值20 （12 分）已知椭圆 C： 1（ab0）的离心率为 ，以椭圆长、短轴四个端点为顶点的四边形的面积为 4 （）求椭圆 C 的方程；（）如图所示，记椭圆的左、右顶点分别为 A、B，当动点 M 在定直线 x4 上运动时，直线 AM、BM 分别交椭圆于 P、Q 两点，求四边形 APBQ 面积的最大值21 （12 分）已知 f（x ）xlnx+mx，且曲线 yf（x ）在点（ 1，f（1） ）处的切线斜率为1（1
9、）求实数 m 的值；（2）设 g（x）f（x） x2x+a（aR）在其定义域内有两个不同的极值点x1，x 2，且 x1 x2，已知 0，若不等式 e1+x 1x2恒成立，求 的范围请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分选修 4-4：坐标系与参数方程（本小题满分 10 分）22 （10 分）已知平面直角坐标系中，曲线 C：x 2+y26x8y0，直线 ，直线 ，以坐标原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系（1）写出曲线 C 的参数方程以及直线 l1，l 2 的极坐标方程；（2）若直线 l1 与曲线 C 分别交于 O，A 两点，直线 l2 与曲线 C
10、分别交于 O，B 两点，第 6 页（共 27 页）求AOB 的面积选修 4-5：不等式选讲 （本小题满分 0 分）23已知函数 f（x ）2x 2，g（x）| xa|（1）若 a1，解不等式 f（ x）+g（x）3；（2）若不等式 f（x ）g（x）至少有一个负数解，求实数 a 的取值范围第 7 页（共 27 页）2018 年甘肃省河西五市部分普通高中高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的1 （5 分）设全集 UR，A x|x22x0， ，则 A UB（ ）A （2，+） B （，0
11、）（2，+）C （，1）（2，+ ） D （， 0）【分析】可解出 Ax| x0，或 x2 ，Bx|x 1 ，然后进行并集、补集的运算即可【解答】解：Ax| x0，或 x2 ，Bx|x 1 ； UBx| x1；A UBx |x1，或 x2（，1）（2，+ ） 故选：C【点评】考查一元二次不等式的解法，描述法、区间表示集合的概念，以及并集和补集的运算2 （5 分）已知复数 （i 是虚数单位） ，则 （ ）A B C D【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简求得 z，再由共轭复数的概念得答案案【解答】解： ， ，故选：B【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础
12、题3 （5 分）已知向量 ，若 ，则 （ ）A4 B3 C2 D1【分析】直接利用向量的数量积化简求解即可第 8 页（共 27 页）【解答】解： ，（2+3）（1）30，3故选：B【点评】本题考查向量的数量积的应用，向量的垂直条件的应用，是基础题4 （5 分）下列有关命题的说法正确的是（ ）A命题“若 x21，则 x1”的否命题为：“若 x21，则 x1”B “x 1” 是“x 25x60”的必要不充分条件C命题“xR，使得 x2+x+10”的否定是：“ xR，均有 x2+x+10”D命题“若 xy，则 sinx siny”的逆否命题为真命题【分析】对于 A：因为否命题
13、是条件和结果都做否定，即“若 x21，则 x1” ，故错误对于 B：因为 x1x 25x 60，应为充分条件，故错误对于 C：因为命题的否定形式只否定结果，应为 xR，均有 x2+x+10故错误由排除法即可得到答案【解答】解：对于 A：命题“若 x21，则 x1”的否命题为：“若 x21，则x1” 因为否命题应为“若 x21，则 x1” ，故错误对于 B：“x 1”是“x 2 5x60”的必要不充分条件因为x1x 25x 60，应为充分条件，故错误对于 C：命题“x R，使得 x2+x+10”的否定是：“x R，均有 x2+x+10” 因为命题的否定应为x R，均有 x2+x+10故错误由排除
14、法得到 D 正确故选：D【点评】此题主要考查命题的否定形式，以及必要条件、充分条件与充要条件的判断，对于命题的否命题和否定形式要注意区分，是易错点5 （5 分）如图所示的程序框图，程序运行时，若输入的 S12，则输出的 S 的值为（ ）第 9 页（共 27 页）A4 B5 C8 D9【分析】关键框图的流程依次计算程序运行的结果，直到不满足条件 Sn，跳出循环，确定输出 S 的值【解答】解：由程序框图知：第一次循环 S12+210，n2；第二次循环 S10+46，n3；第三次循环 S6+60，n4；第四次循环 S0+88，n5不满足条件 Sn，跳出循环，输出 S8故选：C【点评】本题
15、考查了循环结构的程序框图，关键框图的流程依次计算程序运行的结果是解答此类问题的常用方法6 （5 分）某学校为了更好的培养尖子生，使其全面发展，决定由 3 名教师对 5 个尖子生进行“包教” ，要求每名教师的“包教”学生不超过 2 人，则不同的“包教”方案有（ ）A60 B90 C150 D120【分析】先分组 5 个尖子生分为（2，2，1） ，再分配即可【解答】解：5 个尖子生分为（2，2，1） ，故其分组的方法有 15 种，第 10 页（共 27 页）再分配给 3 名教师，共有 15A3390 种，故选：B【点评】本题主要考查分组分配问题，关键是掌握分组的方法，属基本题7 （5
16、分）如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A B C D【分析】判断三视图对应的解得组合体的形状，利用三视图数据求解几何体的体积即可【解答】解：该几何体可以看成：在一个半球上叠加一个 圆锥，然后挖掉一个相同的 圆锥，所以该几何体的体积和半球的体积相等，因此 ，故选：A【点评】本题考查简单几何体的三视图的应用，考查空间想象能力以及计算能力8 （5 分）若（x+ +1） n 的展开式中各项的系数之和为 81，则分别在区间0，和0 ， 内任取两个实数 x，y，满足 ysinx 的概率为（ ）A1 B1 C1 D【分析】根据几
17、何概型的概率公式，求出对应事件对应的平面区域的面积，进行求解即可【解答】解：由题意知，令 x1，得到 3n81，解得 n4，0x，0y1作出对应的图象如图所示：第 11 页（共 27 页）则此时对应的面积 S1 ，满足 ysin x 的点构成区域的面积为：S sinxdx cos+cos02，则满足 ysin x 的概率为 故选：B【点评】本题主要考查几何概型的概率的计算，根据积分以及线性规划的知识作出对应的图象，求出对应的面积是解决本题的关键9 （5 分）已知函数 的部分图象如图所示，EFG 是正三角形，为了得到 的图象，只需将 f（x）的图象（ ）A向左平移 个单位长度 B向右
18、平移 个单位长度C向左平移 1 个单位长度 D向右平移 1 个单位长度【分析】利用二倍角公式化简，根据，EFG 是正三角形，可得的长度，即可求解根据三角函数的平移变换规律可得答案【解答】解已知函数 sin（） ，EFG 是正三角形，sin GF 即 GF2第 12 页（共 27 页）周期 T4那么 f（x） sin（ ） sin （x ）得到 sin（ x ） sin （x ）的图象，只需 x 向左平移 1 个单位长度即可故选：C【点评】本题主要考查由函数 yAsin （ x+）的部分图象求解析式，函数yAsin（ x+）的图象变换规律，属于基础题10 （5 分） 九章算术中，将四个面都为直角
19、三角形的三棱锥称之为鳖臑若三棱锥PABC 为鳖臑， PA平面 ABC，PA AB2，AC 4，三棱锥 PABC 的四个顶点都在球 O 的球面上，则球 O 的表面积为（ ）A8 B12 C20 D24【分析】由题意，PC 为球 O 的直径，求出 PC，可得球 O 的半径，即可求出球 O 的表面积【解答】解：由题意，PC 为球 O 的直径，PC 2 ，球 O 的半径为 ，球 O 的表面积为 4520，故选：C【点评】本题考查球 O 的表面积，考查学生的计算能力，求出球的半径是关键属基础题11 （5 分）直线 y2b 与双曲线 （a0，b0）的左、右两支分别交于 B，C两点，A 为右顶点
20、，O 为坐标原点，若 AOCBOC ，则该双曲线的离心率为（ ）A B C D【分析】根据图形对称性即可求出AOC60，求出 C 点坐标即可得出 a，b 的关系，从而得出双曲线的离心率【解答】解：设直线 y2b 与 y 轴交于 D 点，由对称性可知BOD COD，又AOCBOC，第 13 页（共 27 页）AOC2COD，又AOC+COD 90，AOC60，把 y2b 代入 可得 x a，即 C（ a，2b） ， tan60 ，即 b2 ，e 故选：D【点评】本题考查了双曲线的性质，属于中档题12 （5 分）已知定义在 R 上的函数 yf（x）对任意的 x 都满足 f（x+2）f（
21、x） ，当1x 1 时， f（x ）sin x，若函数 g（x）f（x）log a|x|至少 6 个零点，则 a 的取值范围是（ ）A （0， （5，+） B （0， ）5，+）C （ ， （5，7） D （ ， ）5 ，7）【分析】分 a1 与 0a1 讨论，结合题意作两个函数的图象，利用数形结合求解即可【解答】解：当 a1 时，作函数 f（x ）与函数 ylog a|x|的图象如下，第 14 页（共 27 页），结合图象可知，故 a5；当 0a1 时，作函数 f（x ）与函数 ylog a|x|的图象如下，结合图象可知，故 0a 故选：A【点评】本题考查了函数的图象的作法及应用
22、，同时考查了分类讨论的思想应用二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分13 （5 分）在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边长分别为第 15 页（共 27 页）a，b，casinBcos C+csinBcosA 且 ab，则B 30 【分析】利用正弦定理化简已知等式，整理后求出 sinB 的值，由 a 大于 b 得到 A 大于B，利用特殊角的三角函数值即可求出 B 的度数【解答】解：利用正弦定理化简得：sinAsin BcosC+sinCsinBcosA sinB，sinB0，sinAcosC+cosAsinCsin （A+C）sinB ，ab，AB，B30故答案为：30【点评】此题考查
23、了正弦定理，两角和与差的正弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键14 （5 分）甲、乙、丙三名同学中只有一人考了满分，当他们被问到谁考了满分时，甲说：丙没有考满分；乙说：是我考的；丙说：甲说真话事实证明：在这三名同学中，只有一人说的是假话，那么得满分的同学是 甲 【分析】利用反证法，即可得出结论【解答】解：假设甲说的是假话，即丙考满分，则乙也是假话，不成立；假设乙说的是假话，即乙没有考满分，又丙没有考满分，故甲考满分；故答案为：甲【点评】本题考查进行简单的合情推理，考查学生分析解决问题的能力，比较基础15 （5 分）已知点 P（x ，y ）满足 ，过点 P 的直线与
24、圆 x2+y250 相交于 A，B两点，则| AB|的最小值为 2 【分析】由约束条件作出可行域，求出可行域内到原点距离最远的点，然后结合弦心距、圆的半径及弦长间的关系得答案【解答】解：由约束条件 作出可行域如图，第 16 页（共 27 页）联立 ，解得 A（2，5） 由图可知，可行域内的点中，A 1 到原点的距离最大，为 ，|AB|的最小值为 2 故答案为： 【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，训练了直线与圆位置关系的应用，是中档题16 （5 分）设函数 与 g（x）a 2lnx+b 有公共点，且在公共点处的切线方程相同，则实数 b 的最大
25、值为 【分析】设公共点坐标为（x 0，y 0） ，求出两个函数的导数，利用 f'（x 0）g'（x 0） ，推出 ，然后构造函数，利用导函数单调性求解函数的最值即可【解答】解：设公共点坐标为（x 0，y 0） ，则 ，所以有 f'（x 0）g'（x 0） ，即 ，解出 x0a（ 舍去） ，又 y0f（x 0）g（x 0） ，所以有 ，故 ，所以有 ，对 b 求导有 b'2a（1+lna ） ，故 b 关于 a 的函数在 为增函数，在 为减函数，所以当 时 b 有最大值 故答案为： 第 17 页（共 27 页）【点评】本题考查函数
26、的导数的应用，切线方程以及函数的单调性、最值的求法，考查计算能力三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17 （12 分）设数列a n的前 n 项和 Sn2a na 1，且 a1， a2+1，a 3 成等差数列（1）求数列a n的通项公式；（2）记数列 的前 n 项和 Tn，求得 成立的 n 的最小值【分析】 （1）由已知 Sn2a na 1，有 anS nS n1 2a n2a n1 （n1） ，得到an2a n1 （n1） 结合 a1，a 2+1，a 3 成等差数列列式求得 a12再由等比数列的通项公式求数列a n的通项公式；（2）由（1）得 利用等比数列的前 n 项和求得 Tn
27、，代入 ，去绝对值后求解指数不等式得答案【解答】解：（1）由已知 Sn2a na 1，有 anS nS n1 2a n2a n1 （n1） ，即 an2a n1 （n1） 从而 a22a 1，a 34a 1又a 1，a 2+1，a 3 成等差数列，即 a1+a32（a 2+1） a 1+4a12（2a 1+1） ，解得 a12数列a n是首项为 2，公比为 2 的等比数列故 ；（2）由（1）得 由 ，得 ，即 2n10002 9512100010242 10，n10于是，使 成立的 n 的最小值为 10【点评】本题考查等差数列的性质，考查等比数列前 n 项和的求法，训练了指数不等式第 18 页
28、（共 27 页）的解法，是中档题18 （12 分）某校高一年级学生全部参加了体育科目的达标测试，现从中随机抽取 40 名学生的测试成绩，整理数据并按分数段40，50） ，50 ， 60） ，60，70） ，70，80） ，80，90 ） ，90，100 进行分组，假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，则得到体育成绩的折线图（如图） （）体育成绩大于或等于 70 分的学生常被称为“体育良好” 已知该校高一年级有1000 名学生，试估计高一年级中“体育良好”的学生人数；（）现从体育成绩在60， 70）和80 ，90）的样本学生中随机抽取 2 人，求在抽取的2 名学生中，体育成绩在60，
29、70）的学生人数 X 的分布列及数学期望【分析】 （）由折线图知，样本中体育成绩大于或等于 70 分的学生有 30 人，由此能求出该校高一年级学生中， “体育良好”的学生人数（）由题意 X 的可能取值为 0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出 X 的分布列和数学期望【解答】解：（）由折线图知，样本中体育成绩大于或等于 70 分的学生有 30 人所以该校高一年级学生中， “体育良好”的学生人数大约为：1000 750人（5 分）（）体育成绩在60，70）和 80，90）的样本学生中各有学生人数为 2 人和 3 人，现从体育成绩在60，70）和 80，90）的样本学生中随机抽取 2 人，由题意
30、 X 的可能取值为 0，1，2，P（X0） ，第 19 页（共 27 页）P（X1） ，P（X2） ，X 的分布列为：X 0 1 2PE（X） （12 分）【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列的数学期望的求法，考查折线图、古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题19 （12 分）如图，矩形 ACEF 和等边三角形 ABC 中，AC2，CE1，平面 ABC平面ACEF（1）在 EF 上找一点 M，使 BMAC ，并说明理由；（2）在（1）的条件下，求平面 ABM 与平面 CBE 所成锐二面角余弦值【分析】 （1）分别取 AC、EF 的中点 O
31、、M，连接 OM，推导出 ACBO ，ACOM，从而 AC面 BOM，由此能证明 BMAC（2）由 OA，OB，OM 两两互相垂直，建立空间直角坐标系 Oxyz ，由此能求出平面MAB 与平面 BCE 所成锐二面角的余弦值【解答】解：（1）M 为线段 EF 的中点，理由如下：分别取 AC、EF 的中点 O、M，连接 OM，在等边三角形 ABC 中，ACBO，又 OM 为矩形 ACEF 的中位线，ACOM ，第 20 页（共 27 页）而 OM OB O，AC面 BOM，BM AC（2）由（1）知 OA，OB，OM 两两互相垂直，建立空间直角坐标系 Oxyz 如图所示，AC2，CE1，三角形 A
32、BC 为等边三角形， ，设面 BCE 的法向量 ， ，得 ，则面 BCE 的一个法向量 ，又 M 是线段 EF 的中点，则 M 的坐标为 M（0，0，1） ， ，且 ，又设面 ABM 的法向量 ，由 ，得 ，取 ，则 ，面 ABM 的一个法向量 （ ） ，cos ，平面 MAB 与平面 BCE 所成锐二面角的余弦值为 第 21 页（共 27 页）【点评】本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用20 （12 分）已知椭圆 C： 1（ab0）的离心率为 ，以椭圆长、短轴四个端点为顶点的四边形的面积为 4 （）求椭圆 C 的方程；（）如图所示
33、，记椭圆的左、右顶点分别为 A、B，当动点 M 在定直线 x4 上运动时，直线 AM、BM 分别交椭圆于 P、Q 两点，求四边形 APBQ 面积的最大值【分析】 （）根据题意，分析可得 a2c 且 2ab4 ，解可得 a、b 的值，将其代入椭圆的方程，即可得答案；（）令点 M（4，t） ，其中 t0，将直线 AM 的方程 y （x+2）代入椭圆方程 +1，得（27+t 2）x 2+4t2x+4t21080，由根与系数的关系可以用 t 表示 xP、y P再将直线 BM 的方程 y （x 2）代入椭圆方程 + 1 得（3+t 2）x24t 2x+4t2 120，同理可以用 t 表示 xQ、y Q进
34、而可以用 t 表示四边形 APBQ 的面积为 S，结合基本不等式的性质分析可得答案第 22 页（共 27 页）【解答】解：（）根据题意，椭圆 C： 1（ab0）的离心率为 ，则有a2c，以椭圆长、短轴四个端点为顶点的四边形的面积为 4 ，则有 2ab4 ，又 a2b 2+c2，解得 a2，b ，c1，故椭圆 C 的方程为 + 1；（）由于对称性，可令点 M（4，t） ，其中 t0将直线 AM 的方程 y （x +2）代入椭圆方程 + 1，得（27+t 2）x 2+4t2x+4t21080，由 xAxP ，x A 2 得 xP ，则 yP 再将直线 BM 的方程 y （x 2）代入椭圆方程 +
35、1 得（3+t 2）x 24t 2x+4t2120 ，由 xBxQ ，x B2 得 xQ ，则 yQ 故四边形 APBQ 的面积为 S |AB|yPy Q|2| yPy Q|2（ + ） 由于 6，且 + 在6，+ ）上单调递增，故 + 8，从而，有 S 6当且仅当 6，即 t3，也就是点 M 的坐标为（4，3）时，四边形 APBQ 的面积取最大值 6【点评】本题考查椭圆的几何性质，涉及直线与椭圆的位置关系以及基本不等式的性质，关键是求出椭圆的标准方程第 23 页（共 27 页）21 （12 分）已知 f（x ）xlnx+mx，且曲线 yf（x ）在点（ 1，f（1） ）处的切线斜率为1（1）
36、求实数 m 的值；（2）设 g（x）f（x） x2x+a（aR）在其定义域内有两个不同的极值点x1，x 2，且 x1 x2，已知 0，若不等式 e1+x 1x2恒成立，求 的范围【分析】 （1）求出原函数的导函数，得到 f（1） ，由 f （1）1 求得 m 值；（2）求出 g（x） ，求其导函数，可得 lnx1ax 1，lnx 2ax 2，不等式 e1+x 1x2恒成立，转化为 恒成立，进一步转化为 恒成立令 ，t（0，1） ，则不等式 在 t（0，1）上恒成立令，求导可得满足条件的 的范围【解答】解：（1）f（x ）1+lnx+m，由题意知，f（1）1，即： m+11，解得 m0；（2）e
37、 1+ x1x2等价于 1+lnx 1+lnx2g（x）f（x） x2x +axlnx x2x+a，由题意可知 x1，x 2 分别是方程 g（x ）0，即：lnxax0 的两个根，即 lnx1ax 1，lnx 2ax 2原式等价于 1+ax 1+ax2a（x 1+x2） ，0，0x 1x 2，原式等价于 又由 lnx1ax 1，lnx 2ax 2作差得， ，即 原式等价于 ，第 24 页（共 27 页）0x 1x 2，原式恒成立，即 恒成立令 ，t（0，1） ，则不等式 在 t（0，1）上恒成立令 ，又 h（t） ，当 21 时，可得 t（0，1）时，h（t）0，h（t）在 t（0，1）上单调
38、增，又 h（1）0，h（t）0 在 t（0，1）恒成立，符合题意当 21 时，可得 t（0， 2）时，h（t ）0，t （ 2，1）时，h（t ）0，h（t）在 t（0， 2）时单调增，在 t（ 2，1）时单调减，又 h（1）0，h（t）在 t（0，1）上不能恒小于 0，不符合题意，舍去综上所述，若不等式 e1+x 1x2恒成立，只须 21，又 0， 1【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查利用导数求函数的极值，考查数学转化思想方法，训练了学生的灵活变形能力和应用求解能力，属压轴题请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分选修 4-4：坐标系与
39、参数方程（本小题满分 10 分）22 （10 分）已知平面直角坐标系中，曲线 C：x 2+y26x8y0，直线 ，直线 ，以坐标原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系（1）写出曲线 C 的参数方程以及直线 l1，l 2 的极坐标方程；（2）若直线 l1 与曲线 C 分别交于 O，A 两点，直线 l2 与曲线 C 分别交于 O，B 两点，求AOB 的面积【分析】 （1）推导出曲线 C：（ x3） 2+（y 4） 225，从而能求出曲线 C 的参数方程，由直线 ，直线 ，能求出 l1，l 2 的极坐标方程（2）曲线 C 的极坐标方程为 6cos+8sin ，把 代入 6cos+8sin
40、，得第 25 页（共 27 页），把 代入 6cos +8sin，得 ，由此能求出AOB 的面积【解答】解：（1）依题意，曲线 C：（x 3） 2+（y 4） 225，曲线 C 的参数方程是 （ 为参数） ，直线 ，直线 ，l 1，l 2 的极坐标方程为 ；（2）曲线 C 的极坐标方程为 6cos+8sin ，把 代入 6cos +8sin，得 ， ，把 代入 6cos +8sin，得 ， ， 【点评】本题考查曲线的参数方程、极坐标方程的求法，考查三角形面积的求法，考查参数方程、极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题选修 4-5：不等式选讲 （本小题满分 0 分）
41、23已知函数 f（x ）2x 2，g（x）| xa|（1）若 a1，解不等式 f（ x）+g（x）3；（2）若不等式 f（x ）g（x）至少有一个负数解，求实数 a 的取值范围【分析】 （1）通过讨论 x 的范围，得到关于 x 的不等式，解出即可；（2）结合函数的图象以及二次函数的性质求出 a 的范围即可【解答】解：（1）若 a1，则不等式 f（x ）+g（x）3 化为 2x 2+|x1| 3，当 x1 时，2x 2+x13，即 x2x+20， （x ） 2+ 0 不成立；当 x1 时，2x 2x +13，即 x2+x0，解得1x0 综上，不等式 f（x ）+g（x）3 的解集为 x|1x0
42、（5 分）（2）作出 yf（x）的图象如图所示：第 26 页（共 27 页），当 a0 时，g（x）的图象如折线所示：由 ，得 x2+xa20，若相切，则1+4（a+2）0，得 a ，数形结合知，当 a 时，不等式无负数解，则 a0当 a0 时，满足 f（x ）g（x）至少有一个负数解当 a0 时，g（x）的图象如折线所示：此时当 a2 时恰好无负数解，数形结合知，第 27 页（共 27 页）当 a2 时，不等式无负数解，则 0a2综上所述，若不等式 f（x ）g（x）至少有一个负数解，则实数 a 的取值范围是（ ，2） （10 分）【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，转化思想以及数形结合思想，是一道中档题
