1、2017 年甘肃省河西五市部分普通高中高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （5 分）已知集合 Ax|x|2，集合 B 1，0，1，2，3，则 AB （ ）A0 ，1 B0 ，1，2 C 1，0，1 D 1，0，1，22 （5 分）已知向量 （ ， ） ， （ ， ） ，则ABC（ ）A30 B45 C60 D1203 （5 分）已知 ， ， ，则实数 a，b，c 的大小关系是（ ）Aacb Bbac Cabc Dc ba4 （5 分）设 i 为虚数单位，则（ x+i
2、） 6 的展开式中含 x4 的项为（ ）A15x 4 B15x 4 C20ix 4 D20ix 45 （5 分）已知随机变量 ZN（1，1） ，其正态分布密度曲线如图所示，若向正方形OABC 中随机投掷 10000 个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值为（ ）附：若 ZN（ ， 2） ，则 P（ Z+）0.6826；P（2Z+2）0.9544；P（3Z +3）0.9974A6038 B6587 C7028 D75396 （5 分）函数 ，则 f（x ）的最大值是（ ）A0 B2 C1 D3第 2 页（共 27 页）7 （5 分）要测量电视塔 AB 的高度，
3、在 C 点测得塔顶的仰角是 45，在 D 点测得塔顶的仰角是 30，并测得水平面上的BCD120，CD40m，则电视塔的高度是（ ）A30m B40m C m D m8 （5 分）设 p：实数 x，y 满足（x 1） 2+（y1） 22，q：实数 x，y 满足 ，则 p 是 q 的（ ）A必要不充分条件 B充分不必要条件C充要条件 D既不充分也不必要条件9 （5 分）设 O 为坐标原点， P 是以 F 为焦点的抛物线 y22px （p0）上任意一点，M 是线段 PF 上的点，且 |PM| 2|MF|，则直线 OM 的斜率的最大值为（ ）A B C D110
4、 （5 分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A B C D11 （5 分）已知定义在 R 上的偶函数 f（x）在0，+）上递减，若不等式 f（x 3x 2+a）+f（x 3+x2a）2f（1）对 x0，1恒成立，则实数 a 的取值范围为（ ）A ，1 B ，1 C1 ，3 D （112 （5 分）已知函数 f（x ）sin（x+） （0，| | ） ，x 为 f（x）的零点，x 为 yf（x ）图象的对称轴，且 f（x）在（ ， ）上单调，则 的最大值为（ ）第 3 页（共 27 页）A11 B9 C7 D5一填空题：本大题共 4 小题
5、，每小题 5 分，共 20 分.13 （5 分）如图是一个算法的流程图，则输出的 a 的值是 14 （5 分）已知双曲线 E： 1（a0，b0） ，若矩形 ABCD 的四个顶点在 E 上，AB， CD 的中点为 E 的两个焦点，且 2|AB|3|BC|，则 E 的离心率是 15 （5 分）用一块矩形铁皮作圆台形铁桶的侧面，要求铁桶的上底半径是 24cm，下底半径是 16cm，母线长为 48cm，则矩形铁皮长边的最小值是 16 （5 分）定义“规范 01 数列”a n如下：a n共有 2m 项，其中 m 项为 0
6、，m 项为 1，且对任意 k2 m，a 1，a 2ak 中 0 的个数不少于 1 的个数若 m4，则不同的“规范01 数列”共有 个三解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17 （12 分）记 U1，2，100，对数列 an（nN *）和 U 的子集 T，若 T，定义 ST0；若 Tt 1，t 2， ，t k，定义 ST + + 例如：T 1 ，3，66时，STa 1+a3+a66现设a n（n N*）是公比为 3 的等比数列，且当 T2 ，4时，ST30（1）求数列a n的通项公式；（2）对任意正整数 k（1k 100） ，若 T1，2，k ，求证：S
7、Ta k+1；（3）设 CU，DU，S CS D，求证：S C+SCD 2S D18 （12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，ADBC，ADCPAB90，第 4 页（共 27 页）BCCD ADE 为棱 AD 的中点，异面直线 PA 与 CD 所成的角为 90（）在平面 PAB 内找一点 M，使得直线 CM平面 PBE，并说明理由；（）若二面角 PCDA 的大小为 45，求直线 PA 与平面 PCE 所成角的正弦值19 （12 分）如图是我国 2008 年至 2014 年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图（）由折线图看出，可用线性回归模型拟合 y 与 t 的关系，请用相关系数加以说
8、明；（）建立 y 关于 t 的回归方程（系数精确到 0.01） ，预测 2017 年我国生活垃圾无害化处理量参考数据： yi9.32， tiyi40.17， 0.55， 2.646参考公式：相关系数 r 回归方程 + t 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： ， 第 5 页（共 27 页）20 （12 分）已知椭圆 上两个不同的点 A，B 关于直线 ymx + 对称（1）求实数 m 的取值范围；（2）求AOB 面积的最大值（O 为坐标原点） 21 （12 分）已知 f（x ） ，其中 e 为自然对数的底数（1）设 g（x）（x +1）f（x） （其中 f（x）为 f（x）的导函数） ，判断
9、g（x）在（1，+）上的单调性；（2）若 F（x） ln（x+1）af （x ）+4 无零点，试确定正数 a 的取值范围选修 4-4：坐标系与参数方程22 （10 分）在直角坐标系 xoy 中，曲线 C1 的参数方程为 （ 为参数） 以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为4cos （）将曲线 C1 的方程化为极坐标方程；（）已知直线 l 的参数方程为 （ ，t 为参数，t0） ，l 与 C1 交第 6 页（共 27 页）与点 A，l 与 C2 交与点 B，且|AB | ，求 的值选修 4-5：不等式选讲23已知函数 f（x ）|2x 1|+|2x+1|（
10、）若不等式 f（x ）a 22a1 恒成立，求实数 a 的取值范围；（）设 m0，n0 且 m+n1，求证： 第 7 页（共 27 页）2017 年甘肃省河西五市部分普通高中高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （5 分）已知集合 Ax|x|2，集合 B 1，0，1，2，3，则 AB （ ）A0 ，1 B0 ，1，2 C 1，0，1 D 1，0，1，2【分析】先求出集合 A 和 B，由此利用交集的定义能求出 AB【解答】解：集合 Ax|x|2 x|2x2，B 1，0，1 ，
11、2，3，AB1，0，1故选：C【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用2 （5 分）已知向量 （ ， ） ， （ ， ） ，则ABC（ ）A30 B45 C60 D120【分析】根据向量 的坐标便可求出 ，及 的值，从而根据向量夹角余弦公式即可求出 cosABC 的值，根据ABC 的范围便可得出ABC 的值【解答】解： ， ； ；又 0ABC180；ABC30故选：A【点评】考查向量数量积的坐标运算，根据向量坐标求向量长度的方法，以及向量夹角的余弦公式，向量夹角的范围，已知三角函数值求角3 （5 分）已知 ， ， ，则实数 a，b，c 的大小第
12、 8 页（共 27 页）关系是（ ）Aacb Bbac Cabc Dc ba【分析】化简 ， ， ，进而得出【解答】解： ， ， ，而 0 2，abc故选：C【点评】本题考查了函数的单调性、指数函数与对数函数的单调性、微积分基本定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题4 （5 分）设 i 为虚数单位，则（ x+i） 6 的展开式中含 x4 的项为（ ）A15x 4 B15x 4 C20ix 4 D20ix 4【分析】利用二项展开式的通项公式即可得到答案【解答】解：（x+i） 6 的展开式中含 x4 的项为 x4i215x 4，故选：A【点评】本题考查二项式定理，深刻理
13、解二项展开式的通项公式是迅速作答的关键，属于中档题5 （5 分）已知随机变量 ZN（1，1） ，其正态分布密度曲线如图所示，若向正方形OABC 中随机投掷 10000 个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值为（ ）附：若 ZN（ ， 2） ，则 P（ Z+）0.6826；P（2Z+2）0.9544；P（3Z +3）0.9974第 9 页（共 27 页）A6038 B6587 C7028 D7539【分析】求出 P 阴影 P（0X1）1 0.682610.34130.6587，即可得出结论【解答】解：由题意 P 阴影 P（0X1）1 0.682610.34130.6587，则落入阴影
14、部分点的个数的估计值为 100000.65876587故选：B【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量 和 的应用，考查曲线的对称性，属于基础题6 （5 分）函数 ，则 f（x ）的最大值是（ ）A0 B2 C1 D3【分析】讨论当 x0 时，运用一次函数的单调性，可得 f（x）的范围；当 x0 时，求出 f（x）的导数，单调区间和极大值，也为最大值，即可得到所求最大值【解答】解：当 x0 时，f（x）12x 递减，可得 f（x）1 ；当 x0 时，f（ x）x 33x ，导数 f（x） 3x233（x1） （x+1） ，当1x0 时，f（x）0，
15、f（x ）递减；当 x1 时，f（x）0，f（x ）递增可得 x1 处 f（x）取得极大值，且为最大值1+32则 f（x）的最大值为 2故选：B第 10 页（共 27 页）【点评】本题考查分段函数的运用：求最值，注意考虑各段的最值，以及导数的运用：求单调区间和极值、最值，考查分类讨论的思想方法，以及判断比较能力，属于中档题7 （5 分）要测量电视塔 AB 的高度，在 C 点测得塔顶的仰角是 45，在 D 点测得塔顶的仰角是 30，并测得水平面上的BCD120，CD40m，则电视塔的高度是（ ）A30m B40m C m D m【分析】设出 ABx ，进而根据题意将 BD、DC 用
16、x 来表示，然后在 DBC 中利用余弦定理建立方程求得 x，即可得到电视塔的高度【解答】解：由题题意，设 ABx，则 BD x，BC x在DBC 中，BCD120，CD40，根据余弦定理，得 BD2BC 2+CD22BC CDcosDCB即：（ x） 2（40） 2+x2240x cos120整理得 x220x8000，解之得 x40 或 x20（舍）即所求电视塔的高度为 40 米故选：B【点评】本题给出实际应用问题，求电视塔的高度着重考查了解三角形的实际应用的知识，考查了运用数学知识、建立数学模型解决实际问题的能力8 （5 分）设 p：实数 x，y 满足（x 1） 2+（y1） 22，q：实
17、数 x，y 满足 ，则 p 是 q 的（ ）A必要不充分条件 B充分不必要条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【分析】画出 p，q 表示的平面区域，进而根据充要条件的定义，可得答案【解答】解：（x1） 2+（y1） 22 表示以（1，1）为圆心，以 为半径的圆内区第 11 页（共 27 页）域（包括边界） ；满足 的可行域如图有阴影部分所示，故 p 是 q 的必要不充分条件，故选：A【点评】本题考查的知识是线性规划的应用，圆的标准方程，充要条件，难度中档9 （5 分）设 O 为坐标原点， P 是以 F 为焦点的抛物线 y22px （p0）上任意一点，M 是线段 PF 上的点，且
18、|PM| 2|MF|，则直线 OM 的斜率的最大值为（ ）A B C D1【分析】由题意可得 F（ ，0） ，设 P（ ，y 0） ，要求 kOM 的最大值，设 y00，运用向量的加减运算可得 + （ + ， ） ，再由直线的斜率公式，结合基本不等式，可得最大值【解答】解：由题意可得 F（ ，0） ，设 P（ ，y 0） ，显然当 y00，k OM0；当 y00，k OM0要求 kOM 的最大值，设 y00，则 + + + （ ） + （ + ， ） ，第 12 页（共 27 页）可得 kOM ，当且仅当 y022p 2，取得等号故选：C【点评】本题考查抛物线的方程及运用，考查直
19、线的斜率的最大值，注意运用基本不等式和向量的加减运算，考查运算能力，属于中档题10 （5 分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A B C D【分析】根据三视图作出几何体的直观图，将几何体分解成两个棱锥计算体积【解答】解：做出几何体的直观图如图所示：其中底面 ABCD 是边长为 2 的正方形，AE，DF 为底面的垂线，且 AE2，DF1，VV EABC +VCADFE + 故选：D【点评】本题考查了空间几何体的三视图，体积计算，属于中档题第 13 页（共 27 页）11 （5 分）已知定义在 R 上的偶函数 f（x）在0，+）上递减，若不等式 f（x 3x 2+
20、a）+f（x 3+x2a）2f（1）对 x0，1恒成立，则实数 a 的取值范围为（ ）A ，1 B ，1 C1 ，3 D （1【分析】根据函数奇偶性和单调性的关系将不等式进行转化，利用参数分类法以及导数研究函数的最值即可【解答】解：定义在 R 上的偶函数 f（x）在0，+）上递减，不等式 f（x 3x 2+a）+ f（x 3+x2a）2f （1）等价为 2f（x 3x 2+a）2f（1）即 f（x 3x 2+a）f（1）对 x0，1 恒成立，即1x 3x 2+a1 对 x0， 1恒成立，即1ax 3x 21a 对 x0，1 恒成立，设 g（x）x 3x 2，则 g（ x）3x 22
21、xx （3x2） ，则 g（x）在0 ， ）上递减，在（ ，1 上递增，g（0）g（1）0，g（ ） ，g（x） ，0，即 即 ，得 a1，故选：B【点评】本题主要考查不等式恒成立问题，根据函数奇偶性和单调性的性质将不等式进行转化，利用参数分离法结合导数法，构造函数求函数的最值是解决本题的关键12 （5 分）已知函数 f（x ）sin（x+） （0，| | ） ，x 为 f（x）的零点，x 为 yf（x ）图象的对称轴，且 f（x）在（ ， ）上单调，则 的最大值为（ ）A11 B9 C7 D5【分析】根据已知可得 为正奇数，且 12，结合 x 为 f（x）的零点，x为 yf（x）
22、图象的对称轴，求出满足条件的解析式，并结合 f（x）在（ ， ）上单调，可得 的最大值第 14 页（共 27 页）【解答】解：x 为 f（x）的零点，x 为 yf（x）图象的对称轴， ，即 ， （n N）即 2 n+1， （nN）即 为正奇数，f（x）在（ ， ）上单调，则 ，即 T ，解得：12，当 11 时， +k，k Z，| ， ，此时 f（x）在（ ， ）不单调，不满足题意；当 9 时， +k，k Z，| ， ，此时 f（x）在（ ， ）单调，满足题意；故 的最大值为 9，故选：B【点评】本题考查的知识点是正弦型函数的图象和性质，本题转化困难，难度较大一填空题：本大题共 4 小题，每小
23、题 5 分，共 20 分.13 （5 分）如图是一个算法的流程图，则输出的 a 的值是 9 第 15 页（共 27 页）【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 a 的值，模拟程序的运行过程，可得答案【解答】解：当 a1，b9 时，不满足 ab，故 a5，b7，当 a5，b7 时，不满足 ab，故 a9，b5当 a9，b5 时，满足 ab，故输出的 a 值为 9，故答案为：9【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时，可采用模拟程序法进行解答14 （5 分）已知双曲线 E： 1（a0，b0） ，若矩形 ABCD 的四个顶点在 E 上，AB
24、， CD 的中点为 E 的两个焦点，且 2|AB|3|BC|，则 E 的离心率是 2 【分析】可令 xc ，代入双曲线的方程，求得 y ，再由题意设出 A，B，C，D的坐标，由 2|AB|3| BC|，可得 a，b，c 的方程，运用离心率公式计算即可得到所求值【解答】解：令 xc ，代入双曲线的方程可得 yb ，由题意可设 A（c ， ） ，B（c ， ） ，C（c， ） ，D（c ， ） ，由 2|AB|3| BC|，可得第 16 页（共 27 页）2 32c，即为 2b23ac，由 b2c 2a 2，e ，可得 2e23e20，解得 e2（负的舍去） 故答案为：2【点评】本题考查双曲线的离
25、心率的求法，注意运用方程的思想，正确设出A，B，C ，D 的坐标是解题的关键，考查运算能力，属于中档题15 （5 分）用一块矩形铁皮作圆台形铁桶的侧面，要求铁桶的上底半径是 24cm，下底半径是 16cm，母线长为 48cm，则矩形铁皮长边的最小值是 72 cm 【分析】设圆台的侧面展开图的圆心角AOA ，OAx，由三角形相似求出 x96 cm推导出BOB为正三角形，由此能求出矩形铁皮长边的最小值【解答】解：如图，设圆台的侧面展开图的圆心角AOA，OAx，由三角形相似可得 ，解得 x96 cm则 ，解得 60，所以BOB为正三角形，则 BBOB 96+48 144 cm第 17 页（共 27
26、页）72 ，由下图可知，矩形铁皮长边的最小值为 72 cm故答案为：72 cm【点评】本题考查矩形铁皮长边的最小值的求法，是中档题，解题时要要认真审题，注意圆台的性质的合理运用16 （5 分）定义“规范 01 数列”a n如下：a n共有 2m 项，其中 m 项为 0，m 项为 1，且对任意 k2 m，a 1，a 2ak 中 0 的个数不少于 1 的个数若 m4，则不同的“规范01 数列”共有 14 个【分析】由新定义可得， “规范 01 数列”有偶数项 2m 项，且所含 0 与 1 的个数相等，首项为 0，末项为 1，当 m 4 时，数列中有四个 0 和四个 1，然后一一列举得答案【解答】解
27、：由题意可知， “规范 01 数列”有偶数项 2m 项，且所含 0 与 1 的个数相等，首项为 0，末项为 1，若 m 4，说明数列有 8 项，满足条件的数列有：0，0，0，0，1，1，1，1； 0，0，0，1，0，1，1，1； 第 18 页（共 27 页）0，0，0，1，1，0，1，1； 0，0，0，1，1，1，0，1； 0，0，1，0，0，1，1，1；0，0，1，0，1，0，1，1； 0，0，1，0，1，1，0，1； 0，0，1，1，0，1，0，1； 0，0，1，1，0，0，1，1； &nbs
28、p; 0，1，0，0，0，1，1，1；0，1，0，0，1，0，1，1； 0，1，0，0，1，1，0，1； 0，1，0，1，0，0，1，1； 0，1，0，1，0，1，0，1共 14 个故答案为 14【点评】本题是新定义题，考查数列的应用，关键是对题意的理解，枚举时做到不重不漏，是压轴题三解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17 （12 分）记 U1，2，100，对数列 an（nN *）和 U 的子集 T，若 T，定义 ST0；若 Tt 1，t 2， ，t k，定义 ST + + 例如：T 1 ，3，66时，STa 1+a3+a66现设a n（
29、n N*）是公比为 3 的等比数列，且当 T2 ，4时，ST30（1）求数列a n的通项公式；（2）对任意正整数 k（1k 100） ，若 T1，2，k ，求证：S Ta k+1；（3）设 CU，DU，S CS D，求证：S C+SCD 2S D【分析】 （1）根据题意，由 ST 的定义，分析可得 STa 2+a4a 2+9a230，计算可得a23，进而可得 a1 的值，由等比数列通项公式即可得答案；（2）根据题意，由 ST 的定义，分析可得 STa 1+a2+ak1+3+3 2+3k1 ，由等比数列的前 n 项和公式计算可得证明；（3）设 A C（CD） ，B D（CD ） ，则 AB，进而
30、分析可以将原命题转化为证明 SC2S B，分 2 种情况进行讨论： 、若 B，、若 B，可以证明得到SA 2SB，即可得证明【解答】解：（1）等比数列a n中是公比为 3 的等比数列，则 a43a 39a 2，当 T2，4 时，S Ta 2+a4a 2+9a230，因此 a23，从而 a1 1，第 19 页（共 27 页）故 an3 n1 ，（2）S Ta 1+a2+ak1+3+3 2+3k1 3 ka k+1，（3）设 A C（CD） ，B D（CD ） ，则 AB，分析可得 SCS A+SCD ，S DS B+SCD ，则 SC+SCD 2S DS A2S B，因此原命题的等价于证明 SA
31、2S B，由条件 SCS D，可得 SAS B，、若 B，则 SB0，故 SA2S B，、若 B，由 SAS B 可得 A，设 A 中最大元素为 l，B 中最大元素为 m，若 ml+1，则其与 SAa 1+1a mS B 相矛盾，因为 AB ，所以 lm，则 lm +1，SB a1+a2+am1+3+3 2+3m1 ，即 SA2S B，综上所述，S A2S B，故 SC+SCD 2S D【点评】本题考查数列的应用，涉及新定义的内容，解题的关键是正确理解题目中对于新定义的描述18 （12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，ADBC，ADCPAB90，BCCD ADE 为棱 AD 的中点，异面直
32、线 PA 与 CD 所成的角为 90（）在平面 PAB 内找一点 M，使得直线 CM平面 PBE，并说明理由；（）若二面角 PCDA 的大小为 45，求直线 PA 与平面 PCE 所成角的正弦值【分析】 （I）延长 AB 交直线 CD 于点 M，由点 E 为 AD 的中点，可得AEED AD，由 BCCD AD，可得 EDBC，已知 EDBC可得四边形BCDE 为平行四边形，即 EBCD利用线面平行的判定定理证明得直线 CM平面PBE 即可第 20 页（共 27 页）（II）如图所示，由ADCPAB90，异面直线 PA 与 CD 所成的角为 90ABCDM ，可得 AP平面 ABCD由 CDP
33、D，PAAD因此PDA 是二面角PCDA 的平面角，大小为 45PAAD不妨设 AD2，则BCCD AD1可得 P（0，0，2） ，E（0，1，0） ，C（1，2，0） ，利用法向量的性质、向量夹角公式、线面角计算公式即可得出【解答】解：（I）延长 AB 交直线 CD 于点 M，点 E 为 AD 的中点，AEED AD，BCCD AD，ED BC，ADBC，即 EDBC四边形 BCDE 为平行四边形，即 EBCDABCDM，M CD， CMBE，BE 平面 PBE，CM平面 PBE，MAB，AB平面 PAB，M平面 PAB，故在平面 PAB 内可以找到一点 M（MAB CD） ，使得直线 CM
34、平面 PBE（II）如图所示，ADCPAB90，异面直线 PA 与 CD 所成的角为 90，ABCDM ，AP平面 ABCDCDPD，PAAD 因此PDA 是二面角 PCDA 的平面角，大小为 45PAAD 不妨设 AD2，则 BCCD AD1P（0，0，2） ，E（0，1，0） ，C（1，2，0） ， （1，1，0） ， （0，1，2） ， （0，0，2） ，设平面 PCE 的法向量为 （x，y，z） ，则 ，可得： 令 y2，则 x2，z1， （2，2，1） 设直线 PA 与平面 PCE 所成角为 ，第 21 页（共 27 页）则 sin 【点评】本题考查了空间位置关系、空间角计算公式、法
35、向量的性质，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于中档题19 （12 分）如图是我国 2008 年至 2014 年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图（）由折线图看出，可用线性回归模型拟合 y 与 t 的关系，请用相关系数加以说明；（）建立 y 关于 t 的回归方程（系数精确到 0.01） ，预测 2017 年我国生活垃圾无害化处理量参考数据： yi9.32， tiyi40.17， 0.55， 2.646参考公式：相关系数 r 回归方程 + t 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： ， 第 22 页（共 27 页）【分析】 （）由折线图看出，y 与 t 之间存在较强的正相关关系，
36、将已知数据代入相关系数方程，可得答案；（）根据已知中的数据，求出回归系数，可得回归方程，2017 年对应的 t 值为 10，代入可预测 2017 年我国生活垃圾无害化处理量【解答】解：（）由折线图看出，y 与 t 之间存在较强的正相关关系， yi9.32， tiyi40.17， 0.55，r 0.993，0.9930.75，故 y 与 t 之间存在较强的正相关关系；（）由 1.331 及（）得 0.103，1.3310.10340.92所以，y 关于 t 的回归方程为： 0.92+0.10t将 2017 年对应的 t10 代入回归方程得： 0.92+0.10101.92所以预测 2017 年我
37、国生活垃圾无害化处理量将约 1.92 亿吨【点评】本题考查的知识点是线性回归方程，考查线性相关与线性回归方程的求法与应用，计算量比较大，计算时要细心20 （12 分）已知椭圆 上两个不同的点 A，B 关于直线 ymx + 对称（1）求实数 m 的取值范围；第 23 页（共 27 页）（2）求AOB 面积的最大值（O 为坐标原点） 【分析】 （1）由题意，可设直线 AB 的方程为 xmy+n，代入椭圆方程可得（m 2+2）y22mny+n 220，设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） 可得0，设线段 AB 的中点P（x 0， y0） ，利用中点坐标公式及其根与系数的可得 P，代入直线
38、 ymx + ，可得，代入0，即可解出（2）直线 AB 与 x 轴交点横坐标为 n，可得 SOAB ，再利用均值不等式即可得出【解答】解：（1）由题意，可设直线 AB 的方程为 xmy +n，代入椭圆方程，可得（m 2+2）y 22mny +n220，设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） 由题意，4m 2n24（m 2+2） （n 22）8（m 2n 2+2）0，设线段 AB 的中点 P（x 0，y 0） ，则 x 0m +n ，由于点 P 在直线 ymx+ 上， + ， ，代入0，可得 3m4+4m240，解得 m2 ， 或 m （2）直线 AB 与 x 轴交点横坐标为 n，S
39、OAB |n| ，由均值不等式可得：n 2（m 2 n2+2） ，S AOB ，当且仅当 n2m 2n 2+2，即 2n2m 2+2，又第 24 页（共 27 页） ，解得 m ，当且仅当 m 时，S AOB 取得最大值为 【点评】本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、中点坐标公式、线段垂直平分线的性质、三角形面积计算公式、弦长公式、均值不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题21 （12 分）已知 f（x ） ，其中 e 为自然对数的底数（1）设 g（x）（x +1）f（x） （其中 f（x）为 f（x）的导函数） ，判断 g（x）
40、在（1，+）上的单调性；（2）若 F（x） ln（x+1）af （x ）+4 无零点，试确定正数 a 的取值范围【分析】 （1）对函数 f（x ）求导后知 g（x） ，对 g（x）求导后得到单调性（2）利用导函数求得 F（x ）的单调性及最值，然后对 a 分情况讨论，利用 F（x）无零点分别求得 a 的取值范围，再取并集即可【解答】解：（1）f（x ） ，f（x） ，g（x）（x+1） （ ） ，g（x） （x+3） 1，当 x1 时，g（x ）0，g（x）在（1，+）上单调递增（2）由 F（x） ln（x+1）af （x ）+4 知，F （x） （ g（x） ） ，由（1）知，g（x）在（1
41、，+）上单调递增，且 g（1）0 可知当x（1，+）时，g（x） （0，+） ，则 F（x） （ g（x ） ）有唯一零点，设此零点为 xt，易知 x（ 1，t ）时，F（x）0， F（x）单调递增；第 25 页（共 27 页）x（t，+）时，F（t） 0F（x）单调递减知 F（x ） maxF（t）ln（t+1）af（t ）+4，其中 a ，令 G（x）ln（x +1） +4，则 G（x） ，易知 f（x）0 在（1，+）上恒成立，G（x）0，G（x ）在（1，+ ）上单调递增，且 G（0）0，当 0 a4 时，g（t） g（0） ，由 g（x）在（1，+）上单调递增，知 t0，则 F（x）
42、 maxF（t）G（t）G（0）0，由 F（x ）在（ 1，t）上单调递增，1e 4 10t，f（x）0，g（t ）0 在（1，+）上均恒成立，则 F（e 4 1） af（e 4 1）0，F（t）F （e 4 1）0F（x ）在（ 1，t）上有零点，与条件不符；当 a 4 时， g（t） g（0） ，由 g（x）的单调性可知 t0，则 F（x ） maxF（t）G（t）G （0）0，此时 F（x ）有一个零点，与条件不符；当 a 4 时， g（t） g（0） ，由 g（x）的单调性知 t0，则 F（x ） maxF（t）G（t）G （0）0，此时 F（x ）没有零点综上所述，当 F（x ）ln
43、（x+1）af （x ）+4 无零点时，正数 a 的取值范围是a（4，+） 【点评】本题考查函数的综合应用，以及导数在研究函数中的应用选修 4-4：坐标系与参数方程22 （10 分）在直角坐标系 xoy 中，曲线 C1 的参数方程为 （ 为参数） 以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为4cos 第 26 页（共 27 页）（）将曲线 C1 的方程化为极坐标方程；（）已知直线 l 的参数方程为 （ ，t 为参数，t0） ，l 与 C1 交与点 A，l 与 C2 交与点 B，且|AB | ，求 的值【分析】 （1）将曲线 C1 的方程化为普通方程，然后转化求
44、解 C1 的极坐标方程（2）曲线 l 的参数方程为 （ ，t 为参数，t0） ，化为yxtan由题意可得：|OA| 12cos，| OB| 24cos，利用|AB| ，即可得出【解答】解：（1）曲线 C1 的参数方程为 （ 为参数） 可得（x1） 2+y21，x cos，ysin ，C 1 的极坐标方程为 22cos0，即 2cos（2）曲线 l 的参数方程为 （ ，t 为参数，t0） ，化为 yxtan由题意可得：|OA| 12cos，|OB| 24cos，|AB| ，|OA |OB |2cos ，即 cos 又 ， 【点评】本题考查了直角坐标与极坐标的互化、参数方程化为普通方程、两点之间的
45、距离、圆的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题选修 4-5：不等式选讲23已知函数 f（x ）|2x 1|+|2x+1|（）若不等式 f（x ）a 22a1 恒成立，求实数 a 的取值范围；（）设 m0，n0 且 m+n1，求证： 【分析】 （）求出 f（x ）的最小值，不等式 f（x）a 22a1 恒成立，可得a22a12，即可求实数 a 的取值范围；（）要证： 成立，只需证 + 2 ，利用分析法的证明步骤，结合基本不等式证明即可第 27 页（共 27 页）【解答】 （）解：f（x ）|2x1|+|2x+1|（2x1） （2x+1）| 2，不等式 f（x） a 22a1 恒成立，a 22a
