1、2017年四川省名校联考高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ）1 （5 分）已知集合 Mx |x2， ，则 MN（ ）A Bx|1x2 C x|0x2 D x|1x22 （5 分）设双曲线 （a0，b0）的虚轴长为 2，焦距为 ，则双曲线的渐近线方程为（ ）A By2x C D3 （5 分）如图，在正方体 ABCDA 1B1C1D1 中，棱长为 a，M、N 分别为 A1B 和 AC 上的点，A 1MAN ，则 MN 与平面 BB1C1C 的位置关系是（
2、）A相交 B平行 C垂直 D不能确定4 （5 分）函数 f（x ）sinx（0） ，对任意实数 x 有 ，且，那么 （ ）Aa B C Da5 （5 分）已知流程图如图所示，该程序运行后，为使输出的 b 值为 16，则循环体的判断框内 处应填（ ）第 2 页（共 23 页）A2 B3 C4 D56 （5 分）已知函数 f（x ）图象如图，f'（x）是 f（x）的导函数，则下列数值排序正确的是（ ）A0f'（2）f'（3）f（3）f（2）B0f' （3）f' （2）f（3）f（2）C0f' （3）f（3）f （
3、2）f'（2）D0f（3）f（2）f'（2）f'（3）7 （5 分）一个正三棱柱（底面为正三角形的直棱柱）的三视图如图所示，则这个正三棱柱的体积为（ ）A B C D8 （5 分）若（1x） n1+a 1x+a2x2+a3x3+anxn（nN *） ，且 a1：a 31：7，则 a5 等于第 3 页（共 23 页）（ ）A35 B35 C56 D569 （5 分）在ABC 中，4sinA+3cosB5，4cosA+3sinB 2 ，则角 C 等于（ ）A150或 30 B120或 60 C30 D6010 （5 分）在平面直角坐标系中
4、，A（2，0） ，B（1，3） ，O 为坐标原点，且 + （+ 1） ，N（1，0） ，则| |的最小值为（ ）A B C D11 （5 分）设 ，已知 0abc，且 f（a）f（b）f （c）0，若 x0是函数 f（x ）的一个零点，则下列不等式不可能成立的是（ ）Ax 0a B0x 01 Cbx 0c Dax 0b12 （5 分）过点 M（2，2 p）引抛物线 x22py（p0）的切线，切点分别为 A，B，若，则 p 的值是（ ）A1 或 2 B 或 2 C1 D2二、填空题（本大题共四小题，每小题 5 分，共 20 分将答案填在答题卡上 ）13 （5
5、分）若复数 z（x 22x3）+（x+1）i 为纯虚数，则实数 x 的值为 14 （5 分）某同学使用计算器求 30 个数据的平均数时，错将其中一个数据 105 输入为15，那么由此求出的平均数与实际平均数的差是 15 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知 P 是函数 f（x）e x（x0）的图象上的动点，该图象在点 P 处的切线 l 交 y 轴于点 M，过点 P 作 l 的垂线交 y 轴于点 N，设线段 MN的中点的纵坐标为 t，则 t 的最大值是 16 （5 分）在ABC 中，内角 A，B，C 所对
6、的边分别为 a，b，c，已知a2a2b2c 0 且 a+2b2c+30则ABC 中最大角的度数是 三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ）17 （10 分）S n 为数列a n的前 n 项和，已知 Sn+1 Sn+1（ 是大于 0 的常数） ，且a11，a 34（）求数列a n的通项公式；（）设 bnna n，求数列b n的前 n 项和18 （10 分）某批发市场对某种商品的周销售量（单位：吨）进行统计，最近 100 周的统计结果如下表所示：第 4 页（共 23 页）周销售量 2 3 4频数 20 50 30（1）根据上
7、面统计结果，求周销售量分别为 2 吨，3 吨和 4 吨的频率；（2）已知每吨该商品的销售利润为 2 千元， 表示该种商品两周销售利润的和（单位：千元） ，若以上述频率作为概率，且各周的销售量相互独立，求 的分布列和数学期望19 （10 分）如图，正方形 ACDE 所在的平面与平面 ABC 垂直，M 是 CE 和 AD 的交点，ACBC，且 ACBC（）求证：AM平面 EBC；（）求二面角 AEB C 的大小20 （15 分）已知：向量 （ ，0） ，O 为坐标原点，动点 M 满足：| + |+| |4（1）求动点 M 的轨迹 C 的方程；（2）已知直线 l1，l 2 都过点 B（0，1） ，且
8、 l1l 2，l 1，l 2 与轨迹 C 分别交于点 D，E ，试探究是否存在这样的直线使得BDE 是等腰直角三角形若存在，指出这样的直线共有几组（无需求出直线的方程） ；若不存在，请说明理由21 （15 分）已知函数 （1）当 a1 时，x 01，e使不等式 f（x 0）m ，求实数 m 的取值范围；（2）若在区间（1，+）上，函数 f（x ）的图象恒在直线 y2ax 的下方，求实数 a 的取值范围请考生在 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，做答时请写清题号第 5 页（共 23 页）22 （10 分）已知直线 l： （t 为参数） 以坐标原点为极点， x 轴的正半
9、轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的坐标方程为 2cos（1）将曲线 C 的极坐标方程化为直坐标方程；（2）设点 M 的直角坐标为（ 5， ） ，直线 l 与曲线 C 的交点为 A，B，求|MA| |MB|的值选做题23设不等式|x +1|+|x1|2 的解集为 M（）求集合 M；（）若 xM，| y| ，|z| ，求证：|x+2y3z| 第 6 页（共 23 页）2017 年四川省名校联考高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ）1 （5 分）已知集合 Mx |x2， ，则 M
10、N（ ）A Bx|1x2 C x|0x2 D x|1x2【分析】解不等式求出集合 N，根据交集的定义写出 MN【解答】解：集合 Mx |x2，x| x1，MN x|1x 2故选：B【点评】本题考查了解不等式与求交集的运算问题，是基础题目2 （5 分）设双曲线 （a0，b0）的虚轴长为 2，焦距为 ，则双曲线的渐近线方程为（ ）A By2x C D【分析】依题意可求得 a，b，从而可求得该双曲线的渐近线方程【解答】解：双曲线 1（a0，b0）的虚轴长为 2，焦距为 ，b1，c ，a ，双曲线的渐近线方程为 y x x x，故选：C【点评】本题考查双曲线的简单性质，求得 a
11、，b 的值是关键，属于中档题3 （5 分）如图，在正方体 ABCDA 1B1C1D1 中，棱长为 a，M、N 分别为 A1B 和 AC 上的点，A 1MAN ，则 MN 与平面 BB1C1C 的位置关系是（ ）第 7 页（共 23 页）A相交 B平行 C垂直 D不能确定【分析】由于 CD平面 B1BCC1，所以 是平面 B1BCC1 的法向量，因此只需证明向量与 垂直即可，而 与 和 均垂直，而 和 又可以作为一组基底表示向量 ，因此可以证明【解答】解：正方体棱长为 a，A 1MAN ， ， ， + + + + （ + ）+ + （ + ） + 又 是平面 B1BCC1 的法向量
12、，且 （ + ） 0， ，MN平面 B1BCC1故选：B【点评】本题考查线面平行的判定，在适当条件下，可以用向量法证明，只需证明该直线的一个方向向量与该平面的一个法向量垂直即可要注意的是这两个向量必须用同一组基底来表示4 （5 分）函数 f（x ）sinx（0） ，对任意实数 x 有 ，且，那么 （ ）Aa B C Da【分析】根据 得出 1 是 f（x ）的周期，再根据 f（x）sin x 是奇函第 8 页（共 23 页）数，由 f（ ）求出 的值【解答】解：函数 f（x ）sinx（0）中，对任意实数 x 有 ，f（x）f（x+1） ，1 是 f（x）的周期；又 f（ ）sin
13、（ ）a， f（2+ ）f（ ）sin（ ）sin（ ）a故选：D【点评】本题考查了函数的周期性与奇偶性的应用问题，是基础题目5 （5 分）已知流程图如图所示，该程序运行后，为使输出的 b 值为 16，则循环体的判断框内 处应填（ ）A2 B3 C4 D5【分析】写出每次循环 a，b 的取值，根据退出循环的条件即可判定答案【解答】解：a1，b1第 1 次循环：b2，a2，继续执行循环；第 2 次循环：b4，a3，继续执行循环；第 3 次循环：b16，a4；所以，为使输出的 b 值为 16，循环体的判断框内应填 a3，即满足 a3 则执行循环，否则退出循环，输出 b16；故选：B第
14、 9 页（共 23 页）【点评】本题考查程序框图和算法，属于基础题6 （5 分）已知函数 f（x ）图象如图，f'（x）是 f（x）的导函数，则下列数值排序正确的是（ ）A0f'（2）f'（3）f（3）f（2）B0f' （3）f' （2）f（3）f（2）C0f' （3）f（3）f （2）f'（2）D0f（3）f（2）f'（2）f'（3）【分析】由题意，作出 f（ 3） 、f （3）f（2） 、f （2）所表示的几何意义，从而求解【解答】解：如下图：f（3） 、f（3）f（2） 、f（2）分别表示了直线 n，m，
15、l 的斜率，故 0f（3）f（3）f（2）f （2） ，故选：C【点评】本题考查了学生的作图能力及对导数的几何意义的理解，属于中档题7 （5 分）一个正三棱柱（底面为正三角形的直棱柱）的三视图如图所示，则这个正三棱柱的体积为（ ）第 10 页（共 23 页）A B C D【分析】由已知中的三视图可得该几何体是一个以俯视图为底面的三棱柱，代入柱体体积公式，可得答案【解答】解：由已知中的三视图可得该几何体是一个以俯视图为底面的三棱柱，底面等边三角形的高为 ，故底面棱长为 2，故底面面积 S ，高 h1，故体积 VSh ，故选：D【点评】本题考查的知识点是棱柱的体积和表面积，简单几何体的
16、三视图，难度中档8 （5 分）若（1x） n1+a 1x+a2x2+a3x3+anxn（nN *） ，且 a1：a 31：7，则 a5 等于（ ）A35 B35 C56 D56【分析】本题中由条件 a1：a 31：7 通过组合数公式可以搭建 n 的方程，从而可求出n 的值为 8，然后即可求出 a5【解答】解：由二项式定理可知 a1 n1n，a 3 n3 ，由 a1：a 31：7 得， ，n8，a 5C 85C 83 56故选：D【点评】本题主要考查二项式定理展开式在系数中的应用，属于基础题型，难度系数为第 11 页（共 23 页）0.89 （5 分）在ABC 中，4sinA+3co
17、sB5，4cosA+3sinB 2 ，则角 C 等于（ ）A150或 30 B120或 60 C30 D60【分析】利用同角函数的关系式求出 A，B 的关系，可得 C 的大小【解答】解：由 4sinA+3cosB5，可得：16sin 2A+9cos2B+24sinAcosB25 ，由 4cosA+3sinB2 ，可得：16cos 2A+9sin2B+24sinBcosA12，用+可得：25+24（sinA cosB+sinBcosA）37，sinAcosB +sinBcosAsin（A+ B）sinC，24sinC 12，sinC ，C150 或 C30当 C ，即 A+B 时，A
18、 ，cosAcos （ ） ，4cosA ，sinB0，3sinB0，3sinB+4cosA ，与题中的 3sinB+4cosA2 矛盾故选：C【点评】本题是基础题，考查三角函数的化简求值，注意角的范围的判断，是本题的易错点10 （5 分）在平面直角坐标系中，A（2，0） ，B（1，3） ，O 为坐标原点，且 + （+ 1） ，N（1，0） ，则| |的最小值为（ ）A B C D【分析】由题意知 A，B，M 共线，先求出直线 AB 的方程，再根据点到直线的距离公式，点 N 到直线的距离为 d，即为 | |的最小值【解答】解： + （+1） ，A，B，M 共线，A（2，0） ，B（
19、1，3） ，第 12 页（共 23 页）直线 AB 的方程为 xy +20，N（1，0） ，设点 N 到直线的距离为 d，d | |的 N 的最小值为 N 到直线 AB 的距离 ，故选：B【点评】本题主要考查向量的线性运算和几何意义以及直线方程和点到直线的距离公式，属于基础题11 （5 分）设 ，已知 0abc，且 f（a）f（b）f （c）0，若 x0是函数 f（x ）的一个零点，则下列不等式不可能成立的是（ ）Ax 0a B0x 01 Cbx 0c Dax 0b【分析】 在 R 上是减函数，即 f（a） 、f（b） 、f （c ）中一项为负，两项为正数；或者三项均为负数；判断零
20、点的位置即可【解答】解： ，在 R 上是减函数，0abc，且 f（a）f（b）f（c）0，f（a） 、f（b） 、f（c ）中一项为负，两项为正数；或者三项均为负数；即：f（c）0 ，0f（b）f （a） ；或 f（a）f （b）f（c）0；由于实数 x0 是函数 yf（x）的一个零点，当 f（c）0， 0f（b）f（ a）时，bx 0c，此时 B、 C 成立；当 f（a）f（b）f（c ） 0 时，x 0a，此时 A 成立；第 13 页（共 23 页）综上可得，D 不可能成立；故选：D【点评】本题主要考查函数基本特征与单调性应用，以及分类讨论应用，属中等题12 （5 分）过点 M（2，2 p
21、）引抛物线 x22py（p0）的切线，切点分别为 A，B，若，则 p 的值是（ ）A1 或 2 B 或 2 C1 D2【分析】求出直线 MA，MB 的方程，利用韦达定理，结合弦长公式，即可得出结论【解答】解：由题意设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） 由 x22py 得 y ，y ，因此直线 MA 的方程为 y+2p （x 2） ，整理可得 x124x 14p 20，同理，直线 MB 的方程为 x224x 24p 20，所以 x1，x 2 是方程 x24x4p 20 的两根，因此 x1+x24， x1x24p 2，又 kAB 由弦长公式得|AB| |x1x 2| 4 ，
22、所以 p1 或 p2，故选：A【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的关系的综合问题考查了学生分析推理能力，属于中档题二、填空题（本大题共四小题，每小题 5 分，共 20 分将答案填在答题卡上 ）13 （5 分）若复数 z（x 22x3）+（x+1）i 为纯虚数，则实数 x 的值为 3 【分析】直接由实部为 0 且虚部不为 0 列式求得 x 值【解答】解：z（x 22x 3）+（x+1）i 为纯虚数， ，解得：x3故答案为：3【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题14 （5 分）某同学使用计算器求 30 个数据的平均数时，错将其中一个数据 105 输入为第 14
23、页（共 23 页）15，那么由此求出的平均数与实际平均数的差是 3 【分析】在输入的过程中错将其中一个数据 105 输入为 15 少输入 90，在计算过程中共有 30 个数，所以少输入的 90 对于每一个数来说少 3，求出的平均数与实际平均数的差可以求出【解答】解：在输入的过程中错将其中一个数据 105 输入为 15少输入 90，而 3平均数少 3，求出的平均数减去实际的平均数等于3故答案为：3【点评】本题考查平均数的性质，求数据的平均值和方差是研究数据常做的，平均值反映数据的平均水平，而方差反映数据的波动大小，从两个方面可以准确的把握数据的情况15 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已
24、知 P 是函数 f（x）e x（x0）的图象上的动点，该图象在点 P 处的切线 l 交 y 轴于点 M，过点 P 作 l 的垂线交 y 轴于点 N，设线段 MN的中点的纵坐标为 t，则 t 的最大值是 （e+e 1 ） 【分析】先设切点坐标为（m ，e m） ，然后根据导数的几何意义求出函数 f（x ）在 xm处的导数，从而求出切线的斜率，求出切线方程，从而求出点 M 的纵坐标，同理可求出点 N 的纵坐标，将 t 用 m 表示出来，最后借助导数的方法求出函数的最大值即可【解答】解：设切点坐标为（m ，e m） 该图象在点 P 处的切线 l 的方程为 ye me m（x
25、m） 令 x0，解得 y（1m）e m过点 P 作 l 的垂线的切线方程为 ye me m （x m） 令 x0，解得 ye m+mem 线段 MN 的中点的纵坐标为 t （2m ）e m+mem t' e m+（2m）e m+em me m ，令 t'0 解得：m1当 m（0，1）时，t'0，当 m（1，+）时，t '0第 15 页（共 23 页）当 m1 时 t 取最大值 （e+e 1 ） 故答案为： （e+e 1 ） 【点评】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及利用导数研究函数的最值问题，属于中档题16 （5 分）在ABC 中，内角 A，B，
26、C 所对的边分别为 a，b，c，已知a2a2b2c 0 且 a+2b2c+30则ABC 中最大角的度数是 120 【分析】根据条件可得 b ，c ，显然 cb，假设c a，解得 a1 或 a3，刚好符合，故最大边为 c，由余弦定理求得 cosC 的值，即可得到 C 的值【解答】解：把 a2a2b2c0 和 a+2b2c+30 联立可得，b ，c ，显然 cb比较 c 与 a 的大小因为 b 0，解得 a3， （a1 的情况很明显为负数舍弃了） 假设 c a，解得 a1 或 a3，刚好符合，所以 ca，所以最大边为 c由余弦定理可得 c2a 2+b22abcosC，即 （ ） 2a 2+ 22a
27、 cosC，解得 cosC ，C120，故答案为：120【点评】本题主要考查余弦定理的应用，根据三角函数的值求角，判断最大边为 c，是解题的关键，属于中档题三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ）17 （10 分）S n 为数列a n的前 n 项和，已知 Sn+1 Sn+1（ 是大于 0 的常数） ，且a11，a 34（）求数列a n的通项公式；第 16 页（共 23 页）（）设 bnna n，求数列b n的前 n 项和【分析】 （）由已知数列递推式可得当 n2 时，S nS n1 +1与原递推式作差可得an+1a n，即 n2 时 验证 a2a
28、1，可得数列 an是等比数列结合已知求得 值，则数列a n的通项公式可求；（）把（）中求得的通项公式代入 bnna n，整理后利用错位相减法求数列b n的前 n 项和【解答】解：（）由 Sn+1 Sn+1 可知 当 n2 时，S nS n1 +1作差可得 an+1a n，即 n2 时 又 a11，故 a2a 1数列a n是等比数列由于 a3a 124，0，解得 2数a n的通项公式为： ；（）由 ，可知 设数列b n前 n 项和为 Tn，则 ，得： 2 n1n2 n 【点评】本题考查数列递推式，考查了等比关系的确定，训练了错位相减法求数列的前n 项和，是中档题18 （10 分）某批
29、发市场对某种商品的周销售量（单位：吨）进行统计，最近 100 周的统计结果如下表所示：周销售量 2 3 4第 17 页（共 23 页）频数 20 50 30（1）根据上面统计结果，求周销售量分别为 2 吨，3 吨和 4 吨的频率；（2）已知每吨该商品的销售利润为 2 千元， 表示该种商品两周销售利润的和（单位：千元） ，若以上述频率作为概率，且各周的销售量相互独立，求 的分布列和数学期望【分析】 （1）因为样本容量是 100，根据表格可知周销售量为 2 吨，3 吨和 4 吨的频数，根据所给的频数除以 100，得到要求的频率（2） 表示该种商品两周销售利润的和，且各周的销售量相互独立，根据表格得
30、到变量 的可能取值，对应变量的事件，根据相互独立事件同时发生的概率做出分布列和期望【解答】解：（1）根据表格可知周销售量为 2 吨，3 吨和 4 吨的频率分别为0.2， 0.5 和 0.3（2） 的可能值为 8，10，12，14，16，且P（8）0.2 20.04，P（10）20.20.50.2，P（12）0.5 2+20.20.30.37，P（14）20.50.30.3，P（16）0.3 20.09 的分布列为 8 10 12 14 16P 0.04 0.2 0.37 0.3 0.09E80.04+100.2+12 0.37+140.3+160.0912.4（千元）【点评】本小题主要考查频率
31、、概率、数学期望等基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力，考查相互独立事件同时发生的概率，是一个综合题目19 （10 分）如图，正方形 ACDE 所在的平面与平面 ABC 垂直，M 是 CE 和 AD 的交点，ACBC，且 ACBC（）求证：AM平面 EBC；（）求二面角 AEB C 的大小第 18 页（共 23 页）【分析】几何法：（）由已知得 AMEC，ACBC ，由此能证明 AM平面 EBC（）过 A 作 AHEB 于 H，连结 HM，由已知得AHM 是二面角 AEB C 的平面角，由此能求出二面角 AEBC 的大小向量法：（）以点 A 为原点，以过 A 点平行于 BC 的直线为
32、x 轴，分别以直线 AC 和 AE 为 y轴和 z 轴，建立空间直角坐标系 Axyz，利用向量法能证明 AM平面 EBC（2）求出平面 EAB 的法向量和平面 EBC 的法向量，利用向量法能求出二面角AEBC 的大小【解答】 （本小题满分 12 分）几何法：（）证明：四边形 ACDE 是正方形，AMEC，又平面 ACDE平面 ABC，AC BC ，BC平面 EAC，（3 分）BC平面 EAC，BCAM，又ECBCC，AM 平面 EBC（6 分）（）解：过 A 作 AHEB 于 H，连结 HM，AM平面 EBC，AMEB，EB平面 AHM，AHM 是二面角 AEBC 的平面角，（8 分）平面 A
33、CDE平面 ABC，EA平面 ABC，EA AB，在 Rt EAB 中，AH EB，有 AEABEB AH，设 EAACBC2a，得，AB2 a，EB 2 a， ，sin ， AHM60二面角 AEB C 等于 60（12 分）第 19 页（共 23 页）向量法：（）证明：四边形 ACDE 是正方形，EAAC，平面 ACDE平面 ABC，EA平面 ABC，（2 分）以点 A 为原点，以过 A 点平行于 BC 的直线为 x 轴，分别以直线 AC 和 AE 为 y 轴和 z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 Axyz，设 EAACBC2，则 A（ 0，0，0） ，C （0，2，0） ，E （0，0
34、，2） ，M 是正方形 ACDE 的对角线的交点， M（0，1，1） ，（ 4 分）（0，1，1） ， （0，2，2） ， ， ，AMEC，AMBC ，又 ECBCC，AM 平面 EBC（6 分）（2）设平面 EAB 的法向量为 ，则 ， ，取 y1，则 x1，则 （1，1，0） ，（10 分）又 为平面 EBC 的一个法向量，cos ，设二面角 AEB C 的平面角为 ，则 cos|cos | ，60，二面角 AEB C 等于 60（12 分）第 20 页（共 23 页）【点评】本题考查直线与平面垂直的证明，考查二面角的大小的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养20 （15 分）已
35、知：向量 （ ，0） ，O 为坐标原点，动点 M 满足：| + |+| |4（1）求动点 M 的轨迹 C 的方程；（2）已知直线 l1，l 2 都过点 B（0，1） ，且 l1l 2，l 1，l 2 与轨迹 C 分别交于点 D，E ，试探究是否存在这样的直线使得BDE 是等腰直角三角形若存在，指出这样的直线共有几组（无需求出直线的方程） ；若不存在，请说明理由【分析】 （1）由：| + |+| |4， （ ，0） ，知动点 M 的轨迹是以点（，0）为焦点、4 为长轴长的椭圆，即可求动点 M 的轨迹 C 的方程；（2）设直线方程，求出 D， E 的坐标，利用BDE 是等腰直角三角形，可得|BD|
36、BE|，即 ，从而可得结论【解答】解：（1）由：| + |+| |4， （ ，0） ，知动点 M 的轨迹是以点（ ，0）为焦点、4 为长轴长的椭圆，c ，a2，b1，所求的方程为 1（2）设 BD：ykx+1 ，代入上式得（1+4 k2）x 2+8kx0，x 10，x 2 x D，l 1l 2，以 代 k，得 xEBDE 是等腰直角三角形，第 21 页（共 23 页）|BD |BE|， ，|k |（k 2+4）1+4k 2，k0 时变为 k34k 2+4k10，k 1 或 ；k0 时变为 k3+4k2+4k10，k1 或 使得BDE 是等腰直角三角形的直线共有 3 组【点评】本题考查椭圆方程，
37、考查直线与椭圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，确定椭圆的方程是关键21 （15 分）已知函数 （1）当 a1 时，x 01，e使不等式 f（x 0）m ，求实数 m 的取值范围；（2）若在区间（1，+）上，函数 f（x ）的图象恒在直线 y2ax 的下方，求实数 a 的取值范围【分析】 （I）将 a 的值代入 f（x） ，求出 f（x）的导函数；，将x 01，e使不等式f（x 0）m 转化为 f（x）的最小值小于等于 m，利用1， e上的函数递增，求出 f（x）的最小值，令最小值小于等于 m 即可（II）将图象的位置关系转化为不等式恒成立；通过构造函数，对新函数求导，对导函数的根与区间
38、的关系进行讨论，求出新函数的最值，求出 a 的范围【解答】解：（I）当 a1 时， ，可知当 x1， e时 f（x）为增函数，最小值为 ，要使x 01，e 使不等式 f（x 0）m ，即 f（x）的最小值小于等于 m，故实数 m 的取值范围是（2）已知函数 若在区间（1，+）上，函数 f（x ）的图象恒在直线 y2ax 的下方，第 22 页（共 23 页）等价于对任意 x（1，+） ，f（x）2ax ，即 恒成立设 即 g（x）的最大值小于 0.（1）当 时， ， 为减函数g（1）a 0a（2）a1 时， 为增函数，g（x）无最大值，即最大值可无穷大，故此时不满足条件（3）当 时，g（x）在
39、上为减函数，在 上为增函数，同样最大值可无穷大，不满足题意综上实数 a 的取值范围是 【点评】解决不等式恒成立及不等式有解问题一般都转化为函数的最值问题，通过导数求函数的最值，进一步求出参数的范围请考生在 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，做答时请写清题号22 （10 分）已知直线 l： （t 为参数） 以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的坐标方程为 2cos（1）将曲线 C 的极坐标方程化为直坐标方程；（2）设点 M 的直角坐标为（ 5， ） ，直线 l 与曲线 C 的交点为 A，B，求|MA| |MB|的值第 23 页（共 23 页
40、）【分析】 （1）曲线的极坐标方程即 22cos ，根据极坐标和直角坐标的互化公式得x2+y22x，即得它的直角坐标方程；（2）直线 l 的方程化为普通方程，利用切割线定理可得结论【解答】解：（1）2cos ， 22 cos，x 2+y22x，故它的直角坐标方程为（x1） 2+y2 1；（2）直线 l： （ t 为参数） ，普通方程为 ， （5， ）在直线l 上，过点 M 作圆的切线，切点为 T，则| MT|2（51） 2+3118，由切割线定理，可得|MT |2|MA| MB|18【点评】本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，属于基础题选做题23设不等式|x +1|+|x1|2 的解集为 M（）求集合 M；（）若 xM，| y| ，|z| ，求证：|x+2y3z| 【分析】 （）由条件利用绝对值的意义求得 M（）由条件利用绝对值不等式的性质可证得不等式【解答】解：（）根据绝对值的意义，|x +1|+|x1|表示数轴上的 x 对应点到1、1 对应点的距离之和，它的最小值为 2，故不等式|x+1|+| x1|2 的解集为 M 1，1（）xM ， |y| ，|z| ，|x +2y3z| x|+2|y|+3|z|1+2 +3 ，：|x+2y 3z| 成立【点评】本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，绝对值三角不等式，属于基础题
