1、2019 年四川省内江市高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题共 12 小题每小题 5 分，共 60 分在每个小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡的指定位置.）1 （5 分）已知集合 AxN|x1，Bx|1x2，则 AB（ ）A0 ，1 B1，0，1 C 1，1 D12 （5 分）设 z +2i，则| z|（ ）A B2 C D13 （5 分）如图是民航部门统计的 2017 年春运期间十二个城市售出的往返机票的平均价格以及相比去年同期变化幅度的数据统计图表，根据图表，下面叙述不正确的是（ ）A深圳的变化幅度最小，北
2、京的平均价格最高B深圳和厦门的春运期间往返机票价格同去年相比有所下降C平均价格从高到低居于前三位的城市为北京、深圳、广州D平均价格变化量从高到低居于前三位的城市为天津、西安、厦门4 （5 分）记 Sn 为等差数列a n的前 n 项和，若 a33， S621，则数列a n的公差为（ ）A1 B1 C2 D25 （5 分）若| |1，| |2， | | ，则 与 的夹角为（ ）A B C D6 （5 分）长方体 ABCDA 1B1C1D1，AB1，AD2，AA 13，则异面直线 A1B1 与 AC1所成角的余弦值为（ ）第 2 页（共 25 页）A B C D7
3、 （5 分）函数 f（x ）ln（x 2+2）e x1 的图象可能是（ ）A BC D8 （5 分）设x表示不小于实数 x 的最小整数，执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（ ）A20 B25 C24 D219 （5 分）若函数 f（x ） +lnxx，则曲线 yf （x）在点（1，f（1） ）处的切线的倾斜角是（ ）A B C D10 （5 分）已知函数 f（x ） 2sin 2x，给出下列四个结论：函数 f（x）的最小正周期是 ；第 3 页（共 25 页）函数 f（x）在区间 上是减函数；函数 f（x）的图象关于点（ ，0）对称；函数 f（x）的图象可
4、由函数 y sin2x 的图象向右平移 个单位再向下平移 1 个单位得到其中正确结论的个数是（ ）A1 B2 C3 D411 （5 分）在ABC 中，已知 AB ，AC 2 ，点 D 为 BC 的三等分点（靠近点 C） ，则 的取值范围为（ ）A （3，5） B （5，5 ） C （5，9） D （5，7）12 （5 分）设函数 f（x ）在 R 上存在导数 f（x） ，对任意的 xR，有 f（x）f（x）0，且 x0，+ ）时 f（ x）2x，若 f（a2）f （ a）44a，则实数 a 的取值范围为（ ）A （，1 B1，+） C （，2 D2 ，+）二
5、、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分）13 （5 分） （ 3） 7 的展开式中 x3 的系数为 14 （5 分）设 x，y 满足约束条件 ，则 x2x+y 的最小值为 15 （5 分）已知 F1、F 2 分别是椭圆 E： 1（ab0）的左、右焦点，过 F2 的直线 l 与 E 交于 P、Q 两点，若| PF2|2|QF 2|，且| QF1|3| QF2|，则椭圆 E 的离心率为 16 （5 分）设数列a n满足 a11，a 24，a 39，a na n1 +an2 a n3 （nN*，
6、n4） ，则 a2018 三、解答题（共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答，第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 ）必考题：共60 分17 （12 分）正项等比数列a n，若 2a1+3a21，a 329a 2a6（1）求数列a n的通项公式；第 4 页（共 25 页）（2）设 bnlog 3a1+log3a2+log3a3+log3an，求数列 的前 n 项和 Sn18 （12 分）国家质量监督检验检疫局于 2004 年 5 月 31 日发布了新的车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阀值与检验国家
7、标准新标准规定：车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于 20 毫克/百毫升，小于 80 毫克/ 百毫升为饮酒驾车，血液中的酒精含量大于或等于 80 毫克/百毫升为醉酒驾车经过反复试验，喝一瓶啤酒后酒精在人体血液中的变化规律的“散点图”如下：该函数模型如下：f（x）根据上述条件，回答以下问题：（）试计算喝一瓶啤酒多少小时血液中的酒精含量达到最大值？最大值是多少？（）试计算喝一瓶啤酒多少小时后才可以驾车？（时间以整小时计算）（参考数据：ln152.71，ln303.40，ln904.50）19 （12 分）如图，D 是直角 ABC 斜边 BC 上一点，AC （1）若CAD30，求角 B 的大小；（
8、2）若 BD2DC，且 AD2 ，求 CD 的长20 （12 分）交强险是车主必须为机动车购买的险种若普通 6 座以下私家车投保交强险第一年的费用（基准保费）统一为 a 元，在下一年续保时，实行的是费率浮动机制，保第 5 页（共 25 页）费与上一年度车辆发生道路交通事故的情况相联系，发生交通事故的次数越多，费率也就越高，具体浮动情况如表：交强险浮动因素和浮动费率比率表浮动因素 浮动比率A1 上一个年度未发生有责任道路交通事故 下浮10%A2 上两个年度未发生有责任道路交通事故 下浮20%A3 上三个及以上年度未发生有责任道路交通事故 下浮30%A4 上一个年度发生一次有责任不涉及死亡的道路交
9、通事故 0%A5 上一个年度发生两次及两次以上有责任道路交通事故 上浮10%A6 上一个年度发生有责任道路交通死亡事故 上浮30%某机构为了研究某一品牌普通 6 座以下私家车的投保情况，随机抽取了 60 辆车龄已满三年的该品牌同型号私家车的下一年续保时的情况，统计得到了下面的表格：类型 A1 A2 A3 A4 A5 A6数量 10 5 5 20 15 5以这 60 辆该品牌车的投保类型的频率代替一辆车投保类型的概率，完成下列问题：（）按照我国机动车交通事故责任强制保险条例汽车交强险价格的规定a950记 X 为某同学家的一辆该品牌车在第四年续保时的费用，求 X 的分布列与数学期望值；（数学期望值
10、保留到个位数字）（）某二手车销售商专门销售这一品牌的二手车，且将下一年的交强险保费高于基本保费的车辆记为事故车假设购进一辆事故车亏损 5000 元，一辆非事故车盈利 10000元：若该销售商购进三辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求这三辆车中至多有一辆事故车的概率；第 6 页（共 25 页）若该销售商一次购进 100 辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求他获得利润的期望值21 （12 分）已知函数 f（x ）e x+ax+ln（x+1）1（1）求 f（x）在 x0 处的切线方程；（2）若 x0 时，f（x）0 恒成立，求实数 a 的取值范围；（3）求证：e （二）选考题：共 10 分，请考生在第
11、2223 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第题计分选惨 4-4：坐标系与参数方程（10 分）22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为 （ 为参数） ，以原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 4sin（）求曲线 C1 的普通方程和 C2 的直角坐标方程；（）已知曲线 C3 的极坐标方程为 ，0 ，R，点 A 是曲线 C3 与 C1 的交点，点 B 是曲线 C3 与 C2 的交点，且 A，B 均异于原点 O，且| AB|4 ，求实数 的值选修 4-5：不等式选讲 （10 分）23已知 f（x） x2+|2x4|+ a（1）当
12、 a3 时，求不等式 f（x ）x 2+|x|的解集；（2）若不等式 f（x ）0 的解集为实数集 R，求实数 a 的取值范围第 7 页（共 25 页）2019 年四川省内江市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共 12 小题每小题 5 分，共 60 分在每个小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡的指定位置.）1 （5 分）已知集合 AxN|x1，Bx|1x2，则 AB（ ）A0 ，1 B1，0，1 C 1，1 D1【分析】集合 A 与集合 B 的公共元素构成集合 AB【解答】解：集合 AxN |x1，Bx|1x2，AB
13、0，1 故选：A【点评】本题考查集合的交集及其运算，是基础题解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化2 （5 分）设 z +2i，则| z|（ ）A B2 C D1【分析】利用复数的运算法则及其性质即可得出【解答】解：z +2i +2i1+i ，则|z| 故选：C【点评】本题考查了复数的运算法则及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题3 （5 分）如图是民航部门统计的 2017 年春运期间十二个城市售出的往返机票的平均价格以及相比去年同期变化幅度的数据统计图表，根据图表，下面叙述不正确的是（ ）第 8 页（共 25 页）A深圳的变化幅度最小，北京的平均价
14、格最高B深圳和厦门的春运期间往返机票价格同去年相比有所下降C平均价格从高到低居于前三位的城市为北京、深圳、广州D平均价格变化量从高到低居于前三位的城市为天津、西安、厦门【分析】根据折线的变化率，得到相比去年同期变化幅度、升降趋势，逐一验证即可【解答】解：由图可知 D 错误故选：D【点评】本题考查了条形统计图的应用，从图表中准确获取信息是关键，属于中档题4 （5 分）记 Sn 为等差数列a n的前 n 项和，若 a33， S621，则数列a n的公差为（ ）A1 B1 C2 D2【分析】利用等差数列a n的前 n 项和与通项公式列方程组，求出首项和公差，由此能求出数列a n的公差【解
15、答】解：S n 为等差数列a n的前 n 项和，a 33，S 621， ，解得 a11，d1数列a n的公差为 1故选：A【点评】本题考查数列的公差的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题5 （5 分）若| |1，| |2， | | ，则 与 的夹角为（ ）A B C D【分析】根据 ，对 两边平方即可求出 ，从而可求出 ，这样即可求出 与 的夹角【解答】解： ； ；第 9 页（共 25 页） ； ；又 ； 的夹角为 故选：D【点评】考查向量数量积的运算，向量夹角的余弦公式，以及已知三角函数值求角6 （5 分）长方体 ABCDA 1B1C1D1，AB1，AD
16、2，AA 13，则异面直线 A1B1 与 AC1所成角的余弦值为（ ）A B C D【分析】由已知画出图形，连接 BC1，由 ABA 1B1，可得C 1AB 为异面直线 A1B1 与AC1 所成角，求解三角形得答案【解答】解：如图，连接 BC1，由 ABA 1B1，C 1AB 为异面直线 A1B1 与 AC1 所成角，由已知可得 ，则 cosC 1AB 即异面直线 A1B1 与 AC1 所成角的余弦值为 故选：A【点评】本题考查异面直线所成角，考查数学转化思想方法，是基础题7 （5 分）函数 f（x ）ln（x 2+2）e x1 的图象可能是（ ）第 10 页（共 25
17、 页）A BC D【分析】分析四个图象的不同，从而判断函数的性质，利用排除法求解【解答】解：当 x+时，f （x），故排除 D；易知 f（x）在 R 上连续，故排除 B；且 f（0）ln2e 1 0，故排除 C，故选：A【点评】本题考查了函数的性质的判断与数形结合的思想方法应用8 （5 分）设x表示不小于实数 x 的最小整数，执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（ ）A20 B25 C24 D21【分析】直接利用程序框图的循环结构及取整数的应用求出结果第 11 页（共 25 页）【解答】解：设x表示不小于实数 x 的最小整数，执行如图所示的程序框图，故：执行第一次循环：S0+00
18、，执行第二次循环：S0+11，执行第三次循环：S1+log 232，当执行第 11 次循环时，S16+ 20，故选：A【点评】本题考查的知识要点：程序框图的应用，循环结构的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型9 （5 分）若函数 f（x ） +lnxx，则曲线 yf （x）在点（1，f（1） ）处的切线的倾斜角是（ ）A B C D【分析】根据题意，设切线的斜率为 k，其倾斜角是 ，求出函数 f（x）的导数，利用导数的几何意义可得 kf（1） ，即 tan ，结合 的范围，分析可得答案【解答】解：根据题意，设切线的斜率为 k，其倾斜角是 ，f（x） +lnxx，则
19、f（x ） x2+ 1，则有 kf（1 ） ，则 tan ，又由 0，则 ，故选：B【点评】本题考查利用导数分析切线的方程，关键是掌握导数的几何意义，属于基础题10 （5 分）已知函数 f（x ） 2sin 2x，给出下列四个结论：函数 f（x）的最小正周期是 ；函数 f（x）在区间 上是减函数；第 12 页（共 25 页）函数 f（x）的图象关于点（ ，0）对称；函数 f（x）的图象可由函数 y sin2x 的图象向右平移 个单位再向下平移 1 个单位得到其中正确结论的个数是（ ）A1 B2 C3 D4【分析】利用二倍角公式以及两角和与差的三角函数化简函数的解析式，求解函数的周期
20、判断 的正误；利用函数的单调性判断 的正误；利用函数 ysin x 的中心判断 的正误；函数的图象的变换判断的正误；【解答】解：f（x ）sin2x 2sin2x+11sin 2x+cos 2x sin（2x+ ）1因为 2，则 f（x）的最小正周期 T，结论正确当 x 时，2x+ ， ，则 sinx 在 上是减函数，结论正确因为 f（ ）1，则函数 f（x）图象的一个对称中心为（ ，1）结论不正确函数 f（x）的图象可由函数 y sin2x 的图象向左平移 个单位再向下平移 1 个单位得到结论不正确故正确结论有 ，故选：B【点评】本题考查了命题的真假的判断，三角函数的化简以及图象和性质的应用
21、问题，是综合性题目11 （5 分）在ABC 中，已知 AB ，AC 2 ，点 D 为 BC 的三等分点（靠近点 C） ，则 的取值范围为（ ）A （3，5） B （5，5 ） C （5，9） D （5，7）【分析】利用向量加法法则把所求数量积转化为向量 的数量积，再利用余弦函数求最值，得解【解答】解：如图，第 13 页（共 25 页）8172cosBACBAC（0，） ，cosBAC （ 1，1） ，72cosBAC（5，9） ，故选：C【点评】此题考查了数量积，向量加减法法则，三角函数最值等，难度不大12 （5 分）设函数 f（x ）在 R 上存在导数 f（x） ，对任意的 xR
22、，有 f（x）f（x）0，且 x0，+ ）时 f（ x）2x，若 f（a2）f （ a）44a，则实数 a 的取值范围为（ ）A （，1 B1，+） C （，2 D2 ，+）【分析】先判断函数为偶函数，再构造函数 g（x）f （x）x 2，根据导数和函数单调性的关系判断 g（x）的单调性，由 f（a2）（a2） 2f（a）+a 2，可得 g（a2）g（a） ，即可求出 a 的范围【解答】解：对任意的 xR，有 f（x）f（x ）0，f（x）为偶函数，设 g（x）f（ x）x 2，g（x）f（x）2x，第 14 页（共 25 页）x0， +）时 f（x）2x，g（x）f（x）2x0，
23、g（x）在0，+ ）为增函数，f（a2）f（a）44a，f（a2）（a2） 2f（a）a 2，g（a2）g（a） ，|a 2|a|，解得 a1，故选：A【点评】本题主要考查函数的奇偶性、单调性的应用，体现了转化的数学思想，属于中档题二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分）13 （5 分） （ 3） 7 的展开式中 x3 的系数为 21 【分析】写出二项展开式的通项，由 x 的指数为 3 求得 r 值，则答案可求【解答】解：（ 3） 7 的展开式的通项由 ，得 r1（ 3） 7 的展开式中 x3 的系数为 故答案为：21【点评】本题考查二项式定理及其应用，关键是熟记二项展
24、开式的通项，是基础题14 （5 分）设 x，y 满足约束条件 ，则 x2x+y 的最小值为 4 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用 z 的几何意义，即可得到结论【解答】解：作出 x，y 满足约束条件 对应的平面区域如图：由 z2x+y 得 y2x +z，平移直线 y2x +z，由图象可知当直线 y2x +z 经过点 A 时，直线的截距最小，第 15 页（共 25 页）此时 z 最小，由 ，解得 A（1，2） ，此时 z21+24，故答案为：4【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键15 （5 分）已知 F1、F 2 分别是椭圆 E： 1（ab0）的左、右焦点，过
25、F2 的直线 l 与 E 交于 P、Q 两点，若| PF2|2|QF 2|，且| QF1|3| QF2|，则椭圆 E 的离心率为 【分析】由题意画出图形，由已知结合椭圆定义可得：|PF 2|aex 1，|QF 2|aex 2，再由焦半径公式求得 P，Q 的坐标，再由点 P，Q ，F 2 共线列式求解【解答】解：如图，设 P（x 1，y 1） ，Q （x 2，y 2） ，由|QF 1|3|QF 2|，且|QF 1|+|QF2|2a，得 4|QF2|2a，则|QF 2| ，又|PF 2| 2|QF2|，|PF 2|a，由焦半径公式得：|PF 2|aex 1，|QF 2|aex 2，则 aex 1a
26、，aex 2 ， ，可得 Q（ ， ） ，由 ，可得 ，第 16 页（共 25 页）即 e 故答案为： 【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查焦半径公式及椭圆定义的应用，是中档题16 （5 分）设数列a n满足 a11，a 24，a 39，a na n1 +an2 a n3 （nN*，n4） ，则 a2018 8068 【分析】数列a n满足 a11，a 24，a 39，a na n1 +an2 a n3 （nN*，n4） ，即 an+an3 a n1 +an2 （nN*，n4） ，a 4a 3+a2a 112，同理可得：a517a 620，a 725，a 828，a 933，可得数列a n的奇
27、数项与偶数项分别成等差数列，公差都为 8即可得出【解答】解：数列a n满足a11，a 24，a 39，a na n1 +an2 a n3 （n N*，n4） ，即 an+an3 a n1 +an2 （nN*，n4） ，a4a 3+a2a 112，同理可得：a 517a 620，a 725，a 828，a 933，数列a n的奇数项与偶数项分别成等差数列，公差都为 8则 a2018a 2+（10091）84+80648068故答案为：8068【点评】本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题三、解答题（共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程
28、或演算步骤，第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答，第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 ）必考题：共60 分17 （12 分）正项等比数列a n，若 2a1+3a21，a 329a 2a6第 17 页（共 25 页）（1）求数列a n的通项公式；（2）设 bnlog 3a1+log3a2+log3a3+log3an，求数列 的前 n 项和 Sn【分析】 （1）通过 a329a 2a69a 3a5 计算可知 q 2 ，进而可知公比 q ，通过 2a1+3a21 可知 a1 ，进而计算可得结论；（2）通过（1）可知 log3an n，从而 bn ，裂项可知 2（ ） ，并项相加
29、即得结论【解答】解：（1）依题意，a 329a 2a69a 3a5， q 2 ，解得：q 或 q （舍） ，又2a 1+3a21，即 2a1+3 a11，a 1 ，数列a n是首项、公比均为 的等比数列，其通项公式 an ；（2）由（1）可知 log3anlog 3 n，b nlog 3a1+log3a2+log3a3+log3an12n ， 2（ ） ，数列 的前 n 项和 Sn2（1 + ）2（1 ） 【点评】本题考查数列的通项，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题第 18 页（共 25 页）18 （12 分）国家质量监督检验检疫局于 2004 年 5 月 31 日发布了新的车
30、辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阀值与检验国家标准新标准规定：车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于 20 毫克/百毫升，小于 80 毫克/ 百毫升为饮酒驾车，血液中的酒精含量大于或等于 80 毫克/百毫升为醉酒驾车经过反复试验，喝一瓶啤酒后酒精在人体血液中的变化规律的“散点图”如下：该函数模型如下：f（x）根据上述条件，回答以下问题：（）试计算喝一瓶啤酒多少小时血液中的酒精含量达到最大值？最大值是多少？（）试计算喝一瓶啤酒多少小时后才可以驾车？（时间以整小时计算）（参考数据：ln152.71，ln303.40，ln904.50）【分析】 （）利用分段函数的解析式，转化求解血液中的酒精含量达到最大
31、值即可（）通过分段函数，以及函数的单调性，转化求解即可【解答】解：（）由图可知，当函数 f（x ）取得最大值时，0x2，（1 分）此时 ，（2 分）当 ，即 时，函数 f（x ）取得最大值为 ymax40+1353故喝一瓶啤酒 1.5 小时血液中的酒精含量达到最大值 53 毫克/百毫升（5 分）（）由题意知，当车辆驾驶人员血液中的酒精小于 20 毫克/百毫升时可以驾车，此时第 19 页（共 25 页）x2由 90e0.5x +1420，得 ，（7 分）两边取自然对数，得 （9 分）即0.5xln 15，所以 ，（11 分）故喝啤酒后需 6 个小时后才可以合法驾车（12 分）注：如果根据图象猜
32、6 个小时，可给结果分（2 分） 【点评】本题考查分段函数的应用，函数的最值以及单调性的应用，考查计算能力19 （12 分）如图，D 是直角 ABC 斜边 BC 上一点，AC （1）若CAD30，求角 B 的大小；（2）若 BD2DC，且 AD2 ，求 CD 的长【分析】 （1）根据正弦定理即可求出，（2）根据余弦地理和同角的三角函数的关系即可求出【解答】解：（1）在ABC 中，根据正弦定理，有 ， 又 ， ，第 20 页（共 25 页） ， ；（2）设 DCx，则 ， 在ABD 中，AD 2AB 2+BD22AB BDcosB，即 ，得 故 【点评】本题考查了正弦定理余弦定理的应用，以及解三
33、角形的问题，属于中档题20 （12 分）交强险是车主必须为机动车购买的险种若普通 6 座以下私家车投保交强险第一年的费用（基准保费）统一为 a 元，在下一年续保时，实行的是费率浮动机制，保费与上一年度车辆发生道路交通事故的情况相联系，发生交通事故的次数越多，费率也就越高，具体浮动情况如表：交强险浮动因素和浮动费率比率表浮动因素 浮动比率A1 上一个年度未发生有责任道路交通事故 下浮10%A2 上两个年度未发生有责任道路交通事故 下浮20%A3 上三个及以上年度未发生有责任道路交通事故 下浮30%A4 上一个年度发生一次有责任不涉及死亡的道路交通事故 0%A5 上一个年度发生两次及两次以上有责任
34、道路交通事故 上浮10%A6 上一个年度发生有责任道路交通死亡事故 上浮30%某机构为了研究某一品牌普通 6 座以下私家车的投保情况，随机抽取了 60 辆车龄已满三年的该品牌同型号私家车的下一年续保时的情况，统计得到了下面的表格：第 21 页（共 25 页）类型 A1 A2 A3 A4 A5 A6数量 10 5 5 20 15 5以这 60 辆该品牌车的投保类型的频率代替一辆车投保类型的概率，完成下列问题：（）按照我国机动车交通事故责任强制保险条例汽车交强险价格的规定a950记 X 为某同学家的一辆该品牌车在第四年续保时的费用，求 X 的分布列与数学期望值；（数学期望值保留到个位数字）（）某二
35、手车销售商专门销售这一品牌的二手车，且将下一年的交强险保费高于基本保费的车辆记为事故车假设购进一辆事故车亏损 5000 元，一辆非事故车盈利 10000元：若该销售商购进三辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求这三辆车中至多有一辆事故车的概率；若该销售商一次购进 100 辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求他获得利润的期望值【分析】 （）由题意可知 X 的可能取值为 0.9a，0.8a，0.7a，a，1.1a，1.3a由统计数据可知其概率及其分布列（II）由统计数据可知任意一辆该品牌车龄已满三年的二手车为事故车的概率为 ，三辆车中至多有一辆事故车的概率为 P + 设 Y 为该销售商购进并销售一辆二手
36、车的利润， Y 的可能取值为5000，10000即可得出分布列与数学期望【解答】解：（）由题意可知 X 的可能取值为0.9a，0.8a，0.7a，a，1.1a，1.3a（2 分）由统计数据可知：P（X0.9a） ，P （X0.8a） ，P（X 0.7a） ，P（Xa） ，P（X 1.1a） ，P（X1.3a） 所以 X 的分布列为：X 0.9a 0.8a 0.7a a 1.1a 1.3a第 22 页（共 25 页）P（4 分）所以 EX0.9a +0.8a +0.7a +a +1.1a +1.3a 942 （5 分）（） 由统计数据可知任意一辆该品牌车龄已满三年的二手车为事故车的概率为 ，三辆
37、车中至多有一辆事故车的概率为 P + （8 分）设 Y 为该销售商购进并销售一辆二手车的利润， Y 的可能取值为5000，10000所以 Y 的分布列为：Y 5000 10000P所以 EY5000 +10000 5000（10 分）所以该销售商一次购进 100 辆该品牌车龄已满三年的二手车获得利润的期望值为100EY50 万元（12 分）【点评】本题考查了随机变量的分布列与数学期望、相互独立与互斥事件的概率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题21 （12 分）已知函数 f（x ）e x+ax+ln（x+1）1（1）求 f（x）在 x0 处的切线方程；（2）若 x0 时，f（x）0
38、恒成立，求实数 a 的取值范围；（3）求证：e 【分析】 （1）求得 f（x ）的导数，可得切线的斜率，进而得到 f（x）在 x0 处的切线方程；（2）f（x） ex+a+ ， ， 在0，+ ）上单调递增，可得 f（x）f （0）a+2 ，讨论（ i）当 2+a0 时， （ii ）当 2+a0 时；（3）由（1）知，当 a2 时，f（x ）e x2x+ln （x+1）1 在0，+）上单调递第 23 页（共 25 页）增则 f（ ）f（0） ，即 e 1+ln （ ）10，由 ln ，即可得到证明【解答】解：（1）f（x ）e x+a+ ，f（0）2+a ，又 f（0）0，f（x）在 x0 处的
39、切线方程为：y（a+2）x；（2）若 x0 时，则 f（x）e x+a+ ， ，在0， +）上单调递增，f （x）f（0）0则 f（x）在0，+ ）上单调递增，f （x）f（0）a+2，当 a+20，即 a2 时， f（x）0，则 f（x）在0，+）上单调递增此时 f（x） f（0）0，满足题意若 a 2，由 f（x ）在 0，+）上单调递增由于 f（0）2+a0，x + 时，f （x）0故x 0（ 0，+） ，使得 f（ x0）0则当 0xx 0 时， f（x ）f （x 0）0函数 f（x）在（ 0，x 0）上单调递减f（x 0）f（0） 0，不恒成立舍去综上所述，实数 a 的取值范围是2
40、，+ ） （3）证明：由（1）知，当 a2 时，f（x ）e x2x+ln（x+1）1 在0，+）上单调递增则 f（ ）f（0） ，即 e 1+ln （ ）10ln ，即 e【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率、单调区间和极值、最值，考查不等式恒成立问题的解法，以及不等式的证明，注意运用分类讨论和构造函数法，考查化简整理的运算能力，属于难题（二）选考题：共 10 分，请考生在第 2223 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第题计分选惨 4-4：坐标系与参数方程（10 分）第 24 页（共 25 页）22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为 （ 为参数） ，以原
41、点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 4sin（）求曲线 C1 的普通方程和 C2 的直角坐标方程；（）已知曲线 C3 的极坐标方程为 ，0 ，R，点 A 是曲线 C3 与 C1 的交点，点 B 是曲线 C3 与 C2 的交点，且 A，B 均异于原点 O，且| AB|4 ，求实数 的值【分析】 （）由曲线 C1 的参数方程消去参数能求出曲线 C1 的普通方程；曲线 C2 的极坐标方程化为 24 sin，由此能求出 C2 的直角坐标方程（）曲线 C1 化为极坐标方程为 4cos，设 A（ 1， 1） ，B（ 2， 2） ，从而得到|AB| 1 2|4sin
42、4cos| 4 |sin（ ）| 4 ，进而 sin（ ）1，由此能求出结果【解答】解：（）由曲线 C1 的参数方程为 （ 为参数） ，消去参数得曲线 C1 的普通方程为（ x2） 2+y24曲线 C2 的极坐标方程为 4sin ， 24 sin，C 2 的直角坐标方程为 x2+y24y，整理，得 x2+（y2） 24（）曲线 C1：（x 2） 2+y24 化为极坐标方程为 4cos ，设 A（ 1， 1） ，B（ 2， 2） ，曲线 C3 的极坐标方程为 ，0 ，R ，点 A 是曲线 C3 与 C1 的交点，点 B 是曲线 C3 与 C2 的交点，且 A，B 均异于原点 O，且| AB|4
43、，|AB| |1 2|4sin4cos| 4 |sin（ ）| 4 ，sin（ ）1，0 ， ， ，解得 【点评】本题考查曲线的普通方程、直角坐标方程的求法，考查角的求法，涉及到直角坐标方程、极坐标方程、参数方程的互化，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题第 25 页（共 25 页）选修 4-5：不等式选讲 （10 分）23已知 f（x） x2+|2x4|+ a（1）当 a3 时，求不等式 f（x ）x 2+|x|的解集；（2）若不等式 f（x ）0 的解集为实数集 R，求实数 a 的取值范围【分析】 （1）当 a3 时，f（x ）x 2+|2x4| 3
44、，通过对 x 的取值范围分类讨论，去掉绝对值符号，即可求得不等式 f（x ）x 2+|x|的解集；（2）f（x） 0 的解集为实数集 Rax 2|2x4| ，通过对 x 的取值范围分类讨论，去掉绝对值符号，可求得x 2|2 x4|的最大值为3，从而可得实数 a 的取值范围【解答】解：（1）当 a3 时，f（x ）x 2+|2x4| 3，当 x0 时，由 f（x）x 2+|x|得x+10，得 x1，x0当 0x2 时，由 f（x）x 2+|x|得3x+10，解得 x 0x 当 x2 时，由 f（x）x 2+|x|得 x70，解得 x7x7当 a3 时，f（x ）x 2+|x|的解集为 x|x 或 x7（2）f（x） 0 的解集为实数集 Rax 2|2x4| ，当 x2 时，x 2|2x4| x22x+4（x+1） 2+54，当 x2 时，x 2|2x4| x2+2x4（x1） 233，x 2|2x4|的最大值为3实数 a 的取值范围为3， +） 【点评】本题考查绝对值不等式的解法，着重考查分类讨论思想的应用，去掉绝对值符号是解不等式的关键，属于中档题
