1、2018 年四川省宜宾市中学二片区中考数学二模试卷一、选择题：（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填在答题卡对应题目上.1 （3 分）2018 的相反数是（ ）A2018 B2018 C D2 （3 分）纳米是一种长度单位，1 纳米10 9 米，已知某种植物花粉的直径约为 35000纳米，那么用科学记数法表示该种花粉的直径为（ ）A3.510 4 米 B3.510 4 米 C3.510 5 米 D3.510 9 米3 （3 分）图中三视图对应的正三棱柱是（ ）A BC D4 （3
2、 分）设 、 是一元二次方程 x2+2x10 的两个根，则 的值是（ ）A2 B1 C2 D15 （3 分）如图，直线 mn ，170，230，则A 等于（ ）A30 B35 C40 D506 （3 分）如表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差：甲 乙 丙 丁第 2 页（共 26 页）平均数（cm） 185 180 185 180方差 3.6 3.6 7.4 8.1根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（ ）A甲 B乙 C丙 D丁7 （3 分） 九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有下列
3、问题“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是：“今有直角三角形，勾（短直角边）长为 8 步，股（长直角边）长为 15 步，问该直角三角形能容纳的圆形（内切圆）直径是多少？” （ ）A3 步 B5 步 C6 步 D8 步8 （3 分）已知二次函数 yax 2+bx+c（a0）的图象如图所示，则下列结论：ac0； ab +c0； 当 x0 时， y0； 2a+b0，其中错误的结论有（ ）A B C D二、填空题：（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分）请把答案直接填在答题卡对应题中横线上（注意：在试题卷上作答无效）9 （3 分）因式分解：
4、xy 2+2xy+x 10 （3 分）若关于 x 的一元二次方程（k1）x 2+4x+10 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是 11 （3 分）若分式方程 有增根，则 m 的值为 12 （3 分）已知实数 x，y 满足（x 5） 2+ 0，则以 x，y 的值为两边长的等腰三角形的周长是 13 （3 分）某学校要购买电脑，A 型电脑每台 5000 元，B 型电脑每台 3000 元，购买 10 台第 3 页（共 26 页）电脑共花费 34000 元设购买 A 型电脑 x 台，购买
5、 B 型电脑 y 台，则根据题意可列方程组为 14 （3 分）如图，在菱形 ABCD 中，AEDC 于 E，AE8cm ，sin D ，则菱形 ABCD的面积是 15 （3 分）如图，已知 AB 是 O 的直径，点 C 在 O 上，过点 C 的切线与 AB 的延长线交于点 P，连接 AC，若A 30，PC 3，则 BP 的长为 16 （3 分）如图，在矩形 ABCD 中，E 是 AD 边的中点，BEAC，垂足为点 F，连接DF，分析下列四个结论：AEFCAB；CF 2AF；DFDC；tanCAD 其
6、中正确的结论有 三、解答题：（本人题共 8 个题，共 72 分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17 （10 分） （1）计算：（ ） 2 （1） 20184sin60（ 1） 0（2）化简：18 （6 分）如图，已知：CF90，AB DE ，CEBF，求证：ACDF第 4 页（共 26 页）19 （8 分）今年 3 月，某集团随机抽取所属的 m 家商业连锁店进行评估，将各连锁店按照评估成绩分成了 A、B、C、D 四个等级，绘制了如图尚不完整的统计图表评估成绩 n（分） 评定等级 频数90n100 A 280n90 B b70n80 C 15n70 D 6根据
7、以上信息解答下列问题：（1）求 m，b 的值；（2）在扇形统计图中，求 B 等级所在扇形的圆心角的大小；（3）从评估成绩不少于 80 分的连锁店中，任选 2 家介绍营销经验，用树状图或列表法求其中至少有一家是 A 等级的概率20 （8 分）2018 年“清明节”前夕，宜宾某花店用 1000 元购进若干菊花，很快售完，接着又用 2500 元购进第二批花，已知第二批所购花的数量是第一批所购花数的 2 倍，且每朵花的进价比第一批的进价多 0.5 元（1）第一批花每束的进价是多少元（2）若第一批菊花按 3 元的售价销售，要使总利润不低于 1500 元（不考虑其他因素） ，第二批每朵菊花的售价至少是多少
8、元？21 （8 分）某中学九年级数学兴趣小组想测量建筑物 AB 的高度他们在 C 处仰望建筑物顶端 A 处，测得仰角为 45，再往建筑物的方向前进 6 米到达 D 处，测得仰角为 60，求建筑物的高度 （测角器的高度忽略不计，结果精确到 0.1 米，第 5 页（共 26 页）1.732， 1.414）22 （10 分）如图，一次函数 ykx+b 的图象与反比例函数 y 的图象交于 A（2，3） ，B （4， n）两点（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）结合图形，直接写出一次函数大于反比例函数时自变量 x 的取值范围23 （10 分）如图，O 是ABC 的外接圆，AE 平分BAC 交O
9、于点 E，交 BC 于点D，过点 E 作直线 lBC（1）判断直线 l 与O 的位置关系，并说明理由；（2）若ABC 的平分线 BF 交 AD 于点 F，求证：BE EF ；（3）在（2）的条件下，若 DE4，DF 3，求 AF 的长24 （12 分）如图，已知抛物线 y x2+bx+c 经过ABC 的三个顶点，其中点 A（0，1） ，点 B（ 9，10） ，ACx 轴，点 P 是直线 AC 下方抛物线上的动点（1）求抛物线的解析式；第 6 页（共 26 页）（2）过点 P 且与 y 轴平行的直线 l 与直线 AB、AC 分别交于点 E、F，当四边形 AECP的面积最大时，求点 P 的坐标；（
10、3）当点 P 为抛物线的顶点时，在直线 AC 上是否存在点 Q，使得以 C、P、Q 为顶点的三角形与ABC 相似，若存在，求出点 Q 的坐标，若不存在，请说明理由第 7 页（共 26 页）2018 年四川省宜宾市中学二片区中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填在答题卡对应题目上.1 （3 分）2018 的相反数是（ ）A2018 B2018 C D【分析】直接利用相反数的定义分析得出答案【解答】解：2018 的相反数是：2018故选：B【点评】此题主要考查了
11、相反数，正确把握相反数的定义是解题关键2 （3 分）纳米是一种长度单位，1 纳米10 9 米，已知某种植物花粉的直径约为 35000纳米，那么用科学记数法表示该种花粉的直径为（ ）A3.510 4 米 B3.510 4 米 C3.510 5 米 D3.510 9 米【分析】绝对值小于 1 的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为 a10n ，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定【解答】解：35000 纳米3500010 9 米3.510 5 米故选：C【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为
12、 a10n ，其中1|a| 10，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定3 （3 分）图中三视图对应的正三棱柱是（ ）A B第 8 页（共 26 页）C D【分析】利用俯视图可淘汰 C、D 选项，根据主视图的侧棱为实线可淘汰 B，从而判断A 选项正确【解答】解：由俯视图得到正三棱柱两个底面在竖直方向，由主视图得到有一条侧棱在正前方，于是可判定 A 选项正确故选：A【点评】本题考查了由三视图判断几何体：由三视图想象几何体的形状，首先，应分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，然后综合起来考虑整体形状由物体的三视图想象几何体的形状是有一
13、定难度的，可以从以下途径进行分析：根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，以及几何体的长、宽、高；从实线和虚线想象几何体看得见部分和看不见部分的轮廓线4 （3 分）设 、 是一元二次方程 x2+2x10 的两个根，则 的值是（ ）A2 B1 C2 D1【分析】根据 、 是一元二次方程 x2+2x10 的两个根，由根与系数的关系可以求得 的值，本题得以解决【解答】解：、 是一元二次方程 x2+2x10 的两个根， ，故选：D【点评】本题考查根与系数的关系，解题的关键是明确两根之积等于常数项与二次项系数的比值5 （3 分）如图，直线 mn ，170，230，则A
14、 等于（ ）A30 B35 C40 D50【分析】首先根据平行线的性质求出3 的度数，然后根据三角形的外角的知识求出A 的度数【解答】解：如图，直线 mn，第 9 页（共 26 页）13，170，370，32+A，230，A40，故选：C【点评】本题考查了平行线的性质和三角形的外角性质，关键是求出3 的度数，此题难度不大6 （3 分）如表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差：甲 乙 丙 丁平均数（cm） 185 180 185 180方差 3.6 3.6 7.4 8.1根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（
15、;）A甲 B乙 C丙 D丁【分析】首先比较平均数，平均数相同时选择方差较小的运动员参加【解答】解： ，从甲和丙中选择一人参加比赛， ，选择甲参赛，故选：A【点评】此题考查了平均数和方差，正确理解方差与平均数的意义是解题关键7 （3 分） 九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有下列问题“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是：“今有直角三角形，勾（短直角边）第 10 页（共 26 页）长为 8 步，股（长直角边）长为 15 步，问该直角三角形能容纳的圆形（内切圆）直径是多少？” （ ）A3 步 B5 步 C6 步 D8 步【分析】根据勾股定理求出直角三角形的斜边
16、，即可确定出内切圆半径【解答】解：根据勾股定理得：斜边为 17，则该直角三角形能容纳的圆形（内切圆）半径 r 3（步） ，即直径为 6 步，故选：C【点评】此题考查了三角形的内切圆与内心，RtABC，三边长为 a，b，c （斜边） ，其内切圆半径 r 8 （3 分）已知二次函数 yax 2+bx+c（a0）的图象如图所示，则下列结论：ac0； ab +c0； 当 x0 时， y0； 2a+b0，其中错误的结论有（ ）A B C D【分析】 根据图象的开口方向，可得 a 的范围，根据图象与 y 轴的交点，可得 c 的范围，根据有理数的乘法，可得答案；根据自变量为1 时函数
17、值，可得答案；根据观察函数图象的纵坐标，可得答案；根据对称轴，整理可得答案【解答】解：图象开口向下，得 a0，图象与 y 轴的交点在 x 轴的上方，得 c0，ac0，故错误；由图象，得 x1 时，y0，即 ab+c0，故正确；由图象，得第 11 页（共 26 页）图象与 y 轴的交点在 x 轴的上方，即当 x0 时，y 有大于零的部分，故错误；由对称轴，得 x 1，解得 b2a，2a+b0故正确；故选：C【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数 a 决定抛物线的开口方向和大小当 a0 时，抛物线向上开口；当 a0 时，抛物线向下开口；一次项系数 b 和二次项系数 a 共同决定对称
18、轴的位置：当 a 与 b 同号时，对称轴在 y 轴左； 当 a 与 b异号时，对称轴在 y 轴右常数项 c 决定抛物线与 y 轴交点：抛物线与 y 轴交于（0，c） 抛物线与 x 轴交点个数由判别式确定：b 24ac0 时，抛物线与 x 轴有2 个交点；b 24ac0 时，抛物线与 x 轴有 1 个交点；b 24ac0 时，抛物线与 x 轴没有交点二、填空题：（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分）请把答案直接填在答题卡对应题中横线上（注意：在试题卷上作答无效）9 （3 分）因式分解：xy 2+2xy+x x（y+1） 2 【分析】先提取公因式 x，再对余下的多项式利用完全平方公式
19、继续分解【解答】解：xy 2+2xy+x，x（y 2+2y+1） ，x（y+1） 2故答案为：x（y +1） 2【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止10 （3 分）若关于 x 的一元二次方程（k1）x 2+4x+10 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是 k 5 且 k1 【分析】根据二次项系数非零以及根的判别式0，即可得出关于 k 的一元一次不等式组，解之即可得出结论【解答】解：关于 x 的一元二次方程（k1）x 2+4x+10 有两个不相等的实数根，第 12 页（共 2
20、6 页） ，解得：k5 且 k1故答案为：k5 且 k1【点评】本题考查了根的判别式以及解一元一次不等式组，根据二次项系数非零以及根的判别式0，找出关于 k 的一元一次不等式组是解题的关键11 （3 分）若分式方程 有增根，则 m 的值为 2 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根求出 x 的值，代入整式方程计算即可求出 m 的值【解答】解：分式方程去分母得：22x+4m ，由分式方程有增根得到 x20，即 x2，把 x2 代入整式方程得：m 2，故答案为：2【点评】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：化分式方程为整式方程；把增根代入整式方程即可求得相关字母的
21、值12 （3 分）已知实数 x，y 满足（x 5） 2+ 0，则以 x，y 的值为两边长的等腰三角形的周长是 17 或 19 【分析】先根据非负数的性质列式求出 x、y 的值，再分 x 的值是腰长与底边两种情况讨论求解【解答】解：根据题意得，x50，y70，解得 x5，y7，5 是腰长时，三角形的三边分别为 5、5、7，三角形的周长为 175 是底边时，三角形的三边分别为 5、7、7，能组成三角形，5+7+719；所以，三角形的周长为：17 或 19；故答案为 17 或 19【点评】本题考查了等腰三角形的性质，绝对值与算术平方根的非负性，根据几个非负数的和等于 0，则每一个算式都等于 0 求出
22、 x、y 的值是解题的关键，难点在于要分情况讨论并且利用三角形的三边关系进行判断第 13 页（共 26 页）13 （3 分）某学校要购买电脑，A 型电脑每台 5000 元，B 型电脑每台 3000 元，购买 10 台电脑共花费 34000 元设购买 A 型电脑 x 台，购买 B 型电脑 y 台，则根据题意可列方程组为 【分析】根据题意得到：A 型电脑数量+B 型电脑数量10，A 型电脑数量5000+B 型电脑数量300034000，列出方程组即可【解答】解：根据题意得： ，故答案为：【点评】此题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找出题中的等量关系是解本题的关键14
23、 （3 分）如图，在菱形 ABCD 中，AEDC 于 E，AE8cm ，sin D ，则菱形 ABCD的面积是 96cm 2 【分析】根据题意可求 AD 的长度，即可得 CD 的长度，根据菱形 ABCD 的面积CDAE ，可求菱形 ABCD 的面积【解答】解：sinDAD12四边形 ABCD 是菱形ADCD12菱形 ABCD 的面积12896cm 2故答案为：96cm 2【点评】本题考查了菱形的性质，解直角三角形，熟练运用菱形性质解决问题是本题的关键15 （3 分）如图，已知 AB 是 O 的直径，点 C 在 O 上，过点 C 的切线与 AB 的延长线交于点 P，连接 AC，若A 30，PC
24、3，则 BP 的长为 第 14 页（共 26 页）【分析】在 RTPOC 中，根据 P30，PC 3，求出 OC、OP 即可解决问题【解答】解：OAOC， A30，OCAA30，COBA+ACO60，PC 是O 切线，PCO90，P30，PC3，OCPCtan30 ，PO2OC2 ，PBPO OB ，故答案为 【点评】本题考查切线的性质、直角三角形中 30 度角所对的直角边等于斜边的一半，锐角三角函数等知识，解题的关键是利用切线的性质，在 RTPOC 解三角形是突破口，属于中考常考题型16 （3 分）如图，在矩形 ABCD 中，E 是 AD 边的中点，BEAC，垂足
25、为点 F，连接DF，分析下列四个结论：AEFCAB；CF 2AF；DFDC；tanCAD 其中正确的结论有 【分析】 证明 EACACB，ABC AFE90即可；第 15 页（共 26 页）由 ADBC，推出 AEFCBF ，得到 ，由 AE AD BC，得到 ，即 CF2AF；作 DMEB 交 BC 于 M，交 AC 于 N，证明 DM 垂直平分 CF，即可证明；设 AEa，ABb，则 AD2a，根据BAE ADC，得到 ，即 b a，可得 tanCAD 【解答】解：如图，过 D 作 DMBE 交 AC 于 N，四边形 ABCD 是矩形，ADBC，ABC90，AD BC，BEAC 于点 F，
26、EACACB，ABC AFE90，AEF CAB，故正确；ADBC，AEF CBF， ，AE AD BC， ，即 CF2AF，CF2AF，故 正确；作 DM EB 交 BC 于 M，交 AC 于 N，DEBM，BEDM，四边形 BMDE 是平行四边形，BMDE BC，BMCM，CNNF，BEAC 于点 F，DMBE，DNCF，DM 垂直平分 CF，DFDC，故正确；第 16 页（共 26 页）设 AEa，ABb，则 AD2a，由BAE ADC， ，即 b a，tanCAD ，故错误；故答案为：【点评】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，图形面积的计算以及解直角三角形的综合应用，正
27、确的作出辅助线构造平行四边形是解题的关键三、解答题：（本人题共 8 个题，共 72 分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17 （10 分） （1）计算：（ ） 2 （1） 20184sin60（ 1） 0（2）化简：【分析】 （1）根据负整数指数幂、特殊角的三角函数、零指数幂可以解答本题；（2）根据分式的除法和减法可以解答本题【解答】解：（1） （ ） 2 （1） 20184sin60（ 1） 0414 1412 122 ；（2）第 17 页（共 26 页）1【点评】本题考查分式的混合运算、负整数指数幂、特殊角的三角函数、零指数幂，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法18 （6 分）如
28、图，已知：CF90，AB DE ，CEBF，求证：ACDF【分析】根据 HL 定理证明 RtABCRtDEF，根据全等三角形的性质证明即可【解答】证明：CEBF，BE 为公共线段CE+BEBF+BE即 CBEF又CF90，ABDE在 Rt ABC 与 RtDEF 中，RtABCRtDEF （HL）ACDF【点评】本题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键19 （8 分）今年 3 月，某集团随机抽取所属的 m 家商业连锁店进行评估，将各连锁店按照评估成绩分成了 A、B、C、D 四个等级，绘制了如图尚不完整的统计图表评估成绩 n（分） 评定等级
29、频数90n100 A 280n90 B b70n80 C 15n70 D 6根据以上信息解答下列问题：第 18 页（共 26 页）（1）求 m，b 的值；（2）在扇形统计图中，求 B 等级所在扇形的圆心角的大小；（3）从评估成绩不少于 80 分的连锁店中，任选 2 家介绍营销经验，用树状图或列表法求其中至少有一家是 A 等级的概率【分析】 （1）由 C 等级频数为 15，占 60%，即可求得 m 的值，再根据各等级频数之和等于总数可求得 b 的值；（2）用 B 等级频数所占比例乘以 360即可求得 B 等级所在扇形的圆心角的大小；（3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与
30、其中至少有一家是 A 等级的情况，再利用概率公式求解即可求得答案【解答】解：（1）C 等级频数为 15，占 60%，m1560%25；b2515262；（2）B 等级频数为 2，B 等级所在扇形的圆心角的大小为： 36028.8；（3）评估成绩不少于 80 分的连锁店中，有两家等级为 A，有两家等级为 B，画树状图得：由图可知，共有 12 种等可能的结果，其中至少有一家是 A 等级的有 10 种情况，P（至少有一家是 A 等级） 【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率以及扇形统计图的知识用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比第 19 页（共 26 页）20 （8 分）2018 年“清明
31、节”前夕，宜宾某花店用 1000 元购进若干菊花，很快售完，接着又用 2500 元购进第二批花，已知第二批所购花的数量是第一批所购花数的 2 倍，且每朵花的进价比第一批的进价多 0.5 元（1）第一批花每束的进价是多少元（2）若第一批菊花按 3 元的售价销售，要使总利润不低于 1500 元（不考虑其他因素） ，第二批每朵菊花的售价至少是多少元？【分析】 （1）设第一批花每束的进价是 x 元，则第二批花每束的进价是（x+0.5）元，根据数量总价单价结合第二批所购花的数量是第一批所购花数的 2 倍，即可得出关于x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）由第二批花的进价比第一批的进价多 0.5
32、 元可求出第二批花的进价，设第二批菊花的售价为 m 元，根据利润每束花的利润 数量结合总利润不低于 1500 元，即可得出关于 m 的一元一次不等式，解之即可得出结论【解答】解：（1）设第一批花每束的进价是 x 元，则第二批花每束的进价是（x+0.5）元，根据题意得： 2 ，解得：x2，经检验：x2 是原方程的解，且符合题意答：第一批花每束的进价是 2 元（2）由（1）可知第二批菊花的进价为 2.5 元设第二批菊花的售价为 m 元，根据题意得： （32）+ （m2.5）1500，解得：m3.5答：第二批花的售价至少为 3.5 元【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关
33、键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式21 （8 分）某中学九年级数学兴趣小组想测量建筑物 AB 的高度他们在 C 处仰望建筑物顶端 A 处，测得仰角为 45，再往建筑物的方向前进 6 米到达 D 处，测得仰角为 60，求建筑物的高度 （测角器的高度忽略不计，结果精确到 0.1 米，第 20 页（共 26 页）1.732， 1.414）【分析】Rt ADB 中用 AB 表示出 BD、Rt ACB 中用 AB 表示出 BC，根据CDBCBD 可得关于 AB 的方程，解方程可得【解答】解：设 ABx 米C45在 RtABC 中，BCAB x
34、米，ADB60，又CD6 米，在 RtADB 中tanADBtan60解得答，建筑物的高度为 14.2 米【点评】本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，解题的关键是利用数形结合的思想找出各边之间的关系，然后找出所求问题需要的条件22 （10 分）如图，一次函数 ykx+b 的图象与反比例函数 y 的图象交于 A（2，3） ，B （4， n）两点（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）结合图形，直接写出一次函数大于反比例函数时自变量 x 的取值范围第 21 页（共 26 页）【分析】 （1）利用点 A 的坐标可求出反比例函数解析式，再把 B（4，n）代入反比例函数解析式，即可求得 n 的值
35、，于是得到一次函数的解析式；（2）根据图象和 A，B 两点的坐标即可写出一次函数的值大于反比例函数时自变量 x 的取值范围【解答】解：y 过点 A（2，3） ，m6，反比例函数的解析式为 y ；点 B（4，n）在 y 上，n ，B（4， ） ，一次函数 ykx+b 过点 A（2，3） ，B（4， ） ，解得： 一次函数解析式为 y x+ ；（2）由图可知，当 x2 或 0x4 时，一次函数值大于反比例函数值【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是求出反比例函数解析式和一次函数的解析式第 22 页（共 26 页）23 （1
36、0 分）如图，O 是ABC 的外接圆，AE 平分BAC 交O 于点 E，交 BC 于点D，过点 E 作直线 lBC（1）判断直线 l 与O 的位置关系，并说明理由；（2）若ABC 的平分线 BF 交 AD 于点 F，求证：BE EF ；（3）在（2）的条件下，若 DE4，DF 3，求 AF 的长【分析】 （1）连接 OE由题意可证明 ，于是得到BOECOE，由等腰三角形三线合一的性质可证明 OEBC，于是可证明 OEl，故此可证明直线 l 与O 相切；（2）先由角平分线的定义可知ABFCBF ，然后再证明 CBE BAF，于是可得到EBF EFB，最后依据等角对等边证明 BEEF 即可；（3）
37、先求得 BE 的长，然后证明BEDAEB，由相似三角形的性质可求得 AE 的长，于是可得到 AF 的长【解答】解：（1）直线 l 与 O 相切理由：如图 1 所示：连接 OEAE 平分BAC，BAE CAE OEBClBC，OEl直线 l 与O 相切（2）BF 平分ABC ，第 23 页（共 26 页）ABF CBF又CBECAEBAE，CBE+ CBFBAE+ ABF又EFB BAE +ABF，EBF EFBBEEF（3）由（2）得 BEEF DE+DF 7DBEBAE，DEB BEA，BEDAEB ，即 ，解得；AE AFAEEF 7 【点评】本题主要考查的是圆的性质、相似三角形的性质和判
38、定、等腰三角形的性质、三角形外角的性质、切线的判定，证得EBFEFB 是解题的关键24 （12 分）如图，已知抛物线 y x2+bx+c 经过ABC 的三个顶点，其中点 A（0，1） ，点 B（ 9，10） ，ACx 轴，点 P 是直线 AC 下方抛物线上的动点（1）求抛物线的解析式；（2）过点 P 且与 y 轴平行的直线 l 与直线 AB、AC 分别交于点 E、F，当四边形 AECP的面积最大时，求点 P 的坐标；（3）当点 P 为抛物线的顶点时，在直线 AC 上是否存在点 Q，使得以 C、P、Q 为顶点的三角形与ABC 相似，若存在，求出点 Q 的坐标，若不存在，请说明理由【分析】 （1）
39、用待定系数法求出抛物线解析式即可；（2）设点 P（m， m2+2m+1） ，表示出 PE m23m，再用 S 四边形 AECPS 第 24 页（共 26 页）AEC+SAPC ACPE，建立函数关系式，求出极值即可；（3）先判断出 PFCF，再得到PCA EAC，以 C、P、Q 为顶点的三角形与ABC 相似，分两种情况计算即可【解答】解：（1）点 A（0，1） B（9，10）在抛物线上， ， ，抛物线的解析式为 y x2+2x+1，（2）ACx 轴，A （0，1） x2+2x+11，x 16，x 20，点 C 的坐标（6，1） ，点 A（0，1） B（9，10） ，直线 AB 的解析式为 yx
40、 +1，设点 P（m， m2+2m+1）E（m，m+1）PEm+1（ m2+2m+1） m23m，ACEP，AC6，S 四边形 AECPS AEC +SAPC ACEF+ ACPF AC（EF+PF） ACPE 6（ m23m）m 29m第 25 页（共 26 页）（m+ ） 2+ ，6m0当 m 时，四边形 AECP 的面积的最大值是 ，此时点 P（ ， ） ；（3）y x2+2x+1 （x +3） 22，P（3，2） ，PFy Fy P3，CFx Fx C3，PFCF，PCF45同理可得：EAF45，PCFEAF，在直线 AC 上存在满足条件的 Q，设 Q（t，1）且 AB9 ，AC6，CP 3以 C、P、Q 为顶点的三角形与ABC 相似，当 CPQ ABC 时， ， ，t4 或 t8（不符合题意，舍）Q（4，1）当 CQP ABC 时， ， ，t3 或 t15（不符合题意，舍）Q（3，1）【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，相似三角形的性质，几何图形面积的求法（用割补法） ，解本题的关键是求函数解析式
