1、2019 年河北省保定市高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 （5 分）|（3+4i）i|（ ）A4 B5 C7 D252 （5 分）已知集合 Ax| y ，B ，则 AB（ ）A x|0x1 Bx|x1 C x|x0 D x|x13 （5 分）等比数列a n中，若 an0，a 3+a55，a 2a64，则公比 q（ ）A2 或 2 B2 或 C4 或 4 D4 或4 （5 分）某工厂生产 A、B、C 三种不同型号的产品，其中某月生产的产品数量之比依次为 m
2、：3：2，现用分层抽样的方法抽取一个容量为 120 的样本，已知 A 种型号产品抽取了 45 件，则 m（ ）A1 B2 C3 D45 （5 分）我国古代数学著作九章算术有如下问题：“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升问，米几何？”如图是解决该问题的程序框图，执行该程序框图，若输出的 S1.5（单位：升） ，则输入 k 的值为（ ）A4.5 B6 C7.5 D9第 2 页（共 23 页）6 （5 分）把点 A（3，2）按向量 （1，4）移到点 B，若 2 （O 为坐标原点） ，则 C 点坐标为（ ）A （1，1） B （
3、 ，1） C （2，3） D （1， ）7 （5 分）已知一几何体的三视图如图所示，其中正视图由两个小正方形组成，俯视图为正三角形，则此几何体的体积为（ ）A B C D8 （5 分）函数 的图象大致是（ ）A BC D9 （5 分）ABC 中，内角 A、B、C 的对边 a、b、c 依次成等差数列，且 B ，则ABC 的形状为（ ）A等边三角形B直角边不相等的直角三角形C等腰直角三角形D钝角三角形10 （5 分）设变量 x，y 满足约束条件 ，则目标函数 zx 2+y2 的最大值是（ ）A B C1 D11 （5 分）设点 P 为直线 l：x+y
4、40 上的动点，点 A（2，0） ，B（2，0） ，则|PA|+|PB|的最小值为（ ）A B C D第 3 页（共 23 页）12 （5 分）已知函数 ，则关于 x 的不等式 f（2x）f（1x）的解集是（ ）A （，13，+） B （，1 ，+ ）C D 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13 （5 分）命题“ ”的否定是 14 （5 分）若正数 a，b 满足 ab+a+b3，则 a+b 的最小值为 15 （5 分）已知函数 f（x ）ax 33x 2+1，若 f（x）存在唯一的零点 x
5、0，且 x00，则 a的取值范围是 16 （5 分）已知点 M 在以 A，B 为焦点的椭圆上，点 C 为该椭圆所在平面内的一点，且满足以下两个条件： ； ；则该椭圆的离心率为 三、解答題：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共 60 分17 （12 分）已知函数 f（x ）log 3（ax+b）的图象经过点 A（2，1）和 B（5，2） ，anan+ b，nN *（1）求 an；（2）设数列a n的前 n 项和为 Sn
6、，b n2n+ ，求 bn的前 n 项和 Tn18 （12 分）如图，已知四棱锥中，四边形 ABCD 为矩形，AB 2 ，BC SCSD2 ，BC SD（1）求证：SC平面 SAD；（2）求证：四棱锥 SABCD 外接球的表面积为 12第 4 页（共 23 页）19 （12 分）某校组织的一次教师招聘共分笔试和面试两个环节，笔试环节共有 20 名大学毕业生参加，其中男、女生的比例恰好为 1：1，其成绩的茎叶图如图所示，假设成绩在90 分以上的考生可以进入面试环节（1）试比较男、女两组成绩平均分的大小，并求出女生组的方差；（2）从男、女两组可以进入面试环节的考生中分别任取 1 人，求两人分差不小
7、于 3 分的概率20 （12 分）已知抛物线 E：y 28x ，直线 l：ykx4（1）若直线 l 与抛物线 E 相切，求直线 l 的方程；（2）设 Q（4，0） ，k0，直线 l 与抛物线 E 交于不同的两点 A（x 1，y 1） ，B （x 2，y 2） ，若存在点 C，使得四边形 OACB 为平行四边形（O 为原点） ，且 ACQC，求 x2 的取值范围21 （12 分）已知函数 f（x ）a（x1）+xlnx+1（1）求函数 f（x ）的最小值；（2）若 a1，且当 x（2，+）时，恒有 k（x2）f（x）成立，求证：k （二）选考题：共 10 分请考生从第 22、23 两题中任选一题
8、作答，并用 2B 铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分选修 4-4：坐标系与参数方程22 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 以原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，且曲线 C 的极坐标方程为（1）写出直线 l 的普通方程与曲线 C 的直角坐标方程；第 5 页（共 23 页）（2）设直线 l 上的定点 P，在曲线 C 外且其到 C 上的点的最短距离为 ，试求点P 的坐标选修 4-5：不等式选讲23已知函数 f（x ）|x +a|+|x2|1（1）若 a1，求
9、不等式 f（ x）2 的解集；（2）若 x1， 2时，f（x ） +x4 恒成立，求 a 的取值范围第 6 页（共 23 页）2019 年河北省保定市高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 （5 分）|（3+4i）i|（ ）A4 B5 C7 D25【分析】根据题意，由复数乘积的公式可得（3+4i）i 4+3i，由复数模的公式计算可得答案【解答】解：根据题意， （3+4i）i 4+3i，则|（ 3+4i）i| |4+3 i| 5；故选：B【点评】本题考查复数的计算，涉
10、及复数模的计算，属于基础题2 （5 分）已知集合 Ax| y ，B ，则 AB（ ）A x|0x1 Bx|x1 C x|x0 D x|x1【分析】求出集合 A，B，由此能求出 AB【解答】解：集合 Ax| y x|x1，B x|x 0 或 x1 ，ABx|x1故选：D【点评】本题考查了不等式的解法，交集的基本运算，注意解集为整数集，属于基础题3 （5 分）等比数列a n中，若 an0，a 3+a55，a 2a64，则公比 q（ ）A2 或 2 B2 或 C4 或 4 D4 或【分析】a 3+a55，a 2a6a 3a54，联立解得 或 ，所以 q 值可求【解答】解：依题
11、意，a 3+a55，a 2a6a 3a54，联立解得 或 ，所以第 7 页（共 23 页）q2 4 或 q2 ，又因为 an0，所以 q2 或 q 故选：B【点评】本题考查了等比数列的性质，等比数列的通项公式属于基础题4 （5 分）某工厂生产 A、B、C 三种不同型号的产品，其中某月生产的产品数量之比依次为 m：3：2，现用分层抽样的方法抽取一个容量为 120 的样本，已知 A 种型号产品抽取了 45 件，则 m（ ）A1 B2 C3 D4【分析】A 种型号产品抽取了 45 件，则 ，由此能求出 m【解答】解：某工厂生产 A、B、C 三种不同型号的产品，其中某月生产的产品数量之比依
12、次为 m：3：2，现用分层抽样的方法抽取一个容量为 120 的样本，A 种型号产品抽取了 45 件，则 ，解得 m3故选：C【点评】本题考查实数值的求法，考查分层抽样等基础知识，考查运算求解能力，是基础题5 （5 分）我国古代数学著作九章算术有如下问题：“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升问，米几何？”如图是解决该问题的程序框图，执行该程序框图，若输出的 S1.5（单位：升） ，则输入 k 的值为（ ）第 8 页（共 23 页）A4.5 B6 C7.5 D9【分析】模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的 n，S 的值，当 n4 时，不满足条件
13、n4，退出循环，输出 S 的值为 ，即可解得 k 的值【解答】解：模拟程序的运行，可得n1，Sk满足条件 n4，执行循环体，n2，Sk ，满足条件 n4，执行循环体，n3，S ，满足条件 n4，执行循环体，n4，S ，此时，不满足条件 n4，退出循环，输出 S 的值为 ，由题意可得： 1.5，解得：k6故选：B【点评】算法和程序框图是新课标新增的内容，在近两年的新课标地区高考都考查到了，这启示我们要给予高度重视，属于基础题6 （5 分）把点 A（3，2）按向量 （1，4）移到点 B，若 2 （O 为坐标原点） ，则 C 点坐标为（ ）A （1，1） B （ ，1） C （2，3）
14、D （1， ）第 9 页（共 23 页）【分析】可设 B（x ，y ） ，据题意知 ，从而可求出 ，得 B（4，6） ，然后设 C（s ，t） ，则根据 即可求出 s，t，即得出 C 点的坐标【解答】解：设 B（x ，y ） ，据题意得： ；（x3，y2）（1，4） ； ； ；B（4，6） ；设 C（s，t） ，则根据 得：（4，6）2（s 4，t6） ； ；解得 ；C（2，3） 故选：C【点评】考查向量平移的概念，根据点的坐标求向量的坐标的方法，向量坐标的数乘运算7 （5 分）已知一几何体的三视图如图所示，其中正视图由两个小正方形组成，俯视图为正三角形，则此几何体的体积为（ ）A
15、 B C D【分析】由已知中的三视图，可得该几何体是一个以俯视图为底面的三棱柱，求出棱柱的底面面积和高，代入棱柱体积公式，可得答案【解答】解：由已知中的三视图，可得该几何体是一个以正视图为底面的三棱柱，棱锥的底面三角形的边长为 2，高为 1，故棱柱的体积 VSh ，故选：C第 10 页（共 23 页）【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积，其中分析出几何体的形状是解答的关键8 （5 分）函数 的图象大致是（ ）A BC D【分析】判断函数奇偶性和对称性，结合极限思想进行判断即可【解答】解：f（x ） xsinx （ x+sinx） f（x ） ，则 f（x）是奇函数，图象关于原点
16、对称，排除 B，D ，当 x0，且 x0，f（x）0 且 f（x）0，排除 A，故选：C【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，判断函数的奇偶性和对称性以及利用极限思想是解决本题的关键9 （5 分）ABC 中，内角 A、B、C 的对边 a、b、c 依次成等差数列，且 B ，则ABC 的形状为（ ）A等边三角形B直角边不相等的直角三角形C等腰直角三角形D钝角三角形【分析】求出 A+C ，据 a、b、c 成等差数列，得 2ba+c，由正弦定理可得sinA+sinC，解得 cos 1，从而得到 AC0，可得ABC 为等边三角形【解答】解：B ，A+ C a、b、c 成等差数列，第 11
17、 页（共 23 页）2ba+c，由正弦定理可得 2sinB sin A+sinC2sin cos cos ，cos 1，又 AC ，AC0，故ABC 为等边三角形，故选：A【点评】本题考查等差数列的定义，正弦定理，和差化积公式，根据三角函数的值求角，求出 cos 1，是解题的关键10 （5 分）设变量 x，y 满足约束条件 ，则目标函数 zx 2+y2 的最大值是（ ）A B C1 D【分析】作出可行域，zx 2+y2 表示可行域内的点到原点距离的平方，数形结合可得【解答】解：作出变量 x，y 满足约束条件 ，所对应的可行域，而 zx 2+y2 表示可行域内的点 A 到原点距离的平
18、方，由： ，解得 A（ ， ）数形结合可得最大值为：（ ） 2+（ ）2 ，故选：D第 12 页（共 23 页）【点评】本题考查简单线性规划，准确作图是解决问题的关键，属中档题11 （5 分）设点 P 为直线 l：x+y40 上的动点，点 A（2，0） ，B（2，0） ，则|PA|+|PB|的最小值为（ ）A B C D【分析】利用点关于直线对称即可【解答】解：如图所示，设点 C（x ，y）为点 B 关于直线 x+y40 的对称点则有点 C 的坐标为（ 4，2）|PA|+|PB| 故选：A【点评】求两条线段之和的最小值时，三点共线时最小，这是解题关键12 （5 分）已知函数 ，则关
19、于 x 的不等式 f（2x）f（1x）的解集是（ ）第 13 页（共 23 页）A （，13，+） B （，1 ，+ ）C D 【分析】由已知可得 f（x ）为偶函数且 x0 时，f（x ） 单调递增，即可求解【解答】解： ，f（x）f（x ）成立，即 f（x）为偶函数x0 时，f（ x） 单调递增，根据偶函数的性质可知， （，0）上单调递减f（2x） f（1x ）| 2x|1x|解可得，1故选：D【点评】本题主要考查了偶函数性质的应用及函数的单调性在求解不等式中的应用，解题的关键是偶函数性质的灵活应用二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13 （5 分）命题“
20、 ”的否定是 “x1， ” 【分析】根据特称命题的否定是全称命题，写出即可【解答】解：命题“ ”的否定是“x1， ”故答案为：“x 1， ”【点评】本题考查了特称命题的否定是全称命题的应用问题，是基础题14 （5 分）若正数 a，b 满足 ab+a+b3，则 a+b 的最小值为 2 【分析】根据题意，由基本不等式可得 ab ，进而可得 +（a+b）3，解可得（a+b）的取值范围，即可得答案第 14 页（共 23 页）【解答】解：根据题意，a、b 是正数，则 ab ，又由 ab+a+b3，则 +（a+b）3，变形可得：（a+b） 2+4（a+b ）120，解可得：a+b2 或 a+b6，又由 a
21、、b 是正数，则 a+b2，即 a+b 的最小值为 2；故答案为：2【点评】本题考查基本不等式的性质以及应用，关键是构造不等式，属于基础题15 （5 分）已知函数 f（x ）ax 33x 2+1，若 f（x）存在唯一的零点 x0，且 x00，则 a的取值范围是 a2 【分析】对 a 进行分类讨论，再由题意可知 f（ ）0，从而求出 a【解答】解：当 a0 时，函数 f（x ）3x 2+1 有两个零点，不满足情况，当 a0 时，令 f（x）3 ax26x0，解得：x0，或 x ，f（0）1，f（x）存在唯一的零点 x，a0 时，函数的极小值 f（ ）0，解得：a2；但此时 x0a0 时，函数的极
22、大值 f（ ）0，解得：a2；此时 x0故答案为：a2【点评】本题考查了函数的零点的判断，属于基础题16 （5 分）已知点 M 在以 A，B 为焦点的椭圆上，点 C 为该椭圆所在平面内的一点，且满足以下两个条件： ； ；则该椭圆的离心率为 【分析】根据椭圆的定义和性质，建系后得到 M 的坐标代入椭圆方程可得【解答】解：由知：C 为 AB 的中点，即椭圆的中心，第 15 页（共 23 页）以 C 为原点，AB 的垂直平分线为 y 轴建立直角坐标系，则设椭圆的标准方程为： +1，根据椭圆的定义知：| |+| |2a，再结合可得| | a，| | | ，M（ ， ） ，将
23、M 的坐标代入椭圆方程得： +1，结合 b2a 2c 2 化简得 3c22a 2，所以离心率 e 故答案为： 【点评】本题考查了椭圆的性质，属中档题三、解答題：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共 60 分17 （12 分）已知函数 f（x ）log 3（ax+b）的图象经过点 A（2，1）和 B（5，2） ，anan+ b，nN *（1）求 an；（2）设数列a n的前 n 项和为 Sn，b n2n+ ，求 bn的前 n 项和 Tn【分析】 （1）由代入法解方程可得 a
24、，b，进而得到所求通项公式；（2）由等差数列的求和公式，可得 ，再由数列的分组求和，结合等差数列和等比数列的求和公式，可得所求和【解答】解：（1）由题意得 ，解得 ，所以 ；（2）由（1）易知数列a n为以 1 为首项，2 为公差的等差数列，所以 Sn ，第 16 页（共 23 页）所以 ，前 n 项和 Tn2（1+2+3+ +n）+ （2+4+2 n）2 n（n+1）+ n 2+n+2n+12【点评】本题考查等差数列的通项公式和求和公式，以及数列的分组求和，考查化简整理的运算能力，属于中档题18 （12 分）如图，已知四棱锥中，四边形 ABCD 为矩形，AB 2 ，BC SCSD2 ，BC
25、SD（1）求证：SC平面 SAD；（2）求证：四棱锥 SABCD 外接球的表面积为 12【分析】 （1）由已知证明 BC平面 SDC，得到 AD平面 SDC，得 SCAD，再由已知可得 SCSD，由线面垂直的判定可得 SC平面 SAD；（2）设 G 为矩形 ABCD 的对角线的交点，证明 G 为四棱锥 SABCD 外接球的球心，求其长度，再由球的表面积公式求解【解答】证明：（1）BC SD，BC CD，且 SDCDD，BC平面 SDC，则 AD平面 SDC，得 SCAD又在SDC 中，SCSD2，DCAB ，SD 2+SC2CD 2，得 SCSD，又 SDADD，SC平面 SAD；（2）设 G
26、 为矩形 ABCD 的对角线的交点，则 AGBGCGDG ，作 SOCD 于 O，BC平面 SDC，平面 ABCD平面 SDC，故 SO 平面 ABCD，连结 OG，SG，则 SG G 为四棱锥 SABCD 外接球的球心，且球的半径为 故所求的球的表面积为 第 17 页（共 23 页）【点评】本题考查直线与平面垂直的判定，考查多面体外接球表面积与体积的求法，考查数形结合的解题思想方法，是中档题19 （12 分）某校组织的一次教师招聘共分笔试和面试两个环节，笔试环节共有 20 名大学毕业生参加，其中男、女生的比例恰好为 1：1，其成绩的茎叶图如图所示，假设成绩在90 分以上的考生可以进入面试环节
27、（1）试比较男、女两组成绩平均分的大小，并求出女生组的方差；（2）从男、女两组可以进入面试环节的考生中分别任取 1 人，求两人分差不小于 3 分的概率【分析】 （1）分别将茎叶图中的数据代入平均数、方差的计算公式即可；（2）能够进入面试的男生分数为 91，92，97，女生进入面试的分数为91，92，93，95列出各取一人的所有可能，找出分差不小于 3 分的包含的基本事件的个数和基本事件的总数，代入公式即可求出分差不小于 3 分的概率【解答】解：（1）男生组的平均分为 85；（2 分）女生组的平均分为 87所以男生组的平均分低于女生组的平均分（4 分）女生组的方差为： （6 分）（2）抽取情况为
28、：91，91； 91，92； 91，93； 91，95；92，91； 92，92； 92，93； 92，95；97，91； 97，92； 97，93； 97，95总共有 12 种（9 分）其中分差不小于（3 分）的情况为 91，95；92，95；97，91；97，92；97，93 共 5 种第 18 页（共 23 页）所以所抽取的两人中，分差不小于（3 分）的概率为 （12 分）【点评】本题考查了茎叶图的识别和应用、平均数、方差、古典概型的概率等属于基础题20 （12 分）已知抛物线 E
29、：y 28x ，直线 l：ykx4（1）若直线 l 与抛物线 E 相切，求直线 l 的方程；（2）设 Q（4，0） ，k0，直线 l 与抛物线 E 交于不同的两点 A（x 1，y 1） ，B （x 2，y 2） ，若存在点 C，使得四边形 OACB 为平行四边形（O 为原点） ，且 ACQC，求 x2 的取值范围【分析】 （1）根据题意，联立直线与抛物线的方程，整理可得 k2x28（k+1）x+160，分析可得 k0 且64（k +1） 264k 20，解可得 k 的值，代入直线的方程即可得答案；（2）根据题意，联立直线与抛物线的方程可得 k2x28（k+1）x+160，令0 可得k 的取值范
30、围，结合根与系数的关系分析可得 C 的坐标，因为 ACQC，则 kACkQC1，由向量的坐标计算公式可得 ，结合基本不等式的性质分析可得答案【解答】解：（1）根据题意，抛物线 E：y 28x ，直线 l：ykx 4，联立可得 ，整理可得 k2x28（k +1）x+160，若直线 l 与抛物线 E 相切，则 k0 且64（k+1） 264k 20，解可得 k ，所以，所求的切线方程为 ；（2）根据题意，联立直线与抛物线的方程，有 ，可得 k2x28（k+1）x+160，则64（k+1） 264k 20，且 k0，解可得 ，则有 ，所以 ，因为四边形 OACB 为平行四边形，则 ，即 C ，第 1
31、9 页（共 23 页）因为 ACQC，则 kACkQC1又 kQC ，又所以 ，所以 ，又由 k0，则 2 +22（ +1） ，当且仅当 k 时等号成立；此时 0x 24（ 1） ；故 x2 的取值范围为（0，4（ 1）【点评】本题考查抛物线的几何性质，涉及直线与抛物线的位置关系，属于综合题21 （12 分）已知函数 f（x ）a（x1）+xlnx+1（1）求函数 f（x ）的最小值；（2）若 a1，且当 x（2，+）时，恒有 k（x2）f（x）成立，求证：k 【分析】 （1）求出 f'（x ）a+1+lnx，令 f'（x ）a+1+lnx0，得 xe （a+1） ，由此能求出
32、f（x） min（2）法 1：由 k ，令 h（x） ，则 令 g（x）x42lnx得到 x2 时， g'（x）0，即 g（x）单调递增，g（e）e420，g（9）52ln9lne 5ln 920，设 x42lnx0，并记其零点为x0，则 ex 0 9，且 lnx0 ，由此能证明 k 法 2：推导出 x+xlnxk （x2）令 t（x ）xlnx+（1k）x+2k，则 t'（x ）lnx+2k，由 t'（x）lnx +2k0 得 xe k2 ，由 ek2 2 和 ek2 2，进行分类讨论经，利用导数性质能证明 k 【解答】解：（1）由 f（x ）a（x1）+xlnx+1
33、，得 f'（x）a+1+ lnx，令 f'（x）a+1+ lnx0 得，xe （a+1） ，（2 分）当 x（0，e （a+1） ）时，f'（x）0，函数 f（x）单调递减，x（e （a+1） ，+）时，f' （ x）0，函数 f（x ）单调递增，第 20 页（共 23 页）所以f（x） minf（e （a+1） ）1ae （a+1） （5 分）（2）解法 1：由题设可得 k ，令 h（x） ，则 （7 分）令 g（x）x42lnx又 ，x2 时，g'（x）0，即 g（x ）单调递增（8 分）由于 g（e）e 420，g（9）52ln9lne 5ln9
34、20，（9 分）设 x42lnx0，并记其零点为 x0，故 ex 09，且 lnx0 ，当 2xx 0 时，g（x ）0 ，即 h（x）0，h（x）单调递减；当 xx 0 时，g（x ）0，即 h（x）0，h（x）单调递增，h min（x）h（x 0） ，（11分）k ，由于 kZ，且 ex 09，k （12 分）法 2：由题设可得 x+xlnxk （ x2）令 t（x）xlnx+（1k）x +2k，所以 t'（x）lnx+2k由 t'（x）lnx +2k0 得 xe k2 （7 分）若 ek2 2，即 k2+ ln2 时，在 x（2，+）上，有 t'（x）0，故函数
35、t（x）单调递增所以 t（x）t（2）2+2ln2 0（8 分）若 ek2 2，即 k2+ ln2 时，在 x（2，e k 2）上，有 t'（x）0 故函数 t（x）在 x（2，e k2 ）上单调递减在 x（e k2 ， +）上，有 t'（x）0 故函数 t（x）在 x（e k2 ，+）上单调递增所以，在 x（ 2，+）上， （9 分）第 21 页（共 23 页）故欲使 2ke k2 ，只需 即可又因为，令 m（k）2ke k2 ，m '（k ）2e k2故由 m'（k） 2e k2 0， k2+ln2（10 分）所以，k2+ln2 时，m'（k）0，即
36、 m（k）单调递减又 k4 时，2k8，e k2 e 22.72 27.4，即 k4 时 2ke k2 成立而当 时， （2k） 281， （e k2 ） 2e 52.7 598，即 k4.5 时 2ke k2 不成立k （12 分）【点评】本题考查讨论含参数函数的单调性问题、利用导数解决恒成立问题、不等式证明问题解决恒成立问题的常用方法为分离变量的方式，通过参数与新函数的最值之间的关系求得结果证明不等式时，通常将所证不等式进行转化，通过构造函数变成函数单调性和最值的求解问题（二）选考题：共 10 分请考生从第 22、23 两题中任选一题作答，并用 2B 铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方
37、框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分选修 4-4：坐标系与参数方程22 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 以原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，且曲线 C 的极坐标方程为（1）写出直线 l 的普通方程与曲线 C 的直角坐标方程；（2）设直线 l 上的定点 P，在曲线 C 外且其到 C 上的点的最短距离为 ，试求点P 的坐标【分析】 （1）消去参数 t 可得直线 l 的普通方程；由极坐标和直角坐标的互化公式可得曲线 C 的直角坐标方程；（2）问题转化为 P 到圆心的距离减去半径等于 列方程可得
38、【解答】解：（1）由 消去参数 t，得 yx+1第 22 页（共 23 页）即直线 l 的普通方程为 xy+10（2 分）因为 ，又 xcos ，ysin曲线 C 的直角坐标方程为（ x1） 2+（y 1） 22（5 分）（2）由（x1） 2+（y 1） 22 知，曲线 C 是以 Q（1，1）为圆心， 为半径的圆设点 P 的坐标为（ ） ，则点 P 到 C 上的点的最短距离为|PQ| （7 分）即 ，整理得 解得所以点 P 的坐标为（1，0）或（2，3）（10 分）法二：由（x1） 2+（y 1） 22 知，曲线 C 是以 Q（1，1）为圆心， 为半径的圆设点 P 的坐标为（x ，x +1）
39、，则点 P 到 C 上的点的最短距离为|PQ| （7 分）即 ， ，整理得 x2x20，解得 x11，x 22所以点 P 的坐标为（1，0）或（2，3）（10 分）【点评】本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题选修 4-5：不等式选讲23已知函数 f（x ）|x +a|+|x2|1（1）若 a1，求不等式 f（ x）2 的解集；（2）若 x1， 2时，f（x ） +x4 恒成立，求 a 的取值范围【分析】 （1）原不等式化为| x+a|+|x2| 3，而|x+a|+|x2|a+2| ，结合 a1 可确定解集为 R；（2）利用 x1，2把原不等式转化为|x +a|3 恒成立，即3xa3x 恒成立，进而得解【解答】解：（1）|x +a|+|x2|12 |x+a|+|x2|3|x +a|+|x2| | a+2|，第 23 页（共 23 页）且 a1，|a +2|3，解集为 R；（2）若 x1， 2，f（x ） |x+a|+2x1，则 f（x）+x4 恒成立|x +a|3 恒成立，3xa3x 恒成立，4a1，故 a 的取值范围为4，1【点评】此题考查了绝对值不等式的性质，及不等式恒成立问题等价转化，难度适中
