1、2019 年河北省唐山市路北区中考数学二模试卷一、选择题（本大题共 16 个小题；1-10 小題，每题 3 分；111-16 小题，每题 2 分，共 42分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 （3 分）若代数式 有意义，则实数 x 的取值范围是（ ）Ax0 Bx3 Cx0 Dx 32 （3 分）计算 3.81073.710 7，结果用科学记数法表示为（ ）A0.110 7 B0.110 6 C110 7 D110 63 （3 分）在O 中，已知半径为 5，弦 AB 的长为 8，则圆心 O 到 AB 的距离为（ ）A3 B4 C5 D64
2、（3 分）一元一次不等式 x+12 的解集在数轴上表示为（ ）A BC D5 （3 分） 如图，AB CD，AD 平分BAC，若BAD70，那么ACD 的度数为（ ）A40 B35 C50 D456 （3 分）如图所示是测量一物体体积的过程：步骤一，将 180ml 的水装进一个容量为 300ml 的杯子中步骤二，将三个相同的玻璃球放入水中，结果水没有满步骤三，同样的玻璃球再加一个放入水中，结果水满溢出根据以上过程，推测一颗玻璃球的体积在下列哪一范围内（1mL1cm 3） （ ）A10cm 3 以上， 20cm3 以下 B20cm 3 以上，30cm 3 以下
3、第 2 页（共 32 页）C30cm 3 以上，40cm 3 以下 D40cm 3 以上，50cm 3 以下7 （3 分）若阿光以四种不同的方式连接正六边形 ABCDEF 的两条对角线，连接后的情形如下列选项中的图形所示，则下列哪一个图形不是轴对称图形（ ）A BC D8 （3 分）已知点 A 与点 B 关于原点对称，A 的坐标是（2，3） ，那么经过点 B 的反比例函数的解析式是（ ）Ay By Cy Dy 9 （3 分）用配方法解一元二次方程 x2+4x50，此方程可变形为（ ）A （x+2） 29 B （x2） 29 C （x+2） 21 D （x 2
4、） 2110 （3 分）图中的手机截屏内容是某同学完成的作业，他做对的题数是（ ）A2 个 B3 个 C4 个 D5 个11 （2 分）如图，电线杆 CD 的高度为 h，两根拉线 AC 与 BC 互相垂直（A、D 、B 在同一条直线上） ，设CAB ，那么拉线 BC 的长度为（ ）第 3 页（共 32 页）A B C D12 （2 分）在一个不透明的盒子中装有 3 个红球、2 个黄球和 1 个绿球，这些球除了颜色外无其他差别从中随机摸出一个小球，恰好是黄球的概率为（ ）A B C D13 （2 分）图 1 和图 2 中所有的正方形都全等，将图 1 的正方形放
5、在图 2 中的某一位置，所组成的图形不能围成正方体的位置是（ ）A B C D14 （2 分）如图，在ABC 中，AD 平分BAC，按如下步骤作图：第一步，分别以点 A、D 为圆心，以大于 AD 的长为半径在 AD 两侧作弧，交于两点M、N；第二步，连接 MN 分别交 AB、AC 于点 E、F；第三步，连接 DE、DF若 BD6，AF 4，CD 3，则 BE 的长是（ ）A2 B4 C6 D815 （2 分）已知坐标平面上有两个二次函数 ya（x+1） （x7） ，yb（x +1） （x 15）的图形，其中 a、b 为整数判断将二次函数 yb（x+1） （x15）的图形
6、依下列哪一种方第 4 页（共 32 页）式平移后，会使得此两图形的对称轴重叠（ ）A向左平移 4 单位 B向右平移 4 单位C向左平移 8 单位 D向右平移 8 单位16 （2 分）如图，O 为锐角三角形 ABC 的外心，四边形 OCDE 为正方形，其中 E 点在ABC 的外部，判断下列叙述何者正确（ ）AO 是AEB 的外心，O 是 AED 的外心BO 是AEB 的外心，O 不是AED 的外心CO 不是AEB 的外心，O 是AED 的外心DO 不是AEB 的外心，O 不是AED 的外心二、填空题（本大题共 3 个小题；每空 3 分，共 12 分，把答案写在题中横线上
7、）17 （3 分）分式方程 1 的解是 x 18 （3 分）如图所示，正五边形 ABCDE 的边长为 1，B 过五边形的顶点 A、C，则劣弧AC 的长为 19 （6 分）将一个直角三角形纸片 ABO，放置在平面直角坐标中，点 A（ ，0） ，点B（0， 1） ，点 O（0，0） ，过边 OA 上的动点 M（点 M 不与点 O，A 重合）作 MNAB于 N，沿着 MN 折叠该纸片，得顶点 A 的对应点 A'设 OMm，折叠后的A'MN 与四边形 OMNB 重叠部分的面积为 S（1）如图，当点 A'与顶点 B 重合时，
8、点 M 的坐标为 （2）当 S 时，点 M 的坐标为 第 5 页（共 32 页）三、解答题（本大题共 7 个小题，共 68 分）20 （8 分）有三个有理数 x、y、z，其中 x （ n 为正整数）且 x 与 y 互为相反数，y 与 z 互为倒数（1）当 n 为奇数时，求出 x、y、z 这三个数，并计算 xyy n（y2z） 2015 的值（2）当 n 为偶数时，你能求出 x、y、z 这三个数吗？为什么？21 （9 分）阅读与证明：请阅读以下材料，并完成相应的任务传说古希腊毕达哥拉斯（约公元 570 年约公元前 500 年）学
9、派的数学家经常在沙滩上研究数学问题他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，比如，他们研究过1、3、6，10由于这些数可以用图中所示的三角形点阵表示，他们就将其称为三角形数，第 n 个三角形数可以用 （n1）表示任务：请根据以上材料，证明以下结论：（1）任意一个三角形数乘 8 再加 1 是一个完全平方数；（2）连续两个三角形数的和是一个完全平方数22 （9 分）为了迎接体育中考，初三 7 班的体育老师对全班 48 名学生进行了一次体能模拟测试，得分均为整数，满分 10 分，成绩达到 6 分以上（包括 6 分）为合格，成绩达到 9 分以上（包括 9 分）为优秀，这次模拟测试中男、女生全部成绩分布的条形
10、统计图如下（1）请补充完成下面的成绩统计分析表：平均分 方差 中位数 合格率 优秀率男生 6.9 2.4 91.7% 16.7%女生 1.3 83.3% 8.3%第 6 页（共 32 页）（2）男生说他们的合格率、优秀率均高于女生，所以他们的成绩好于女生，但女生不同意男生的说法，认为女生的成绩要好于男生，请给出两条支持女生观点的理由；（3）体育老师说，咱班的合格率基本达标，但优秀率太低，我们必须加强体育锻炼，两周后的目标是：全班优秀率达到 50%如果女生新增优秀人数恰好
11、是男生新增优秀人数的两倍，那么男、女生分别新增多少优秀人数才能达到老师的目标？23 （9 分）在 RtABC 中，BAC90，D 是 BC 的中点，E 是 AD 的中点，过点 A 作AF BC 交 BE 的延长线于点 F（1）求证：AEFDEB；（2）证明四边形 ADCF 是菱形；（3）若 AC4，AB5，求菱形 ADCF 的面积24 （10 分）已知函数 yx+4 的图象与函数 的图象在同一坐标系内函数yx +4 的图象如图 1 与坐标轴交于 A、B 两点，点 M（ 2，m）是直线 AB 上一点，点N 与点 M 关于 y 轴对称，线段 MN 交 y 轴于点 C（1）m &nbs
12、p; ，S AOB ；（2）如果线段 MN 被反比例函数 的图象分成两部分，并且这两部分长度的比为1：3，求 k 的值；（3）如图 2，若反比例函数 图象经过点 N，此时反比例函数上存在两个点E（x 1， y1） 、F（x 2，y 2）关于原点对称且到直线 MN 的距离之比为 1：3，若 x1x 2 请直接写出这两点的坐标第 7 页（共 32 页）25 （10 分）某企业生产并销售某种产品，假设销售量与产量相等，图中的线段 AB 表示该产品每千克生产成本 y1（单位：元）与产量 x（单位：kg）之间的函数关系；线段 CD表示该产品销售价 y2（单位：元）
13、与产量 x（单位：kg）之间的函数关系，已知0x120，m60（1）求线段 AB 所表示的 y1 与 x 之间的函数表达式；（2）若 m95，该产品产量为多少时，获得的利润最大？最大利润是多少？（3）若 60m70，该产品产量为多少时，获得的利润最大？26 （11 分）如图，在矩形 ABCD 中，ADacm ，AB bcm（ab4） ，半径为 2cm 的O 在矩形内且与 AB、AD 均相切现动点 P 从 A 点出发，在矩形边上沿着AB C D 的方向匀速移动，当点 P 到达 D 点时停止移动； O 在矩形内部沿 AD 向右匀速平移，移动到与 CD 相切时立即沿原路按原速返回，当O 回到出发时的
14、位置（即再次与 AB 相切）时停止移动已知点 P 与 O 同时开始移动，同时停止移动（即同时到达各自的终止位置）（1）如图 ，点 P 从 ABCD，全程共移动了 cm （用含 a、b 的代数式表示） ；（2）如图 ，已知点 P 从 A 点出发，移动 2s 到达 B 点，继续移动 3s，到达 BC 的中点，若点 P 与O 的移动速度相等，求在这 5s 时间内圆心 O 移动的距离；（3）如图 ，已知 a20，b10是否存在如下情形：当O 到达O 1 的位置时（此时圆心 O1 在矩形对角线 BD 上） ，DP 与O 1 恰好相切？如存在，直接写出点 P 的移动第 8 页（
15、共 32 页）速度 V1 与 O 移动速度 V2 的比值（即 的值） ；如不存在，请简要说明理由第 9 页（共 32 页）2019 年河北省唐山市路北区中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共 16 个小题；1-10 小題，每题 3 分；111-16 小题，每题 2 分，共 42分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 （3 分）若代数式 有意义，则实数 x 的取值范围是（ ）Ax0 Bx3 Cx0 Dx 3【分析】根据分式有意义的条件列出不等式解不等式即可【解答】解：由题意得，x30，解得，x3，故选：D【点评】本题考查的是分式有意义的条件，掌握分式
16、有意义的条件是分母不等于零是解题的关键2 （3 分）计算 3.81073.710 7，结果用科学记数法表示为（ ）A0.110 7 B0.110 6 C110 7 D110 6【分析】直接根据乘法分配律即可求解【解答】解：3.810 73.710 7（3.83.7）10 70.110 7110 6故选：D【点评】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a| 10 ，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值注意灵活运用运算定律简便计算3 （3 分）在O 中，已知半径为 5，弦 AB 的长为 8，则圆心 O 到 AB 的距离为（
17、 ）A3 B4 C5 D6【分析】作 OCAB 于 C，连接 OA，根据垂径定理得到 ACBC AB4，然后在RtAOC 中利用勾股定理计算 OC 即可【解答】解：作 OCAB 于 C，连结 OA，如图，OCAB ，第 10 页（共 32 页）ACBC AB 84，在 Rt AOC 中， OA5，OC ，即圆心 O 到 AB 的距离为 3故选：A【点评】本题考查了垂径定理：垂直弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧关键是根据勾股定理解答4 （3 分）一元一次不等式 x+12 的解集在数轴上表示为（ ）A BC D【分析】求出不等式的解集，表示出数轴上即可【解答】解：不
18、等式 x+12，解得：x1，如图所示：故选：B【点评】此题考查了在数轴上表示不等式的解集，以及解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解本题的关键5 （3 分） 如图，AB CD，AD 平分BAC，若BAD70，那么ACD 的度数为（ ）A40 B35 C50 D45第 11 页（共 32 页）【分析】根据角平分线定义求出BAC，根据平行线性质得出ACD+BAC 180，代入求出即可【解答】解：AD 平分BAC，BAD70，BAC2BAD140，ABCD，ACD180BAC40，故选：A【点评】本题考查了角平分线定义和平行线的性质的应用，关键是求出BAC 的度数，再结合ACD+BAC1
19、80 6 （3 分）如图所示是测量一物体体积的过程：步骤一，将 180ml 的水装进一个容量为 300ml 的杯子中步骤二，将三个相同的玻璃球放入水中，结果水没有满步骤三，同样的玻璃球再加一个放入水中，结果水满溢出根据以上过程，推测一颗玻璃球的体积在下列哪一范围内（1mL1cm 3） （ ）A10cm 3 以上， 20cm3 以下 B20cm 3 以上，30cm 3 以下C30cm 3 以上，40cm 3 以下 D40cm 3 以上，50cm 3 以下【分析】先求出剩余容量，然后分别除以 3 和 4，就可知道球的体积范围【解答】解：300180120，120340，120430故选
20、：C【点评】特别注意水没满与满的状态7 （3 分）若阿光以四种不同的方式连接正六边形 ABCDEF 的两条对角线，连接后的情形如下列选项中的图形所示，则下列哪一个图形不是轴对称图形（ ）A B第 12 页（共 32 页）C D【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可【解答】解：A、是轴对称图形，故此选项错误；B、是轴对称图形，故此选项错误；C、是轴对称图形，故此选项错误；D、不是轴对称图形，故此选项正确；故选：D【点评】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的概念8 （3 分
21、）已知点 A 与点 B 关于原点对称，A 的坐标是（2，3） ，那么经过点 B 的反比例函数的解析式是（ ）Ay By Cy Dy 【分析】先根据中心对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，求得 B 为（2，3） ，然后把（2，3）代入函数 y 中可先求出 k 的值，那么就可求出函数解析式【解答】解：点 A（2，3） ，点 A 关于原点对称的点 B 的坐标（2，3） ，反比例函数 y 经过 B 点，k236，反比例函数的解析式是 y 故选：C【点评】本题考查了关于原点的对称的点的坐标和待定系数法求反比例函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键9 （3 分）用配方法解一元二
22、次方程 x2+4x50，此方程可变形为（ ）A （x+2） 29 B （x2） 29 C （x+2） 21 D （x 2） 21第 13 页（共 32 页）【分析】移项后配方，再根据完全平方公式求出即可【解答】解：x 2+4x50，x2+4x5，x2+4x+225+2 2，（x+2） 29，故选：A【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，关键是能正确配方10 （3 分）图中的手机截屏内容是某同学完成的作业，他做对的题数是（ ）A2 个 B3 个 C4 个 D5 个【分析】直接利用幂的乘方运算法则以及相反数的定义以及绝对值的性质、倒数的定义分别分析得出答案【解答】解：（1
23、）3 的绝对值是 3，正确，故原题解答错误；（2） （a 2） 3a 6，错误，故原题解答错误；（3）a 的相反数是：a，错误，故原题解答正确；（4） 的倒数是 ，错误，故原题解答错误；（5）cos45 ，错误，故原题解答正确；故选：A【点评】此题主要考查了幂的乘方运算以及相反数的定义以及绝对值的性质、倒数的定义，正确把握相关定义是解题关键11 （2 分）如图，电线杆 CD 的高度为 h，两根拉线 AC 与 BC 互相垂直（A、D 、B 在同一条直线上） ，设CAB ，那么拉线 BC 的长度为（ ）第 14 页（共 32 页）A B C D【分析】根据同角的余角相等得CADBCD，
24、由 osBCD ，即可求出 BC 的长度【解答】解：CAD+ACD90，ACD+BCD90，CADBCD，在 Rt BCD 中， cosBCD ，BC ，故选：B【点评】本题主要考查解直角三角形的应用，熟练掌握同角的余角相等和三角函数的定义是解题的关键12 （2 分）在一个不透明的盒子中装有 3 个红球、2 个黄球和 1 个绿球，这些球除了颜色外无其他差别从中随机摸出一个小球，恰好是黄球的概率为（ ）A B C D【分析】直接根据概率公式求解【解答】解：从中随机摸出一个小球，恰好是黄球的概率 故选：C【点评】本题考查了概率公式：随机事件 A 的概率 P（A）事件 A 可能出现的结果
25、数除以所有可能出现的结果数13 （2 分）图 1 和图 2 中所有的正方形都全等，将图 1 的正方形放在图 2 中的某一位置，所组成的图形不能围成正方体的位置是（ ）第 15 页（共 32 页）A B C D【分析】由平面图形的折叠及正方体的表面展开图的特点解题【解答】解：将图 1 的正方形放在图 2 中的的位置出现重叠的面，所以不能围成正方体，故选：A【点评】本题考查了展开图折叠成几何体，解题时勿忘记四棱柱的特征及正方体展开图的各种情形注意：只要有“田”字格的展开图都不是正方体的表面展开图14 （2 分）如图，在ABC 中，AD 平分BAC，按如下步骤作图：第一步，分别以点 A、
26、D 为圆心，以大于 AD 的长为半径在 AD 两侧作弧，交于两点M、N；第二步，连接 MN 分别交 AB、AC 于点 E、F；第三步，连接 DE、DF若 BD6，AF 4，CD 3，则 BE 的长是（ ）A2 B4 C6 D8【分析】根据已知得出 MN 是线段 AD 的垂直平分线，推出 AEDE ，AFDF，求出DEAC，DF AE，得出四边形 AEDF 是菱形，根据菱形的性质得出AEDE DFAF，根据平行线分线段成比例定理得出 ，代入求出即可【解答】解：根据作法可知：MN 是线段 AD 的垂直平分线，AEDE ，AFDF，EADEDA，AD 平分BAC，第 16 页（共 32
27、页）BADCAD，EDACAD，DEAC，同理 DFAE，四边形 AEDF 是菱形，AEDE DFAF，AF4，AEDE DFAF4，DEAC， ，BD6，AE4，CD 3， ，BE8，故选：D【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，菱形的性质和判定，线段垂直平分线性质，等腰三角形的性质的应用，能根据定理四边形 AEDF 是菱形是解此题的关键，注意：一组平行线截两条直线，所截得的对应线段成比例15 （2 分）已知坐标平面上有两个二次函数 ya（x+1） （x7） ，yb（x +1） （x 15）的图形，其中 a、b 为整数判断将二次函数 yb（x+1） （x15）的图形依下列哪一种方式平移后
28、，会使得此两图形的对称轴重叠（ ）A向左平移 4 单位 B向右平移 4 单位C向左平移 8 单位 D向右平移 8 单位【分析】将二次函数解析式展开，结合二次函数的性质找出两二次函数的对称轴，二者做差后即可得出平移方向及距离【解答】解：ya（x +1） （x 7）ax 26ax7a，y b（x+1） （x15）bx 214bx15b，二次函数 ya（x +1） （x 7）的对称轴为直线 x3，二次函数 yb（x+1） （x15）的对称轴为直线 x7，374，第 17 页（共 32 页）将二次函数 yb（x +1） （x 15）的图形向左平移 4 个单位，两图形的对称轴重叠故选：A【点
29、评】本题考查了二次函数图象与几何变换以及二次函数的性质，根据二次函数的性质找出两个二次函数的对称轴是解题的关键16 （2 分）如图，O 为锐角三角形 ABC 的外心，四边形 OCDE 为正方形，其中 E 点在ABC 的外部，判断下列叙述何者正确（ ）AO 是AEB 的外心，O 是 AED 的外心BO 是AEB 的外心，O 不是AED 的外心CO 不是AEB 的外心，O 是AED 的外心DO 不是AEB 的外心，O 不是AED 的外心【分析】根据三角形的外心的性质，可以证明 O 是ABE 的外心，不是AED 的外心【解答】解：如图，连接 OA、OB 、ODO 是ABC 的外心，OA
30、OB OC，四边形 OCDE 是正方形，OAOB OE，O 是ABE 的外心，OAOE OD，O 不是AED 的外心，故选：B【点评】本题考查三角形的外心的性质正方形的性质等知识，解本题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型第 18 页（共 32 页）二、填空题（本大题共 3 个小题；每空 3 分，共 12 分，把答案写在题中横线上）17 （3 分）分式方程 1 的解是 x 1 【分析】先确定分式方程的最简公分母为（x+2） ，两边同乘最简公分母将分式方程转化为整式方程求解【解答】解： 1，去分母，得 3xx +2整理得 2x2，解方程得 x1经检验 x1 是原分式方程的解故原分式
31、方程的解是 x1故答案为：1【点评】本题主要考查的是分式方程的解法，解分式方程要注意：（1）解分式方程的基本思想是“转化思想” ，把分式方程转化为整式方程求解 （2）解分式方程一定注意要验根18 （3 分）如图所示，正五边形 ABCDE 的边长为 1，B 过五边形的顶点 A、C，则劣弧AC 的长为 【分析】由正五边形的性质好内角和定理得出B108，然后由弧长公式即可得出结果【解答】解：五边形 ABCDE 是正五边形，B （52）180108，劣弧 AC 的长 ；故答案为： 【点评】本题考查了正五边形的性质、多边形内角和定理、弧长公式；熟练掌握正五边形的性质，由内角和定理求出B 的
32、度数是解决问题的关键第 19 页（共 32 页）19 （6 分）将一个直角三角形纸片 ABO，放置在平面直角坐标中，点 A（ ，0） ，点B（0， 1） ，点 O（0，0） ，过边 OA 上的动点 M（点 M 不与点 O，A 重合）作 MNAB于 N，沿着 MN 折叠该纸片，得顶点 A 的对应点 A'设 OMm，折叠后的A'MN 与四边形 OMNB 重叠部分的面积为 S（1）如图，当点 A'与顶点 B 重合时，点 M 的坐标为 （ ，0） （2）当 S 时，点 M 的坐标为 （ ，0） 【分析】 （1）根据折叠的性质得出 ANBN ，
33、再由含 30 度角的直角三角形的性质进行解答即可；（2）根据勾股定理和三角形的面积得出AMN，COM 和ABO 的面积，进而表示出 S 的代数式即可；再把 S 代入解答即可【解答】解：（1）当点 A'与顶点 B 重合时，N 是 AB 的中点，点 A（ ，0） ，点 B（O， 1） ，AB2，AN1，OAB30，AM ，M（ ，0） ；（2）在 RtABO 中，tan OAB ，OAB30，由 MNAB，可得：MNA 90，第 20 页（共 32 页）在 RtAMN 中，MNAMsinOAB （ m） ，ANANcosOAB （ m） ，S AMN MNAN （ m） 2，由折叠可知A&
34、#39;MNAMN，则A'OAB30，A'MO A'+OAB60，在 RtCOM 中，可得 COOM tanA'MO m，SCOM OMCO m2，SABO OAOB ，SS ABO SAMN S COM （ m） 2 m2，即 S m2+ m+ （ 0m ） ；当点 A落在第二象限时，把 S 的值代入（2）中的函数关系式中，解方程求得 m，根据 m 的取值范围判断取舍，两个根都舍去了；当点 A落在第一象限时，则 SSRtAMN，根据（2 ）中 RtAMN 的面积列方程求解，根据此时 m 的取值范围，把 S 代入，则点 M 的坐标为（ ，0） 故答案为：（ ，0
35、） ；（ ，0） 【点评】此题考查了一次函数的综合问题，关键是利用勾股定理、三角形的面积，三角函数的运用进行分析三、解答题（本大题共 7 个小题，共 68 分）20 （8 分）有三个有理数 x、y、z，其中 x （ n 为正整数）且 x 与 y 互为相反数，y 与 z 互为倒数（1）当 n 为奇数时，求出 x、y、z 这三个数，并计算 xyy n（y2z） 2015 的值（2）当 n 为偶数时，你能求出 x、y、z 这三个数吗？为什么？【分析】 （1）由 n 为奇数，利用乘方的意义确定出 x 的值，进而求出 y 与 z 的值，代入原式计算即可得到结果；（2）由 n 为偶数，利用乘方的意义确定出
36、 x 无意义，不能求出 y 与 z 的值【解答】解：（1）当 n 为奇数时，x1，y1，z1，第 21 页（共 32 页）则原式11+11；（2）当 n 为偶数时，不能求出 x，y，z 的值，理由为：分母为 0，无意义【点评】此题考查了代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键21 （9 分）阅读与证明：请阅读以下材料，并完成相应的任务传说古希腊毕达哥拉斯（约公元 570 年约公元前 500 年）学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，比如，他们研究过1、3、6，10由于这些数可以用图中所示的三角形点阵表示，他们就将其称为三角形数，第 n 个三角形数可以用 （n
37、1）表示任务：请根据以上材料，证明以下结论：（1）任意一个三角形数乘 8 再加 1 是一个完全平方数；（2）连续两个三角形数的和是一个完全平方数【分析】 （1）第 n 个三角形数 8 再加 1，再利用完全平方公式整理得出答案即可；（2）分别用 n 表示出第 n1，n 个三角形数，进一步相加整理得出答案即可【解答】证明：（1）第 n 个三角形数为 个，（ 8+14n+4n+1（2n+1） 2即任意一个三角形数乘 8 再加 1 是一个完全平方数（2）第 n1 个三角形数为 个，第 n 个三角形数为 个， + （n 2n+n 2+n）n 2，即连续两个三角形数的和是一个完全平方数【点评】此题考查完全
38、平方数，用字母表示出第 n 个三角形数，利用完全平方公式因式第 22 页（共 32 页）分解是解决问题的关键22 （9 分）为了迎接体育中考，初三 7 班的体育老师对全班 48 名学生进行了一次体能模拟测试，得分均为整数，满分 10 分，成绩达到 6 分以上（包括 6 分）为合格，成绩达到 9 分以上（包括 9 分）为优秀，这次模拟测试中男、女生全部成绩分布的条形统计图如下（1）请补充完成下面的成绩统计分析表：平均分 方差 中位数 合格率 优秀率男生 6.9 2.4 7 91.7% 16.7%女生 7 1.3 7 83.3
39、% 8.3%（2）男生说他们的合格率、优秀率均高于女生，所以他们的成绩好于女生，但女生不同意男生的说法，认为女生的成绩要好于男生，请给出两条支持女生观点的理由；（3）体育老师说，咱班的合格率基本达标，但优秀率太低，我们必须加强体育锻炼，两周后的目标是：全班优秀率达到 50%如果女生新增优秀人数恰好是男生新增优秀人数的两倍，那么男、女生分别新增多少优秀人数才能达到老师的目标？【分析】 （1）本题需先根据中位数的定义，再结合统计图得出它们的平均分和中位数即可求出答案；（2）本题需先根据以上表格，再结合女生的平均分和方差两方面说出支持女生的观点；（3）根据之前男、女生优秀人数+新增男、女生优秀人数总
40、人数50%，列方程求解可得【解答】解：（1）由条形统计图可知，男生一共 2+6+8+4+424 人，其中位数是第12、第 13 个数的平均数，第 12、13 两数均为 7，故男生中位数是 7；第 23 页（共 32 页）女生成绩平均分为： 7（分） ，其中位数是： 7（分） ；补充完成的成绩统计分析表如下：平均分 方差 中位数 合格率 优秀率男生 6.9 2.4 7 91.7% 16.7%女生 7 1.3 7 83.3% 8.3%（2）从平均数上看，女生平均分高于男生；从方差上看，女生的方差低于男生，波动性小；（3）设男生新增优秀人数为 x 人，则：2+4+ x+2x4850%，解得：x6，故
41、 6212（人） 答：男生新增优秀人数为 6 人，女生新增优秀人数为 12 人【点评】本题考查的是条形统计图的综合运用熟练进行平均数和中位数的计算是基础，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键23 （9 分）在 RtABC 中，BAC90，D 是 BC 的中点，E 是 AD 的中点，过点 A 作AF BC 交 BE 的延长线于点 F（1）求证：AEFDEB；（2）证明四边形 ADCF 是菱形；（3）若 AC4，AB5，求菱形 ADCF 的面积【分析】 （1）利用平行线的性质及中点的定义，可利用 AAS 证得结论；（2）由（1）可得 AFBD ，结合条件可求得 AFDC，则可证明四
42、边形 ADCF 为平行四边形，再利用直角三角形的性质可证得 ADCD，可证得四边形 ADCF 为菱形；（3）连接 DF，可证得四边形 ABDF 为平行四边形，则可求得 DF 的长，利用菱形的面积公式可求得答案第 24 页（共 32 页）【解答】 （1）证明：AFBC，AFE DBE，E 是 AD 的中点，AEDE ，在AFE 和DBE 中，AFE DBE（AAS ） ；（2）证明：由（1）知，AFEDBE，则 AFDBAD 为 BC 边上的中线DBDC，AFCDAFBC，四边形 ADCF 是平行四边形，BAC90，D 是 BC 的中点，E 是 AD 的中点，ADDC BC，四边形 ADCF 是
43、菱形；（3）连接 DF，AFBD ，AFBD，四边形 ABDF 是平行四边形，DFAB5，四边形 ADCF 是菱形，S 菱形 ADCF ACDF 4510【点评】本题主要考查菱形的性质及判定，利用全等三角形的性质证得 AFCD 是解题的关键，注意菱形面积公式的应用第 25 页（共 32 页）24 （10 分）已知函数 yx+4 的图象与函数 的图象在同一坐标系内函数yx +4 的图象如图 1 与坐标轴交于 A、B 两点，点 M（ 2，m）是直线 AB 上一点，点N 与点 M 关于 y 轴对称，线段 MN 交 y 轴于点 C（1）m 2 ，S AOB 8 ；（2）如果线段 MN 被反
44、比例函数 的图象分成两部分，并且这两部分长度的比为1：3，求 k 的值；（3）如图 2，若反比例函数 图象经过点 N，此时反比例函数上存在两个点E（x 1， y1） 、F（x 2，y 2）关于原点对称且到直线 MN 的距离之比为 1：3，若 x1x 2 请直接写出这两点的坐标【分析】 （1）利用点在函数图象上的特点求出 m，以及平面直角坐标系中三角形的面积的计算方法（利用坐标轴或平行于坐标轴的直线上的边作为底） （2）利用点的对称点的坐标特点求出 N 点的坐标，线段 MN 被反比例函数 的图象分成两部分，并且这两部分长度的比为 1：3，且交点为 D，分两种情况 或计算即可（3）利用点到平行于坐
45、标轴的直线的距离的计算方法以及和（2）类似的方法分两种情况处理，取绝对值时，也要分情况计算【解答】解：（1）M（2， m）在直线 yx +4 的图象上，m2+4 2，函数 yx+4 的图象与坐标轴交于 A、B 两点，A（4，0） ，B（0，4） ，OA4，OB4，第 26 页（共 32 页）S AOB OAOB 448故答案为 2，8（2）m2，M（2，2） ，点 N 与点 M 关于 y 轴对称，N（2，2） ，MN4，线段 MN 被反比例函数 的图象分成两部分，并且这两部分长度的比为 1：3，且交点为 D，当 时，即： ，ND1，D（1，2） ，k122，当 时，即： ，DM MN 41，D
46、（1，2） ，k122故 k 的值为2 或 2（3）反比例函数 图象经过点 N，且 N（2，2） ，k224，反比例函数上存在两个点 E（x 1，y 1） 、F（x 2，y 2） ，x 1y14x 2， y24，点 E（x 1，y 1） 、F（x 2，y 2）关于原点对称，x 2x 1，y 2y 1，M（2，2） ，N（2，2） ，点 E 到直线 MN 的距离为|y 12|，点 F 到直线 MN 的距离为 |y1+2|，点 E（x 1，y 1） 、F（x 2，y 2）到直线 MN 的距离之比为 1：3，第 27 页（共 32 页）点 E（x 1，y 1） 、F（x 1，y 1）到直线 MN 的
47、距离之比为 1：3，当 时，即：3|y 12| |y 1+2|当 y12 时，3y 16y 1+2，y 14，y 24，x 11，x 21当2y 12 时，3y 1+6y 1+2，y 11，y 21，x 14，x 24当 y12 时，3y 1+6y 1+2，y 12（舍） ，当 时，即：3|y 1+2| y12|，当 y12 时，3y 1+6y 12，y 14（舍） ，当2y 12 时，3y 1+6y 1+2，y 11，y 21，x 14，x 24（ x1x 2，舍） ，当 y12 时，3y 16y 1+2，y 14，y 24，x 11，x 21（ x1x 2，舍） ，E（1，4） ，F（1，4）或 E（4，1） ，F（4，1）【点评】本题是反比例函数的一道综合题，主要考查了点在函数图象上的特点，如求出m，坐标系中计算三角形面积的方法，利用坐标求两点之间的距离和点到直线
