1、2019 年广东省深圳市高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 （5 分）已知集合 Ax| x22x 0 ，Bx|1x 3 ，则 AB（ ）A （0，1） B （0，3） C （1，2） D （2，3）2 （5 分）复数 的共轭复数是（ ）A1+ i B1i C1+i D1i3 （5 分）已知双曲线 C： 的渐近线方程为 ，则该双曲线的焦距为（ ）A B2 C2 D44 （5 分）某学校随机抽取了部分学生，对他们每周使用手机的时间进行统计，得到如下的频率分布直
2、方图若从每周使用时间在15，20） ，20 ， 25） ，25，30）三组内的学生中用分层抽样的方法选取 8 人进行访谈，则应从使用时间在20，25）内的学生中选取的人数为（ ）A1 B2 C3 D45 （5 分）已知角 为第三象限角，若 3，则 sin（ ）A B C D6 （5 分）如图所示，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实（虚）线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）第 2 页（共 24 页）A B C D107 （5 分）若函数 图象的两个相邻最高点的距离为 ，则函数 f（x ）的一个单调递增区间为（ ）A B C D 8
3、（5 分）函数 的图象大致为（ ）A BC D9 （5 分）十九世纪末，法国学者贝特朗在研究几何概型时提出了“贝特朗悖论” ，即“在一个圆内任意选一条弦，这条弦的弦长长于这个圆的内接等边三角形边长的概率是多少？”贝特朗用“随机半径” 、 “随机端点” 、 “随机中点”三个合理的求解方法，但结果都不相同该悖论的矛头直击概率概念本身，强烈地刺激了概率论基础的严格化已知“随机端点”的方法如下：设 A 为圆 O 上一个定点，在圆周上随机取一点 B，连接 AB，所得弦长 AB 大于圆 O 的内接等边三角形边长的概率则由“随机端点”求法所求得的概率为（ ）第 3 页（共 24 页）
4、A B C D10 （5 分）已知正方体 ABCDA 1B1C1D1，P 为棱 CC1 的动点，Q 为棱 AA1 的中点，设直线 m 为平面 BDP 与平面 B1D1P 的交线，以下关系中正确的是（ ）AmD 1Q Bm平面 B1D1QCmB 1Q Dm 平面 A BB1 A111 （5 分）已知 F1、F 2 分别是椭圆 C： 的左、右焦点，点 A 是 F1关于直线 bx+ayab 的对称点，且 AF2x 轴，则椭圆 C 的离心率为（ ）A B C D12 （5 分）若函数 f（x ）x 在区间（1，+）上存在零点，则实数 a 的取值范围为（ ）A （0
5、， ） B （ ，e） C （0，+） D （ ，+）二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题 5 分，满分 20 分.13 （5 分）设函数 ，则 f（3） 14 （5 分）设ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，且c ，cosc ，sinA 2sinB，则 b 15 （5 分）已知等边ABC 的边长为 2，若点 D 满足 ，则 16 （5 分）如图（1） ，在等腰直角ABC 中，斜边 AB4，D 为 AB 的中点，将ACD沿 CD 折叠得到如图（2）所示的三棱锥 CA'BD，若三棱锥
6、 CA'BD 的外接球的半径为 ，则A'DB 第 4 页（共 24 页）三、解答题：本大题共 7 个小题，共 70 分，解答必须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17 （12 分）已知数列a n满足 a12，（1）判断数列 是否为等差数列，并说明理由；（2）记 Sn 为数列a n的前 n 项和，求 Sn18 （12 分）某网店经销某商品，为了解该商品的月销量 y（单位：千件）与售价 x（单位：元/件）之间的关系，收集 5 组数据进行了初步处理，得到如下数表：x 5 6 7 8 9y 8 6 4.5 3.5 3（1）统计学中用相关系数 r 来衡量
7、两个变量之间线性相关关系的强弱，若|r| 0.75，1 ，则认为相关性很强；若|r |0.3，0.75） ，则认为相关性一般；若 |r|0，0.25，则认为相关性较弱请根据上表数据计算 y 与 x 之间相关系数 r，并说明 y 与 x 之间的线性相关关系的强弱（精确到 0.01） ；（2）求 y 关于 x 的线性回归方程；（3）根据（2）中的线性回归方程，应将售价 x 定为多少，可获取最大的月销售金额？（月销售金额月销售量当月售价）附注：参考数据： 12.85，参考公式：相关系数 r ，第 5 页（共 24 页）线性回归过程 x ， ， 19 （12 分）在边长为 4 的正方形 ABCD 中，
8、点 E、F 分别为边 AB、AD 的中点，以 CE和 CF 为折痕把DFC 和BEC 折起，使点 B、D 重合于点 P 位置，连结 PA，得到如图所示的四棱锥 PAECF （1）在线段 PC 上是否存在一点 G，使 PA 与平面 EFG 平行，若存在，求 的值；若不存在，请说明理由（2）求点 A 到平面 PEC 的距离20 （12 分）设点 P 是直线 y2 上一点，过点 P 分别作抛物线 C：x 24y 的两条切线PA、 PB，其中 A、B 为切点（1）若点 A 的坐标为（1， ） ，求点 P 的横坐标；（2）当ABP 的面积为 时，求|AB| 21 （12 分）已知函数 f（x ）ae x
9、+2x1 （其中常数 e2.71828，是自然对数的底数（1）讨论函数 f（x ）的单调性；（2）证明：对任意的 a1，当 x0 时，f （x）（x+ae）x请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清楚题号.选修 4-4：坐标系与参数方程选讲22 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为 为参数）圆 C2 的方程为（x2） 2+y24，以原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，射线 l 的极坐标方程为 0（0） （l）求曲线 C1 和圆 C2 的极坐标方程：（2）当 时，射线 l 与曲线 C1 和圆 C2 分别交于
10、异于点 O 的 M、N 两点，第 6 页（共 24 页）若|ON| 2| OM|，求MC 2N 的面积选修 4-5：不等式选讲23已知函数 （）当 m2 时，求不等式 f（x）3 的解集；（）证明： 第 7 页（共 24 页）2019 年广东省深圳市高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 （5 分）已知集合 Ax| x22x 0 ，Bx|1x 3 ，则 AB（ ）A （0，1） B （0，3） C （1，2） D （2，3）【分析】先分别求出集合 A，B，由此能求出
11、 AB【解答】解：集合 Ax| x22x 0 x|0x 2 ，B x|1x3，ABx|1 x2（1，2） 故选：C【点评】本题考查交集的求法，考查并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题2 （5 分）复数 的共轭复数是（ ）A1+ i B1i C1+i D1i【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出【解答】解：复数 z 1i 的共轭复数 1+i 故选：A【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题3 （5 分）已知双曲线 C： 的渐近线方程为 ，则该双曲线的焦距为（ ）A B2 C2 D4【分析】利用
12、双曲线的渐近线方程求出 a，然后求解双曲线的焦距【解答】解：双曲线 C： 的渐近线方程为 ，可得 a ，b1，则 c 2所以 C 的焦距为：4第 8 页（共 24 页）故选：D【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查4 （5 分）某学校随机抽取了部分学生，对他们每周使用手机的时间进行统计，得到如下的频率分布直方图若从每周使用时间在15，20） ，20 ， 25） ，25，30）三组内的学生中用分层抽样的方法选取 8 人进行访谈，则应从使用时间在20，25）内的学生中选取的人数为（ ）A1 B2 C3 D4【分析】由频率分布直方图得：5（0.01+0.02+a+0.0
13、4+0.04+0.06）1，解得：a0.03，由分层抽样方法得：在15， 20） ，20 ，25） ，25，30）三组内的学生数之比为：4：3：1，则应从使用时间在20，25）内的学生中选取的人数为 3，得解【解答】解：由频率分布直方图可知：5（0.01+0.02+a+0.04+0.04+0.06）1，解得：a0.03，即在15，20） ，20，25） ，25，30）三组内的学生数之比为：4：3：1，则从每周使用时间在15，20 ） ，20 ，25） ，25，30）三组内的学生中用分层抽样的方法选取 8 人进行访谈，则应从使用时间在20，25）内的学生中选取的人数为 3，故选：C【点评】本题考
14、查了频率分布直方图及分层抽样，属简单题5 （5 分）已知角 为第三象限角，若 3，则 sin（ ）A B C D【分析】由题意利用两角和的正切公式，求得 tan的值，再利用同角三角函数的基本第 9 页（共 24 页）关系，以及三角函数在各个象限中的符号，求得 sin的值【解答】解：角 为第三象限角，若 3 ，tan ，且 sin2+cos21，sin 0，cos0，则 sin ，故选：B【点评】本题主要考查两角和的正切公式，同角三角函数的基本关系，以及三角函数在各个象限中的符号，属于基础题6 （5 分）如图所示，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实（虚）线画出的是某几何体的三视图，则
15、该几何体的体积为（ ）A B C D10【分析】首先根据三视图，把几何体复原，进一步利用体积公式求出结果【解答】解：根据三视图，该几何体是由一个圆锥和一个圆柱构成，圆锥的求半径为 2，高为 2，圆柱的底面半径为 1，高为 2所以：VV 1+V2 ， 故选：C【点评】本题考查的知识要点：三视图的应用，锥体和球体的体积公式的应用第 10 页（共 24 页）7 （5 分）若函数 图象的两个相邻最高点的距离为 ，则函数 f（x ）的一个单调递增区间为（ ）A B C D 【分析】首先利用函数的周期求出函数的关系式，进一步利用正弦型函数的性质的应用求出结果【解答】解：函数 图象的
16、两个相邻最高点的距离为 ，则：T，解得： 2，故： 令： （kZ） ，解得： （kZ） ，当 k0 时， ，即：x 故选：A【点评】本题考查的知识要点：正弦型性质的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型8 （5 分）函数 的图象大致为（ ）A BC D第 11 页（共 24 页）【分析】求出函数的定义，判断函数的奇偶性，利用函数值符号以及极限思想进行排除即可【解答】解：由 得1x0 或 0x1，函数 f（x）是偶函数，图象关于 y 轴对称，排除 A，当 0x1 时，lg|x |0，排除 C，当 x0 且 x0，f（x）0，排除 D，故选：B【点评】本题主要考查函数图象
17、的识别和判断，可以函数奇偶性，函数值的对应性以及极限思想，利用排除法是解决本题的关键9 （5 分）十九世纪末，法国学者贝特朗在研究几何概型时提出了“贝特朗悖论” ，即“在一个圆内任意选一条弦，这条弦的弦长长于这个圆的内接等边三角形边长的概率是多少？”贝特朗用“随机半径” 、 “随机端点” 、 “随机中点”三个合理的求解方法，但结果都不相同该悖论的矛头直击概率概念本身，强烈地刺激了概率论基础的严格化已知“随机端点”的方法如下：设 A 为圆 O 上一个定点，在圆周上随机取一点 B，连接 AB，所得弦长 AB 大于圆 O 的内接等边三角形边长的概率则由“随机端点”求法所求得的概率为（ ）
18、A B C D【分析】由题意画出图形，求出满足条件的 B 的位置，再由测度比是弧长比得答案【解答】解：设“弦 AB 的长超过圆内接正三角形边长”为事件 M，以点 A 为一顶点，在圆中作一圆内接正三角形 ACD，如所示，则要满足题意点 B 只能落在劣弧 CD 上，又圆内接正三角形 ACD 恰好将圆周 3 等分，故 P（M） ，故选：C【点评】本题考查几何概型的意义，关键是要找出满足条件弦 AB 的长度超过圆内接正第 12 页（共 24 页）三角形边长的图形测度，再代入几何概型计算公式求解，是基础题10 （5 分）已知正方体 ABCDA 1B1C1D1，P 为棱 CC1 的动点，Q 为棱 AA1
19、的中点，设直线 m 为平面 BDP 与平面 B1D1P 的交线，以下关系中正确的是（ ）AmD 1Q Bm平面 B1D1QCmB 1Q Dm 平面 A BB1 A1【分析】由直线 m 为平面 BDP 与平面 B1D1P 的交线，且 BDB 1D1，得到mBDB 1D1，由此能得到 m平面 B1D1Q【解答】解：正方体 ABCDA 1B1C1D1，P 为棱 CC1 的动点，Q 为棱 AA1 的中点，直线 m 为平面 BDP 与平面 B1D1P 的交线，且 BDB 1D1，mBDB 1D1，m平面 B1D1Q，B 1D1平面 B1D1Q，m平面 B1D1Q故选：B【点评】本题考查命题
20、真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题11 （5 分）已知 F1、F 2 分别是椭圆 C： 的左、右焦点，点 A 是 F1关于直线 bx+ayab 的对称点，且 AF2x 轴，则椭圆 C 的离心率为（ ）A B C D【分析】画出图形，利用已知条件求出 A 的坐标，然后求解 AF1 的中点，代入直线方程，即可求解椭圆的离心率【解答】解：F 1、F 2 分别是椭圆 C： 的左、右焦点，点 A 是 F1第 13 页（共 24 页）关于直线 bx+ayab 的对称点，且 AF2x 轴，可得 AF2 的方程为 xc，AF 1 的方程 y，可
21、得 A（c ， ） ，AF1 的中点为（0， ） ，代入直线 bx+ayab，可得：acb 2a 2c 2，e 1，可得 e2+e1 0，解得 e 故选：C【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查12 （5 分）若函数 f（x ）x 在区间（1，+）上存在零点，则实数 a 的取值范围为（ ）A （0， ） B （ ，e） C （0，+） D （ ，+）【分析】利用特殊值回代验证，利用函数的导数判断函数的单调性，求解判断即可【解答】解：当 a10 时，函数 f（x ）x ，xe 时，f（e）0，x100时，f（100）0，所以函数存在零点，所以 A、B 不正确；当 a
22、时，f（x ）x ，f（x）1 ，x1 时，f（x ）0 恒成立，函数是增函数，f（1）0，所以 a 时，函数没有零点，所以 C 不正确，故选：D【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的零点的判断，考查转化思想以及计算能第 14 页（共 24 页）力二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题 5 分，满分 20 分.13 （5 分）设函数 ，则 f（3） 4 【分析】根据题意，由函数的解析式可得 f（3）f （ 1）f（1） ，又由解析式求出f（1）的值，综合即可得答案【解答】解：根据题意，函数 ，当 x0 时，有 f（3）f（1）f （1） ，当 x0 时，f（ 1）1+3 4，则 f（3）4
23、；故答案为：4【点评】本题考查函数值的计算，涉及分段函数解析式，属于基础题14 （5 分）设ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，且c ，cosc ，sinA 2sinB，则 b 1 【分析】由已知利用正弦定理可求 a2b，进而根据余弦定理即可计算得解【解答】解：sinA2sinB，由正弦定理可得：a2b，又c ，cosc ，由余弦定理 c2a 2+b22abcosC，可得：6a 2+b22 4b 2+b2+ 2b2，解得：b1故答案为：1【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题15 （5 分）已知等边ABC 的边长为 2
24、，若点 D 满足 ，则 【分析】利用已知条件，转化斜率的数量积求解即可【解答】解：等边ABC 的边长为 2，若点 D 满足 ，则 （ + ） + + 第 15 页（共 24 页）故答案为： 【点评】本题考查斜率的数量积的应用，平面向量的加减运算，是基本知识的考查16 （5 分）如图（1） ，在等腰直角ABC 中，斜边 AB4，D 为 AB 的中点，将ACD沿 CD 折叠得到如图（2）所示的三棱锥 CA'BD，若三棱锥 CA'BD 的外接球的半径为 ，则A'DB 【分析】根据题意，先找到球心的位置，再根据球的半径是 ，以及已有的边的
25、长度和角度关系，分析即可解决【解答】解：球是三棱锥 CA'BD 的外接球，所以球心 O 到各顶点的距离相等，如图根据题意，CD平面 A'BD，取 CD 的中点 E，A'B 的中点 G，连接 CG，DG ，因为 A'DBD，CD平面 A'BD，所以 A'和 B 关于平面 CDG 对称，在平面 CDG 内，作线段 CD 的垂直平分线，则球心 O 在线段 CD 的垂直平分线上，设为图中的 O 点位置，过O 作直线 CD 的平行线，交平面 A'BD 于点 F，则 OF平面 A'BD，且 OFDE 1，因为 A'F 在平面 A
26、9;BD 内，所以 OFA'F，即三角形 A'OF 为直角三角形，且斜边 OA'R ，A'F 2，所以，BF2，所以四边形 A'DBF 为菱形，又知 ODR，三角形 ODE 为直角三角形，第 16 页（共 24 页）OE 2，三角形 A'DF 为等边三角形，A'DF ，故A'DB ，故填： 【点评】本题考查了三棱锥的外接球的问题，找到球心的位置是解决本题的关键属于难题三、解答题：本大题共 7 个小题，共 70 分，解答必须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17 （12 分）已知数列a n满足 a12，（1）判断数列 是否为等
27、差数列，并说明理由；（2）记 Sn 为数列a n的前 n 项和，求 Sn【分析】 （1）数列a n满足 a12， ，证明（a n+12 n+1）（a n2 n）为常数即可得出（2）由（1）可得： 0+2（n1） ，可得：a n2 n+2（n1） ，利用求和公式即可得出【解答】解：（1）数列a n满足 a12， ，（a n+12 n+1）（a n2 n）2a120，数列 为等差数列，首项为 0，公差为 2第 17 页（共 24 页）（2）由（1）可得： 0+2（n1） ，可得：a n2 n+2（n1） ，S n +22 n+12+ n2n【点评】本题考查了数列递推关系、等差数列与等比数列的通项公
28、式求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题18 （12 分）某网店经销某商品，为了解该商品的月销量 y（单位：千件）与售价 x（单位：元/件）之间的关系，收集 5 组数据进行了初步处理，得到如下数表：x 5 6 7 8 9y 8 6 4.5 3.5 3（1）统计学中用相关系数 r 来衡量两个变量之间线性相关关系的强弱，若|r| 0.75，1 ，则认为相关性很强；若|r |0.3，0.75） ，则认为相关性一般；若 |r|0，0.25，则认为相关性较弱请根据上表数据计算 y 与 x 之间相关系数 r，并说明 y 与 x 之间的线性相关关系的强弱（精确到 0.01） ；（2）求 y 关于 x
29、 的线性回归方程；（3）根据（2）中的线性回归方程，应将售价 x 定为多少，可获取最大的月销售金额？（月销售金额月销售量当月售价）附注：参考数据： 12.85，参考公式：相关系数 r ，线性回归过程 x ， ， 【分析】 （1）根据表格数据以及参考公式计算 ， 的值，结合相关系数 r 的大小进行判断即可（2）根据线性回归方程计算出相应的系数即可第 18 页（共 24 页）（3）结合回归方程，进行预报计算即可【解答】解：（1）由表中数据和附注中的参考数据得： 7， 5（x i ） 210， （y i ） 216.5，（x i ） （ yi ）l2.5，r 0.97 ，|r| |0.97| 0.7
30、5，1，说明 y 与 x 的线性相关性很强（2）由（1）可知 1.25， 5（1.25）713.75， 1.25x+13.75（3）由题意可知，月销售额的预报值 1000 x1250x 2+13750x， （元） ，或者 x1.25x 2+13.75x （千元） ，则当 x5.5 时， 取到最大值，即该店主将售价定为 5.5 元/件时，可使网店的月销售额最大【点评】本题主要考查线性回归方程的求解，结合参考数据进行计算求出相应系数是解决本题的关键考查学生的计算能力19 （12 分）在边长为 4 的正方形 ABCD 中，点 E、F 分别为边 AB、AD 的中点，以 CE和 CF 为折痕把DFC 和
31、BEC 折起，使点 B、D 重合于点 P 位置，连结 PA，得到如图所示的四棱锥 PAECF （1）在线段 PC 上是否存在一点 G，使 PA 与平面 EFG 平行，若存在，求 的值；若不存在，请说明理由（2）求点 A 到平面 PEC 的距离第 19 页（共 24 页）【分析】 （1）假设存在点 G 符合条件，利用线面平行的性质可得 PAOG ，故而可得的值；（2）根据 VE PACV APCE 列方程求出点 A 到平面 PEC 的距离【解答】解：（1）假设 PC 上存在点 G 使得 PA平面 EFG，连接 EF 交 AC 于 O，四边形 ABCD 是正方形，E，F 分别是 AB，AD 的中点
32、，OA AC，PA平面 EFG，PA平面 PAC，平面 PAC平面 EFGOG，PAOG， 线段 PC 上是否存在一点 G，使 PA 与平面 EFG 平行，且 （2）PCPE，PCPF ， PEPFP，PC平面 PEF，PCPO ，PC EF，E，F 是正方形 AB，AD 的中点，EFAC ，又 PCACC，EF平面 PAC，OC AC3 ，PC4，PO ，sinPCA ，S PAC 又 OE EF ，V EPAC ，又 SPCE 4，设 A 到平面 PCE 的距离为 h，第 20 页（共 24 页）则 VA PCE ，解得 h 点 A 到平面 PEC 的距离为 【点评】本题考查了线面平行的性
33、质，棱锥的体积计算，考查空间距离的计算，属于中档题20 （12 分）设点 P 是直线 y2 上一点，过点 P 分别作抛物线 C：x 24y 的两条切线PA、 PB，其中 A、B 为切点（1）若点 A 的坐标为（1， ） ，求点 P 的横坐标；（2）当ABP 的面积为 时，求|AB| 【分析】 （1）求出切线 PA 的方程后，将 P 的纵坐标代入可求得横坐标；（2）利用抛物线 x22py 的切线方程 xx02p 可得 PA，PB 的切线方程，可得切点弦 AB 方程：x 0x2y+4 0，再利用弦长公式和点到直线距离可得面积，从而可得P 的横坐标和| AB|【解答】解：（1）y x2，y x，k
34、PA ，直线 PA 的方程为y （x1） ，即 2xy10，P（ ，2） ，点 P 的横坐标为 （2）设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，P（x 0，2） ，则直线 PA 的方程为 x1x4 ，即 x1x2y2y 10，因为（x 0，2）在 PA 上，所以 x1x0+42y 10，即 x0 x12y 1+40，同理可得 x0x22y 2+40，直线 AB 的方程为 x0x2y+40，第 21 页（共 24 页）联立 消去 y 得 x22x 0x80，x 1+x22x 0，x 1x28，|AB| ，又点 P 到直线 AB 的距离 d ，S ABP d|AB | （x 02+4）
35、，解得，x 025，|AB | 3 【点评】本题考查了直线与抛物线的综合，属难题21 （12 分）已知函数 f（x ）ae x+2x1 （其中常数 e2.71828，是自然对数的底数（1）讨论函数 f（x ）的单调性；（2）证明：对任意的 a1，当 x0 时，f （x）（x+ae）x【分析】 （1）由 f（x ）ae x+2x1，得 f（x）ae x+2可得当 a0 时，f （x）0，函数 f（x ）在 R 上单调递增；当 a0 时，分别由导函数大于 0 和小于 0 求解原函数的单调区间；（2）f（x） （x+ae）x 令 g（x） ，利用导数求其最小值得证【解答】 （1）解：由 f（x ）a
36、e x+2x1，得 f（x）ae x+2当 a 0 时， f（x ）0，函数 f（x）在 R 上单调递增；第 22 页（共 24 页）当 a 0 时，由 f（x ） 0，解得 xln （ ） ，由 f（x）0，解得xln（ ） ，故 f（x）在（ ，ln（ ） ）上单调递增，在（ln （ ） ，+）上单调递减综上所述，当 a0 时，函数 f（x ）在 R 上单调递增；当 a0 时，f（x ）在（，ln （ ） ）上单调递增，在（ ln（ ） ，+）上单调递减（2）证明：f（x ）（x+ae）x 令 g（x） ，则 g（x） 当 a1 时，ae xx1e xx1令 h（x）e xx 1，则当 x
37、0 时，h（x）e x10当 x0 时，h（x ）单调递增，h（x ）h（0）0当 0x1 时，g（x ）0；当 x1 时，g（x）0；当 x1 时，g（x）0g（x）g（1）0即 ，故 f（x ）（x+ae）x【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数求函数的最值，考查数学转化思想方法，属中档题请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清楚题号.选修 4-4：坐标系与参数方程选讲22 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为 为参数）圆 C2 的方程为（x2） 2+y24，以原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建
38、立极坐标系，射线 l 的极坐标方程为 0（0） （l）求曲线 C1 和圆 C2 的极坐标方程：（2）当 时，射线 l 与曲线 C1 和圆 C2 分别交于异于点 O 的 M、N 两点，若|ON| 2| OM|，求MC 2N 的面积【分析】 （1）由 ，得 C1 的普通方程为 +y21；把 xcos ，ysin第 23 页（共 24 页）代入，得 +（sin） 21，再化简可得；（2）利用极径的几何意义和三角形的面积公式可得【解答】解：（1）由 ，得 C1 的普通方程为 +y21，把 xcos ，ysin 代入，得 +（ sin） 21，即 2 ，所以 C1 的极坐标方程为 2 ，由（x2） 2+
39、y24，把 xcos，ysin 代入，得 4cos，所以 C2 的极坐标方程为 4cos（2）把 0 代入 2 ，得 M2 ，把 0 代入 cos，得 N4cos 0，则|ON| 2| OM|，得 N2 M，则 4 ，即（4cos 0） 2 ，解得 sin20 ，cos 20 ，又 0 0 ，所以 M ， N4cos 0 ，所以MC 2N 的面积 S S S |OC2|（ N M）sin 0 【点评】本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题选修 4-5：不等式选讲23已知函数 （）当 m2 时，求不等式 f（x）3 的解集；（）证明： 【分析】 （）分 3 段去绝对值解不等数组，在相并；（）由
40、题 f（x ）|x m|+|x + |，m0，|m+ |m+ ，所以 f（x ）m+ ，当第 24 页（共 24 页）且仅当 x ，m时等号成立，再利用基本不等式可证【解答】解：（）当 m2 时，f（x）| x2|+|x + |；当 x 时，原不等式等价于（2x）（x+ ）3，解得 x ；当 时，原不等式等价于 3，不等式无解；当 x2 时，原不等式等价于（x2）+（x+ ）3，解得 x ，综上，不等式 f（x ）3 的解集为（， ）（ ，+） （）证明：由题 f（x ）|xm|+|x + |，m0，|m + |m+ ，所以 f（x）m+ ，当且仅当 x ，m 时等号成立，f（x）+ m+ + m+ （m1）+ +1，m1，m10，（m1）+ +12 +13，f（x）+ 3当 m2，且 x ，2时等号成立【点评】本题考查了绝对值不等式的解法，属中档题
