1、第八讲 比例模型1 鸟头模型两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形鸟头模型：有相等（或互补）的内角的两个三角形，其面积比等于相等（或互补）内角的夹边乘积之比.A DD AE EB C B C即有关系式 存在。SA2、风筝模型 （蝶形定理）任意四边形中的比例关系： 或者1243:SS1324S 124:AOC蝶形定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系梯形中比例关系AB CDObaS3S2 S1S4S1 S1 213:Sab ；24:ab 的对
2、应份数为 3 相似模型GF EAB CD ；AA 2:ADEBCSF ：正确识别各种图形所属的模型，并正确熟练运用比例模型中的关系例 1 如图在 ABC 中， 分别是 上的点，且 ，,DE,ABC:2:5ADB， 平方厘米，求 的面积:4:7E16S EDCBA答案 70 平方厘米解析连接 ， :2:5(4):ADEBSA ，:47()ABECS ，所以 (24):75ADEBCS ，设8D份，则 35C 份， 16ADES 平方厘米，所以 1份是 平方厘米， 份就是3平方厘米， 的面积是 0平方厘米70例 2 已知 的面积为 平方厘米， ，求 的面EF 7,2,3BECADBFABC积FED
3、CBA答案 24 平方厘米解析，:():()(1:23)1:6BDEACSBEA 48FFC : 设 份，则 份， 份， 份，24ABC BDES ADFS 9CEFS份，恰好是 平方厘米，所以 平方厘米97DEFS 724AB例 3 如图，长方形 的面积是 36， 是 的三等分点， ，则阴影部分的ABCDEAD2AED面积为OAB CDENMOAB CDE答案 2.7解析如图，连接 根据蝶形定理， ，所E 1:1:2COEDCAEDNSS以 ； ，所以12OENOEDS1:42BOEABAMS又 ， ，所以阴影部5MA1334ECD矩 形 26OEOEDS分面积为： 1362.7例 4 如图
4、，已知 ， ， ， ，线段 将图形分成两部分，左边5CDE15F6GAB部分面积是 38，右边部分面积是 65，那么三角形 的面积是DGFEDCBAABC D E F G答案 40解析连接 ， AF根据题意可知， ； ；5712CF715628DG所以， ， ， ，2BEBSSECBFCSAEGADGS，728AEDADGS于是： ； ；15627CBFSS71238287ADGCBFSS可得 故三角形 的面积是 4040ADGSADG例 5 四边形 的对角线 与 交于点 (如图所示)如果三角形 的面积等于ABCDABDOABD三角形 的面积的 ，且 ， ，那么 的长度是 的长度的_1323C
5、O倍AB CDO答案 2:1解析 ， ，:1:3ABDCOS236O:6:321OCD例 6 如图， 中， ， ， 互相平行， ，ABC EFGBCADFB则 :DEDSS 四 边 形 四 边 形EGFADCB答案 1:3:5解析设 份，根据面积比等于相似比的平方，1ADES所以 ， ，2:1:4AFGSD 2:1:9ADEBCSA 因此 份， 份，4 9BC进而有 份， 份，所以3E四 边 形 5FGBS四 边 形:ADEGFS 四 边 形 四 边 形A1 如图，三角形 的面积为 3 平方厘米，其中 ， ，ABC:2:5BE:3:2BCD三角形 的面积是多少？DEA B ECDDCEBA答案
6、 12.5 平方厘米解析由于 ，所以可以用共角定理，设 份， 份，则 份，180ABCE2AB3C5BE份，由共角定理 ，325D:():()(:)6:2ABCDESED 设 份，恰好是 平方厘米，所以 份是 平方厘米， 份就是 平6ABCS 310.5250.51方厘米，三角形 的面积是 平方厘米E2.52 如图，平行四边形 ， ， ， ， ，平行四边ABCD2CFB3GDC4HAD形 的面积是 ， 求平行四边形 与四边形 的面积比ABCD2AEHG A BCD EFHG A BCD EF答案 1/18解析连接 、 根据共角定理ACB在 和 中， 与 互补，ABC FE ABCFE 13FE
7、S又 ，所以 ABC FBES同理可得 ， ， 8G 15DHG 8AEHS所以 15+326EFHAECFBFCDS 所以 23618ABCDG3 如图，三角形 的面积是 ， 是 的中点，点 在 上，且 ，EACBC:1:2D与 交于点 则四边形 的面积等于ABEFF FED CBA33321FED CBAAB CDEFF ED CBA答案 5/12解析方法一：连接 ，根据燕尾定理， ， , F12ABFCSD 1ABFCSE设 份，则 份， 份， 份，如图所1BDFS 2DCS 3ABF 3AEFEF 标所以 521CEAB方法二：连接 ，由题目条件可得到 ，13ABDABCS ，所以 ，
8、12123ADEADCABCSS DAEF，11232FEBEBCS 而 所以则四边形 的面积等于 11323CDEACSS F54 如图，四边形被两条对角线分成 4 个三角形，其中三个三角形的面积已知，求：三角形 的面积； ？BGC:AGC AB CDG32 1答案 6 1:3解析根据蝶形定理， ，那么 ；123BGCSA 6BGCSA根据蝶形定理， :61:5 如图，平行四边形 的对角线交于 点， 、 、 、 的ABCDOCEF O DF BOE面积依次是 2、4、4 和 6求：求 的面积；求 的面积 GOG FEDCBA答案 4 2/3解析根据题意可知， 的面积为 ，那么 和 的面积都C
9、D 2461BO CD是 ，所以 的面积为 ；1628OF 8由于 的面积为 8， 的面积为 6，所以 的面积为 ，B BOE E 862根据蝶形定理， ，所以:2:41CFEGS，:12GCEFS那么 3GCECEFSB6 如图，长方形 中， ， ，三角形 的面积为 平方ABCD:2:3E:1:2DFCDFG2厘米，求长方形 的面积AB CDEFGAB CDEFG答案 平方厘米72解析连接 ， AEF因为 ， ，所:3BC:1:2D以 1()520DEFABCABCDSSSA长 方 形 长 方 形因为 ， ，所以 平方厘米，DA长 方 形 1:5:2GF510AGDFSA所以 平方厘米因为
10、，所以长方形 的面积是12FDSA 6AFDBCS长 方 形 BC72平方厘米7 如图，正方形 面积为 平方厘米， 是 边上的中点求图中阴影部分的面BC3M积GM DCBA答案 1 平方厘米解析因为 是 边上的中点，所以 ，根据梯形蝶形定理可以知道MAD:1:2BC，设 份，22: 1:4GBMCGSS （ ） （ ） 1AGMS则 份，所以正方形的面积为 份，123MCDS 124312份，所以 ，所以 平方厘米4阴 影 :1:3S阴 影 正 方 形 S阴 影8 在下图的正方形 中， 是 边的中点， 与 相交于 点，三角形 的ABCDEAEBDFBEF面积为 1 平方厘米，那么正方形 面积是
11、平方厘米AB CDEF答案 12 平方厘米解析连接 ，根据题意可知 ，根据蝶形定理得 (平方DE:1:2AD219S梯 形 （ ）厘米)， (平方厘米)，那么 (平方厘米)3CS BCS9 已知 是平行四边形， ，三角形 的面积为 6 平方厘米则阴影ABCD:3:2BCEODE部分的面积是平方厘米OEAB CDOEAB CD答案 21 平方厘米解析 连接 AC由于 是平行四边形， ，所以 ，BD:3:2BE:2:3EAD根据梯形蝶形定理， ，所以224:69COEADOASSA(平方厘米)， (平方厘米)，又 (平方厘米)，6AOCS9 15ABCDS阴影部分面积为 (平方厘米)615210
12、右图中 是梯形， 是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位：平方厘ABCDABE米)阴影部分的面积是平方厘米21AB CDE9421AB CDEO94答案 6 平方厘米解析 连接 由于 与 是平行的，所以 也是梯形，那ADAD么 OCOES根据蝶形定理， ，故4936OCDAEADS，236OCDS所以 (平方厘米)C11 右图中 是梯形， 是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位：平方厘ABCDABE米)，阴影部分的面积是平方厘米1682AB CDEO1682AB CDE答案 4 平方厘米解析连接 由于 与 是平行的，所以 也是梯形，那么 AEDADOCDAES根据蝶形定理， ，故281
13、6OCDAEOCEADSS，所以 (平方厘米)216OCDS4另解：在平行四边形 中， (平方厘米)，B116822ADEABEDS所以 (平方厘米)，84AOEDAOS根据蝶形定理，阴影部分的面积为 (平方厘米)12 在四边形 ABCD 中，其对角线 AC、DB 交于 E 点。且 AF=CE，DE=BG 。已知四边形ABCD 的面积为 1，求 EFG 的面积。答案 1解析分别用 a、b 、c、d 表示CDE、 ADE、ABE、 BCE。由鸟头模型，可知：a:SEFG=(CEDE):(EFEG);b:SEFG=(AEDE):(EFEG);c:SEFG(AEBE):(EFEG);d:SEFG(C
14、EBE):(EFEG).因此，(a+b+c+d):4SEFG(CEDE+AEDE+AEBE+CEBE):(EFEG)=DE(AE+CE)+BE(AE+CE):(EFEG)=(AE+CE)(BE+DE):(EFEG)=(ACBD):(EFEG)。因为 AF=EC、DEBG，可知 BD=EG、EF AC ，因此(ACBD):(EFEG)=1，即 SEFGS 四边形 ABCD=113 如图所示，正方形 边长为 6 厘米， ， 三角形 的ABCD13AEC13FBDEF面积为_平方厘米FEDCBA答案 10 平方厘米解析 由题意知 、 ，可得 根据”共角定理”可得，13AEC13FB23CEA；而:(
15、):()1:():9CFBS ；所以 ；同理得， ;，628A 4CEFS 2:3CDEAS ，13DE 6D故 (平方厘米)120FCEFS 14 如图，已知三角形 面积为 ，延长 至 ，使 ；延长 至 ，使ABABABCE；延长 至 ，使 ，求三角形 的面积2CEB3CDEFFEDCB A答案 18解析用共角定理在 和 中， 与 互补，ABCFEACBFE 1428BCFESA又 ，所以 FCESAAB同理可得 6D， 3BD所以 18631EFACFEAFBDESSA 15 如图所示，正方形 边长为 8厘米， 是 A的中点， F是 CE的中点， G是BF的中点，三角形 BG的面积是多少平
16、方厘米？AB CDEFG答案 12 平方厘米解析连接 、 AFE因为 ，根据”当两个三角形有一个角相等或互补时，这21864BCDES 两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比” ， ，8AEFSEFGA再根据”当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比” ，得到 ， ， ，所以16BFCSA32ABFE4ABF平方厘米12ABGS1 如图，三角形 ABC 被分成了甲 (阴影部分)、乙两部分， ， ，4BDC3BE乙部分面积是甲部分面积的几倍？6AE乙乙ED CBA答案 5解析连接 AD 3BE， 6A 3BE， 3ABDESA又 4C， 2C
17、AS， 6C， 5S乙 甲2 如图在 AB 中， D在 的延长线上， 在 上，且 ，E:5:2ABD， 平方厘米，求 的面积:3:2EC1AES ABC答案 平方厘米50解析连接 ， BE:2:5(3):ADEBSA 所以 ，设 份，则 份，:(32)5()6ADC 6ADES 25ABCS平方厘米，所以 份是 平方厘米， 份就是 平方厘米， 的面积是12ES 15050平方厘米3 长方形 的面积为 36 ， 、 、 G为各边中点， H为 A边上任意一点，问阴影ABC2cmEF部分面积是多少？HGFEDCBA答案 13.5解析寻找可利用的条件，连接 BH、 ，如下图：EDCBAHGFEDCBA
18、可得： 、 、 ，而12EHBAHBS12FBCHBS12DGDHCS36ABCDACDS即11()36822EHBFHGAHBCHDSSS；EHBFDGEBS阴 影，111()()364.5228所以阴影部分的面积是： 13.EBFS阴 影4 如图所示，在平行四边形 ABCD 中，E 为 AB 的中点， 2AC，三角形 AFE(图中阴影部分)的面积为 8 平方厘米平行四边形的面积是多少平方厘米？EFD CBA答案 48 平方厘米解析 连接 FB三角形 AFB 面积是三角形 CFB 面积的 2 倍，而三角形 AFB 面积是三角形AEF 面积的 2 倍，所以三角形 ABC 面积是三角形 AEF
19、面积的 3 倍；又因为平行四边形的面积是三角形 ABC 面积的 2 倍，所以平行四边形的面积是三角形 AFE 面积的 326（ ） 倍因此，平行四边形的面积为 864(平方厘米)5 如图， 中， ， ， ， ， 互相平行，ABC DEFGMNPQBC，则 ADFMPB:DEG PSSS 四 边 形 四 边 形 四 边 形 四 边 形答案 1:3:5:7:9QEGNMFPADCB解析 设 份， ，因此 份，进而有1ADES2:1:4ADEFGSA 4AFGS份，同理有 份， 份， 份3GF四 边 形 5NM四 边 形 7MNQPS四 边 形 9PQCB四 边 形所以有 :1:357:ADEDEG
20、FFGBSS 四 边 形 四 边 形 四 边 形 四 边 形1 如图在 中， 分别是 上的点，且 ， ，ABC ,DE,ABC:2:5ADB:4:7AEC平方厘米，求 的面积6DES EDCBAEDCBA答案 70 平方厘米解析连接 ， ，E:2:5(4):ADEBSA ，所以 ，47BC :(24):75ADEBCS 设 份，则 份， 平方厘米，所以 份是 平方厘米，8AE 3ABCS 16ADES 1份就是 平方厘米， 的面积是 平方厘米3570 702 如图，三角形 中， 是 的 5 倍， 是 的 3 倍，如果三角形 的面积ABCADCAEADE等于 1，那么三角形 的面积是多少？ABC
21、EDCBAAB CD E答案 15解析连接 E 又 ，3A3ABCESA5AD51EABABCSSA15BCDESA3 如图，园林小路由白色正方形石板和红、青两色的三角形石板铺成. 问：内圈红色三角形石板的总面积大，还是外圈青色三角形石板的总面积大？答案一样大解析图中有多个。因为白色石板均为正方形（如图） 。因此 AB=AD、AE=AC，推出 SADE:SABC (ADAE):（ABAC)1:1，即两三角形面积相等。同理可知内圈红色三角形面积应该等于外圈青色三角形面积，所以内外总面积相等。4、如下图，在三角形 ABC 中，BD=2AD，AG=2CG，E、F 为 BC 边上的三等分点，求四边形
22、DGFE 面积占三角形 ABC 的几分之几？答案 4/9解析 三角形 ADG 的面积：三角形 ABC 的面积=(AD:AB)(AG:AC)=(1：3)(2：3)=2/9三角形 CGF 的面积：三角形 ABC 的面积=(CG:AC)(CF:BC)=(1：3)(1：3)=1/9三角形 BED 的面积：三角形 ABC 的面积=(BD:AB) (BE:BC)=(2：3)(1：3)=2/9四边形 DGFE=1-2/9-1/9-2/9=4/95 已知三角形 ABC 面积为 1， 分别延长 AB、 BC、 CA 至 D、 E、 F， 使 BD =AB ，CE =BC , AF =AC，求三角形 DEF 的面
23、积.答案 7解析6 以下各个示意图中均有两个三角形，给出了某些线段的长度，请求出小三角形和大三角形的面积比.答案 2/25 1/12 5/28 3/56 1/8 1/9 3/5 34/585解析7 AC 的长云是 AD 的五分之四，且AED 的面积是ABC 面积的一半。请问：AE 是 AB 的几分之几？答案 2/5解析因为“AC 的长云是 AD 的五分之四” ，所以 SABC:SABD4:5，又因为 SAED 是SABC 的一半，可知 SAED 占 2 份，SAED:SABD2:5。因此 AE 是 AB 的五分之二。8 如图， 平行 ，且 ， ， ，求 的长DEBCAD5B4AECAEDCB答案 10解析 ，所以:2:5ADEDB42510AC课 程 顾 问 签 字 ： 教 学 主 管 签 字 ：
