1、2018 年安徽省合肥市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （5 分）已知复数 z 满足 z（12i）i （i 是虚数） ，则复数 z 在复平面内对应的点在（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限2 （5 分）已知集合 Ax| 2x3，集合 Bx|x1，则 AB（ ）A （2，1） B （2，3） C （，1） D （，3）3 （5 分）命题 p：a0，关于 x 的方程 x2+ax+10 有实数解，则p 为（ ）Aa 0，关于 x 的方程
2、 x2+ax+10 有实数解Ba0，关于 x 的方程 x2+ax+10 没有实数解Ca0，关于 x 的方程 x2+ax+10 没有实数解Da 0，关于 x 的方程 x2+ax+10 有实数解4 （5 分）在直角坐标系中，若角 的终边经过点 ，则sin（+ ）（ ）A B C D5 （5 分）中国古代词中，有一道“八子分绵”的数学名题：“九百九十六斤绵，赠分八子做盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言” 题意是：把 996 斤绵分给 8 个儿子作盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多 17 斤绵，那么第 8个儿子分到的绵是（ ）A174 斤 B184 斤
3、 C191 斤 D201 斤6 （5 分）执行如图所示的程序框图，若输出的结果为 1，则输入 x 的值为（ ）第 2 页（共 26 页）A3 或2 B2 或2 C3 或1 D2 或1 或 37 （5 分）小李从网上购买了一件商品，快递员计划在下午 5：006：00 之间送货上门，已知小李下班到家的时间为下午 5：306：00快递员到小李家时，如果小李未到家，则快递员会电话联系小李若小李能在 10 分钟之内到家，则快递员等小李回来；否则，就将商品存放在快递柜中则小李需要去快递柜收取商品的概率为（ ）A B C D8 （5 分）在正方体 ABCDA 1B1C1D1 中，E，
4、F，G 分别为棱 CD，CC 1，A 1B1 的中点，用过点 E，F ， G 的平面截正方体，则位于截面以下部分的几何体的侧（左）视图为（ ）A B C D9 （5 分）已知函数 ，实数 a，b 满足不等式 f（2a+b）+f （43b）0，则下第 3 页（共 26 页）列不等式恒成立的是（ ）Aba2 Ba+2b2 Cba2 Da+2b210 （5 分）已知双曲线 C： 1 的左，右焦点分别为 F1，F 2，A，B 是双曲线 C上的两点，且 3 ，cosAF 2B ，则该双曲线的离心率为（ ）A B C D11 （5 分）已知函数 f（x ）2sin（x
5、+） （0，0 ） ，f（ ） ，f（ ）0，且 f（x ）在（ 0，）上单调下列说法正确的是（ ）ABC函数 f（x ）在 上单调递增D函数 yf（x ）的图象关于点 对称12 （5 分）已知点 I 在ABC 内部，AI 平分BAC， ，对满足上述条件的所有ABC，下列说法正确的是（ ）AABC 的三边长一定成等差数列BABC 的三边长一定成等比数列CABI， ACI，CBI 的面积一定成等差数列DABI ，ACI，CBI 的面积一定成等比数列二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13 （5 分）已知两个单位向量 ， 的夹角为 ，则 &nb
6、sp; 14 （5 分）在（2x+1） 2（x 2） 3 的展开式中，x 2 的系数等于 第 4 页（共 26 页）15 （5 分）已知半径为 3cm 的球内有一个内接四棱锥 S ABCD，四棱锥 SABCD 的侧棱长都相等，底面是正方形，当四棱锥 SABCD 的体积最大时，它的底面边长等于 cm16 （5 分）为保护环境，建设美丽乡村，镇政府决定为 A，B，C 三个自然村建造一座垃圾处理站，集中处理 A，B，C 三个自然村的垃圾，受当地条件限制，垃圾处理站 M 只能建在与 A 村相距 5km，且与 C 村相距
7、的地方已知 B 村在 A 村的正东方向，相距 3km，C 村在 B 村的正北方向，相距 ，则垃圾处理站 M 与 B 村相距 km三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17 （12 分）已知等比数列a n的前 n 项和 Sn 满足 4S5 3S4+S6，且 a39（）求数列a n的通项公式；（）设 bn（2n1）a n，求数列b n的前 n 项的和 Tn18 （12 分）为了解 A 市高三数学复习备考情况，该市教研机构组织了一次检测考试，并随机抽取了部分高三理科学生数学成绩绘制如图所示的频率分布直方图（）根据频率分布直
8、方图，估计该市此次检测理科数学的平均成绩 u0；（精确到个位）（）研究发现，本次检测的理科数学成绩 X 近似服从正态分布 XN（， 2）（uu 0， 约为 19.3） 按以往的统计数据，理科数学成绩能达到升一本分数要求的同学约占 46%，据此估计本次检测成绩达到升一本的理科数学成绩大约是多少分？（精确到个位）已知 A 市理科考生约有 1000 名，某理科学生此次检测数学成绩为107 分，则该学生全市排名大约是多少名？第 5 页（共 26 页）（说明： 表示 xx 1 的概率， 用来将非标准正态分布化为标准正态分布，即 XN（0，1） ，从而利用标准正态分布表 （x 0） ，求 xx 1 时的概
9、率 P（x x1） ，这里 x0 相应于 x0 的值 （ x0）是指总体取值小于 x0 的概率，即 （x 0）P（xx 0） 参考数据：（0.7045）0.54，（0.6772）0.46，（0.21）0.5832） 19 （12 分）在四棱锥 PABCD 中，平面 PAD平面 ABCD，ABCD，ABAD ，O 为AD 中点， ，ADAB2CD2（）求证：平面 POB平面 PAC；（）求二面角 APCD 的余弦值20 （12 分）已知点 A（1，0）和动点 B，以线段 AB 为直径的圆内切于圆 O：x 2+y24（）求动点 B 的轨迹方程；（）已知点 P（2，0） ，Q（ 2，1） ，经过点
10、Q 的直线 l 与动点 B 的轨迹交于 M，N两点，求证：直线 PM 与直线 PN 的斜率之和为定值21 （12 分）已知函数 f（x ）（x1）e xax 2（e 是自然对数的底数） （）判断函数 f（x ）极值点的个数，并说明理由；（）若xR ，f（x ）+ exx 3+x，求 a 的取值范围请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修 4-4：坐标系与参数方程第 6 页（共 26 页）22 （10 分）已知过点 P（0，1）的直线 l 的参数方程为 （t 为参数） ，在以坐标原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C 的方程为2asin
11、cos20（a0） （）求曲线 C 的直角坐标方程；（）若直线 l 与曲线 C 分别交于点 M，N ，且|PM| ，|MN| ，|PN| 成等比数列，求 a 的值选修 4-5：不等式选讲23已知函数 f（x ）|3x +m|（）若不等式 f（x ）m9 的解集为1，3 ，求实数 m 的值；（）若 m0，函数 g（x）f（x）2| x1|的图象与 x 轴围成的三角形的面积大于60，求 m 的取值范围第 7 页（共 26 页）2018 年安徽省合肥市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
12、目要求的.1 （5 分）已知复数 z 满足 z（12i）i （i 是虚数） ，则复数 z 在复平面内对应的点在（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，求出 z 的坐标得答案【解答】解：由 z（12i） i，得 z ，复数 z 在复平面内对应的点的坐标为（ ） ，在第二象限故选：B【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题2 （5 分）已知集合 Ax| 2x3，集合 Bx|x1，则 AB（ ）A （2，1） B （2，3） C （，1） D （，3）【分析】利用并集
13、定义直接求解【解答】解：集合 Ax| 2x3，集合 Bx|x1，ABx|x3，3） 故选：D【点评】本题考查并集的求法，考查并集定义等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题3 （5 分）命题 p：a0，关于 x 的方程 x2+ax+10 有实数解，则p 为（ ）Aa 0，关于 x 的方程 x2+ax+10 有实数解Ba0，关于 x 的方程 x2+ax+10 没有实数解Ca0，关于 x 的方程 x2+ax+10 没有实数解Da 0，关于 x 的方程 x2+ax+10 有实数解【分析】利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，
14、第 8 页（共 26 页）所以，命题 p：a0，关于 x 的方程 x2+ax+10 有实数解，则p 为 a0 ，关于 x 的方程 x2+ax+10 没有实数解故选：C【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基本知识的考查4 （5 分）在直角坐标系中，若角 的终边经过点 ，则sin（+ ）（ ）A B C D【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，求得 sin（ +）的值【解答】解：角 终边经过点 ，即点 P（ ， ） ，x ，y ，r| OP|1，则 sin（ +）sin y 故选：A【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题5 （5 分）中国古代
15、词中，有一道“八子分绵”的数学名题：“九百九十六斤绵，赠分八子做盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言” 题意是：把 996 斤绵分给 8 个儿子作盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多 17 斤绵，那么第 8个儿子分到的绵是（ ）A174 斤 B184 斤 C191 斤 D201 斤【分析】由题意可知，数列为等差数列，公差为 d17，n8，S 8996，以第 8 个儿子为首项，即可求出答案【解答】解：由题意可知，数列为等差数列，公差为 d17，n8，S 8996，以第 8 个儿子为首项，8a 1+ 17996，解得 a1184，故选：B【点评】本题考查了等差数列
16、的求和公式的应用，属于基础题6 （5 分）执行如图所示的程序框图，若输出的结果为 1，则输入 x 的值为（ ）第 9 页（共 26 页）A3 或2 B2 或2 C3 或1 D2 或1 或 3【分析】根据已知中的程序框图，分类讨论满足 y1 的 x 值，综合可得答案【解答】解：当 x2 时，由 y 1 得：x 22x3，解得：x 3，或x1（舍）当 x2 时，由 y2x 3 1，解得：x2，综上可得若输出的结果为 1，则输入 x 的值为 3 或2，故选：A【点评】本题考查的知识点是程序框图，分类讨论思想，对数的运算性质，难度中档7 （5 分）小李从网上购买了一件商品，快递员计划在下午
17、 5：006：00 之间送货上门，已知小李下班到家的时间为下午 5：306：00快递员到小李家时，如果小李未到家，则快递员会电话联系小李若小李能在 10 分钟之内到家，则快递员等小李回来；否则，就将商品存放在快递柜中则小李需要去快递柜收取商品的概率为（ ）A B C D【分析】设快递员送达的时刻为 x，小李到家的时刻为 y，根据题意列出有序实数对（x，y）满足的区域，以及小李去快递柜收取商品对应的平面区域，计算面积比即可得出答案【解答】解：假设快递员送达的时刻为 x，小李到家的时刻为 y，则有序实数对（x，y ）满足的区域为第 10 页（共 26 页）（x，y）| ，小李需要去快递
18、柜收取商品，即序实数对（x，y）满足的区域为（x，y）| ，如图所示；小李需要去快递柜收取商品的概率为P 故选：D【点评】本题考查几何概型概率的求法，考查数形结合的解题思想方法，是中档题8 （5 分）在正方体 ABCDA 1B1C1D1 中，E，F，G 分别为棱 CD，CC 1，A 1B1 的中点，用过点 E，F ， G 的平面截正方体，则位于截面以下部分的几何体的侧（左）视图为（ ）A B C D【分析】首先求出截面的图形，进一步利用三视图求出结果【解答】解：正方体被经过 E、F、G 点的平面所截，第 11 页（共 26 页）其中左边的正方形的左上顶点 A 被切去，故少一个角，右
19、下面留一个斜棱，故左视图为 C故选：C【点评】本题考查的知识要点：三视图的应用9 （5 分）已知函数 ，实数 a，b 满足不等式 f（2a+b）+f （43b）0，则下列不等式恒成立的是（ ）Aba2 Ba+2b2 Cba2 Da+2b2【分析】根据题意，分析可得函数 f（x ）为奇函数且在 R 上为减函数，则原不等式变形可得 f（2a+b） f（3b4） ，结合函数的单调性可得 2a+b3b4，变形即可得答案【解答】解：根据题意，函数 ，其定义域为 R，f（x） f（x ） ，则函数 f（x）为奇函数；f（x） （1 ） 1，则函数 f（x）在 R 为减函数，f（2a+b）+f（
20、43b）0 f（2a+b）f（43b）f（2a+b）f（3b4） 2a+b3b4ba2，故选：C【点评】本题考查函数的单调性与奇偶性的综合应用，关键是求出函数的奇偶性与单调性10 （5 分）已知双曲线 C： 1 的左，右焦点分别为 F1，F 2，A，B 是双曲线 C上的两点，且 3 ，cosAF 2B ，则该双曲线的离心率为（ ）A B C D【分析】设|F 1A|3x，|F 1B|x，在ABF 2 中，由余弦定理列方程可得ABF 2 是直角三角形，从而得出 a，b，c 的关系，即可得该双曲线的离心率【解答】解：设|F 1A|3x，|F 1B|x，则| AB|4x，| BF2|2
21、a+x，|AF 2|2a+3 x，第 12 页（共 26 页）在ABF 2 中，由余弦定理得：（4x） 2（2a+x ） 2+（2a+3x） 22（2a+x） （2a+3x） ，解得 xa，AF 25a，AB 4a，BF 23a，ABF 2 是直角三角形，在 Rt F1BF2 中， a2+（3a） 2（2c ） 2，代入得 10a24c 2，即 e2 则该双曲线的离心率为 e 故选：B【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查离心率的计算能力属于中档题11 （5 分）已知函数 f（x ）2sin（x+） （0，0 ） ，f（ ） ，f（ ）0，且 f（x ）在（ 0，）上单调下列说法正确的是
22、（ ）ABC函数 f（x ）在 上单调递增D函数 yf（x ）的图象关于点 对称【分析】根据题意，设置满足条件的 ， 的值，依次对各选项讨论即可【解答】解：由题意，f（x ）在（0，）上单调那周期 ，即 ，则1对于 A：当 时，可得 f（x）2sin （ x+） ，由 ， ，第 13 页（共 26 页）令 ，可得 即 f（ ）2sin（ + ） ，A 不对由 f（ ）0，即 2sin（ ）0，可令 ，则 由 f（ ） ，即 2sin（ +） ，可得： + 或 +，kZ；令 + ，解得： 2，不满足题意：令 + ，解得： ，满足题意：f（x）2sin（ x+ ）对于 B：f（ ）2
23、sin（ + ）2sin ，B 不对对于 C：令 x+ ，解得： ，函数 f（x）在 上单调递增，C 对对于 D：当 x ，可得 f（ ）2sin （ ）2sin 1，函数 yf（x）的图象不是关于点 对称，D 不对故选：C【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，根据条件确定一个满足条件的解析式是解决本题的关键12 （5 分）已知点 I 在ABC 内部，AI 平分BAC， ，对满足上述条件的所有ABC，下列说法正确的是（ ）AABC 的三边长一定成等差数列BABC 的三边长一定成等比数列第 14 页（共 26 页）CABI， ACI，CBI 的面积一定成等差数列DABI ，AC
24、I，CBI 的面积一定成等比数列【分析】设BAICAI，则IBCACI ，设ABI ，BCI，AI BIm ，CIn，在ABC 中，运用正弦定理，在ACI 和BCI 中，由正弦函数和余弦函数的定义，可得 a，b，运用三角函数的和差公式、二倍角公式，化简整理，结合等比数列中项性质，即可得到结论【解答】解：设BAICAI ，则IBCACI，设ABI ，BCI，AI CIm ，BIn，在ABC 中，可得 ，可得 sin（ +） ，在ACI 中，可得 b2mcos ，在BCI 中，可得 amcos+ncos，又 msinnsin，即 n ，则 amcos+cos mm m ，可得 a2c2mcoscb
25、，即有ABC 的三边长一定成等比数列，故选：B【点评】本题考查三角形的三边长成等比数列的判断，考查三角形的正弦定理和三角函数的恒等变换，考查化简整理的运算能力，属于难题二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）第 15 页（共 26 页）13 （5 分）已知两个单位向量 ， 的夹角为 ，则 【分析】直接利用向量的数量积的运算法则求解即可【解答】解：两个单位向量 ， 的夹角为 ，则 2 2 1 ，故答案为： 【点评】本题考查平面向量数量积的应用，考查计算能力14 （5 分）在（2x+1） 2（x 2） 3 的展开式中，x 2 的系数等于
26、10 【分析】化简（2x+1） 2（x 2） 3（4x 2+4x+1） （x 36 x2+12x8） ，展开后可得含 x2项的系数【解答】解：（2x+1） 2（x2） 3（4x 2+4x+1） （x 3 6x2+12x8） ，x 2 的系数等于 4（8）+412610故答案为：10【点评】本题考查了二项式展开式的应用问题，也考查了逻辑推理与计算能力，是基础题15 （5 分）已知半径为 3cm 的球内有一个内接四棱锥 S ABCD，四棱锥 SABCD 的侧棱长都相等，底面是正方形，当四棱锥 SABCD 的体积最大时，它的底面边长等于 4 cm【分析】由题意画出图形，设四棱锥的底面边长为 2a，高
27、为 h（0h6） ，可得2a2+h26h，写出棱锥体积，把 a 用 h 表示，再由导数求解得答案【解答】解：如图，设四棱锥的底面边长为 2a，高为 h（0h6） ，则底面正方形外接圆的半径为 ，侧棱长 SA ，由射影定理可得：2a 2+h26h，则四棱锥 SABCD 的体积V （0h6） ，则 V2h 2+8h，可得当 h4 时，V 有最大值，此时 2a224168，a2，则底面边长等于 4第 16 页（共 26 页）故答案为：4【点评】本题考查球内接多面体体积的求法，考查数形结合的解题思想方法，训练了导数在求最值问题中的应用，是中档题16 （5 分）为保护环境，建设美丽乡村，镇政府决定为 A
28、，B，C 三个自然村建造一座垃圾处理站，集中处理 A，B，C 三个自然村的垃圾，受当地条件限制，垃圾处理站 M 只能建在与 A 村相距 5km，且与 C 村相距 的地方已知 B 村在 A 村的正东方向，相距 3km，C 村在 B 村的正北方向，相距 ，则垃圾处理站 M 与 B 村相距 2 或7 km【分析】建立坐标系，求出两圆的方程和公共弦方程，解出 M 点坐标得出|MB|【解答】解：以 A 为原点，以 AB 为 x 轴建立平面坐标系，则 A（0，0） ，B（3，0） ，C（3，3 ） ，以 A 为圆心，以 5 为半径作圆 A，以 C 为圆心，以 为半径作圆 C，则圆 A 的方程为：x 2+y
29、225，圆 C 的方程为：（x3） 2+（y3 ） 231，即x2+y26x6 y+50，两圆的公共弦方程为：x+ y5，设 M（x，y） ，则 ，解得 M（5，0）或 M（ ， ） MB2 或 MB 7故答案为：2 或 7第 17 页（共 26 页）【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，属于中档题三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17 （12 分）已知等比数列a n的前 n 项和 Sn 满足 4S5 3S4+S6，且 a39（）求数列a n的通项公式；（）设 bn（2n1）a n，求数列b n的前 n 项的和 Tn【分析】 （）利用已知条
30、件求出数列的公比，然后求数列a n的通项公式；（）化简数列的通项公式，利用错位相减法求解数列的和即可【解答】解：（）设数列a n的公比为 q由 4S53S 4+S6，得 S6S 53S 53S 4，即 a63a 5，q3， （） ， ， ， 【点评】本题考查数列的通项公式的求法，数列求和的方法错位相减法的应用，考查计算能力18 （12 分）为了解 A 市高三数学复习备考情况，该市教研机构组织了一次检测考试，并随机抽取了部分高三理科学生数学成绩绘制如图所示的频率分布直方图第 18 页（共 26 页）（）根据频率分布直方图，估计该市此次检测理科数学的平均成绩 u0；（精确到个位）（）研究发现，本次
31、检测的理科数学成绩 X 近似服从正态分布 XN（， 2）（uu 0， 约为 19.3） 按以往的统计数据，理科数学成绩能达到升一本分数要求的同学约占 46%，据此估计本次检测成绩达到升一本的理科数学成绩大约是多少分？（精确到个位）已知 A 市理科考生约有 1000 名，某理科学生此次检测数学成绩为107 分，则该学生全市排名大约是多少名？（说明： 表示 xx 1 的概率， 用来将非标准正态分布化为标准正态分布，即 XN（0，1） ，从而利用标准正态分布表 （x 0） ，求 xx 1 时的概率 P（x x1） ，这里 x0 相应于 x0 的值 （ x0）是指总体取值小于 x0 的概率，即 （x
32、0）P（xx 0） 参考数据：（0.7045）0.54，（0.6772）0.46，（0.21）0.5832） 【分析】 （I）以组中值代替小组平均值，根据加权平均数公式计算平均成绩；（II）根据所给公式列方程求出 x1； 根据成绩计算概率，得出大体名次【解答】解：（I）该市此次检测理科数学成绩平均成绩约为：u0650.05+750.08+85 0.12+950.15+1050.24+1150.18+1250.1+1350.05+1450.03103.2103（II）记本次考试成绩达到升一本的理科数学成绩约为 x1，根据题意， ，即第 19 页（共 26 页）由 （0.7054）0.54 得，
33、，所以，本次考试成绩达到升一本的理科数学成绩约为 117 分，所以，理科数学成绩为 107 分，大约排在 100000.41684168 名【点评】本题考查了正态分布的性质与应用，属于中档题19 （12 分）在四棱锥 PABCD 中，平面 PAD平面 ABCD，ABCD，ABAD ，O 为AD 中点， ，ADAB2CD2（）求证：平面 POB平面 PAC；（）求二面角 APCD 的余弦值【分析】 （）通过 RtADC Rt BAO，推出DACABO ，证明ACBO，PO AD推出 PO平面 ABCD得到 ACPOAC平面 POB，即可证明平面 POB平面 PAC（）以 O 为空间坐标原点，建立
34、如图所示的空间直角坐标系，求出平面 PAC 的一个法向量，平面 PDC 的一个法向量，利用向量的数量积求解即可【解答】 （）证明：由条件可知，RtADCRt BAO，DACABO ，DAC+AOBABO +AOB90，ACBOPA PD，且 O 为 AD 中点，POAD 第 20 页（共 26 页） ，PO平面 ABCD又AC平面 ABCD，AC PO又BOPO O，AC平面 POBAC平面 PAC，平面 POB平面 PAC（）解：以 O 为空间坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则 P（0，0，2） ，A（1，0，0） ，D （1，0，0） ，C（1，1，0） ， ， ， ，设 为平面
35、PAC 的一个法向量，由 得 ，解得 令 x2，则 同理可得，平面 PDC 的一个法向量 ，二面角 APCD 的平面角 的余弦值 【点评】本题考查向量的数量积的应用，二面角的求法，考查直线与平面垂直的判定定第 21 页（共 26 页）理以及性质定理的应用20 （12 分）已知点 A（1，0）和动点 B，以线段 AB 为直径的圆内切于圆 O：x 2+y24（）求动点 B 的轨迹方程；（）已知点 P（2，0） ，Q（ 2，1） ，经过点 Q 的直线 l 与动点 B 的轨迹交于 M，N两点，求证：直线 PM 与直线 PN 的斜率之和为定值【分析】 （）设以线段 AB 为直径的圆的圆心为 C，取 A（
36、1，0） 圆 C 内切于圆O，设切点为 D，则 O，C，D 三点共线，依椭圆得定义可知，动点 B 的轨迹为椭圆，由此能求出动点 B 的轨迹方程（）设直线 l 的方程为 y+1k（x2） 由 得（4k 2+3）x2（16k 2+8k）x+16 k2+16k80由此利用韦达定理、根的判别式，结合已知条件能证明直线 PM 与直线 PN 的斜率之和为定值 3【解答】解：（）如图，设以线段 AB 为直径的圆的圆心为 C，取 A（1，0） 依题意，圆 C 内切于圆 O，设切点为 D，则 O，C，D 三点共线，O 为 AA的中点， C 为 AB 中点，AB2OC|BA|+|BA|2OC+2 AC2 OC+2
37、CD2OD4| AA|2依椭圆得定义可知，动点 B 的轨迹为椭圆，其中：|BA|+|BA|2a4，|AA|2c 2，a2，c1，b 2a 2c 23，动点 B 的轨迹方程为 （）证明：当直线 l 垂直于 x 轴时，直线 l 的方程为 x2，此时直线 l 与椭圆 相切，与题意不符当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 y+1k（x 2） 由 得（4k 2+3）x 2（16k 2+8k）x+16k 2+16k80设 M（x 1，y 1） ，N（x 2，y 2） ，第 22 页（共 26 页）则 ， 直线 PM 与直线 PN 的斜率之和为定值 3【点评】本题考查动点的轨迹方程的求法，考查两直
38、线的斜率之和为定值的证明，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题21 （12 分）已知函数 f（x ）（x1）e xax 2（e 是自然对数的底数） （）判断函数 f（x ）极值点的个数，并说明理由；（）若xR ，f（x ）+ exx 3+x，求 a 的取值范围【分析】 （）求出函数的导数，通过讨论 a 的范围，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值点的个数即可；第 23 页（共 26 页）（）问题转化为 对x 0 恒成立，设 ，设 h（x）e xx 1，根据函数的单调性求出 a 的范围即可【解答】解：（）f（ x）xe x2ax x（e x2a） ，当 a0 时，f（x
39、 ）在（，0）上单调递减，在（0，+）上单调递增，f（x）有 1 个极值点；当 时，f（x ）在（，ln 2a）上单调递增，在（ln2a，0）上单调递减，在（ 0，+）上单调递增，f（x）有 2 个极值点；当 时，f（x ）在 R 上单调递增，此时 f（x）没有极值点；当 时，f（x ）在（，0）上单调递增，在（0，ln2a）上单调递减，在（ ln2a，+）上单调递增，f（x）有 2 个极值点；当 a0 时，f（x ）有 1 个极值点；当 a0 且 时，f（x ）有 2 个极值点；当 时，f（x ）没有极值点（）由 f（x） +exx 3+x 得 xexx 3ax 2x0当 x0 时，e xx
40、 2ax 1 0，即 对x 0 恒成立设 ，则 设 h（x）e xx 1，则 h（x ）e x1x0，h（x ）0，h（x ）在（0，+）上单调递增，h（x）h（0）0，即 exx+1，g（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+）上单调递增，g（x）g（1）e 2，ae 2当 x0 时，不等式恒成立，aR；第 24 页（共 26 页）当 x0 时，e xx 2ax 1 0设 h（x）e xx 2ax 1，则 h（x）e x2xa设 （x ）e x2xa，则 （x）e x20，h（x）在（，0）上单调递减，h（x）h（0）1a若 a1，则 h（x）0，h（x）在（，0）上单调递增，h（x）h（0
41、）0若 a1，h（0）1a0，x 0 0，使得 x（x 0，0）时，h（x）0，即 h（x）在（x 0，0）上单调递减，h（x）h（0）0，舍去，a1综上可得，a 的取值范围是（，e2【点评】本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道中档题请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修 4-4：坐标系与参数方程22 （10 分）已知过点 P（0，1）的直线 l 的参数方程为 （t 为参数） ，在以坐标原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C 的方程为2asin cos20（a0） （）求曲线 C 的直角坐
42、标方程；（）若直线 l 与曲线 C 分别交于点 M，N ，且|PM| ，|MN| ，|PN| 成等比数列，求 a 的值【分析】 （）直接利用转换关系把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化（）利用直线和曲线的位置关系，把方程组转换为一元二次方程根与系数的关系的应用求出结果【解答】解（）曲线 C 的方程为 2asincos 20（a0） 第 25 页（共 26 页）2asin 2cos20即 x22ay（a0） （）将 代入 x22ay，得 ，得 a0，解 得 |PM |，|MN|，|PN| 成等比数列，|MN |2|PM|PN| ，即 ， ，即 ，解得 a0 或 ， 【点评】本题考查的知识
43、要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，一元二次方程根与系数的关系的应用选修 4-5：不等式选讲23已知函数 f（x ）|3x +m|（）若不等式 f（x ）m9 的解集为1，3 ，求实数 m 的值；（）若 m0，函数 g（x）f（x）2| x1|的图象与 x 轴围成的三角形的面积大于60，求 m 的取值范围【分析】 （）去掉不等式的绝对值并根据条件限制 m 的范围，根据题意得出 m 的值；（）由 m0 去掉绝对值，将函数 g（x）写成分段函数的形式，根据大致图象求出三第 26 页（共 26 页）角形的顶点坐标，代入三角形面积公式，解不等式即可【解答】 （）由题意得解得 m9 可化为9m3x +m9+m ， 不等式 f（x） 9 的解集为 1，3， ，解得 m3 ，满足 m9m3；（）依题意得，g（x）|3 x+m|2| x1|又m0， ，g（x）的图象与 x 轴围成的ABC 的三个顶点的坐标为 A（m2，0） ， ， ，解得 m12【点评】本题考查解绝对值不等式的方法，以及三角形的面积公式，属于中档题
